İç içe kökler

Hesap makinesinde 1 yaz, 6 ekle ve karekökünü al: yaklaşık 2,65 çıkar. Bu sonuca yine 6 ekle ve yine karekök al: yaklaşık 2,94. Bir kez daha: 2,99. Kaç kez tekrarlarsan tekrarla ekrandaki sayı 3'e yaklaşır ama 3'ü aşmaz. Yaptığın şey, kökün içine yeniden kök yazmaktı: √(6 + √(6 + √(6 + …))). Sonu gelmeyen bu ifadenin değeri tek bir sayıdır ve onu bulmak için hesap makinesine hiç gerek yoktur. Bu derste kökün içinde kök bulunan ifadeleri üç açıdan ele alıyoruz: sonlu iç içe kökleri içten dışa hesaplamak, aynı tabanın tekrarlandığı iç içe kökleri tek bir üslü ifadeye çevirmek ve sonsuza kadar süren iç içe köklerin değerini bir denklemle bulmak.

• Sonlu iç içe kökleri en içteki kökten başlayarak adım adım hesaplarsın.
• √(x√(x√x)) gibi ifadeleri kesirli üs kullanarak tek bir kuvvet olarak yazarsın.
• Dereceleri farklı iç içe kökleri (küpkökün içinde karekök gibi) üslü biçime çevirirsin.
• Sonsuz iç içe köklerin değerini, ifadenin kendisini bir bilinmeyenle göstererek kurulan denklemden bulursun.

İçten dışa hesaplamak

Kökün içinde başka bir kök bulunan sonlu bir ifade, tıpkı iç içe parantezler gibi en içten başlanarak hesaplanır. √(5 + √(13 + √9)) için önce √9 = 3 bulunur. Bir dış katmanda 13 + 3 = 16 olur ve √16 = 4'tür. En dışta 5 + 4 = 9 kalır ve sonuç √9 = 3'tür. Bu tür sorular, her katmanda bir tam kare çıkacak biçimde kurulur; bir adımda tam kare çıkmıyorsa ya hesapta bir hata vardır ya da soru başka bir yöntem bekliyordur.

Dışarıdan içeri doğru çalışmak burada işe yaramaz, çünkü bir toplamın karekökü terimlerin kareköklerinin toplamı değildir. √(5 + 4) ifadesini √5 + √4 diye ayırmak en sık yapılan hatadır.

Aynı tabanın tekrarı: üslü yazım

Kökün dışındaki ve içindeki sayı aynıysa, ifade tek bir kuvvet olarak yazılabilir. Bunun için her kök kesirli bir üs olarak düşünülür: √a = a^(1/2), ∛a = a^(1/3). √(x√x) için içteki √x = x^(1/2)'dir. Dıştaki kökün içinde x ile x^(1/2) çarpılınca x^(3/2) oluşur ve bunun karekökü x^(3/4) olur.

Katman sayısı arttıkça aynı işlem tekrarlanır. √(x√(x√x)) için en içteki kök x^(1/2) verir. Bir dış katmanda x'in 3/2 kuvvetinin karekökü alınır ve üs 3/4 olur. En dışta x'in 7/4 kuvvetinin karekökü alınır ve üs 7/8'e çıkar. Üslerin dizisi 1/2, 3/4, 7/8 biçiminde ilerler: her adımda payda ikiye katlanır ve pay paydadan bir eksik kalır. Bu yüzden karekökün n kez iç içe yazıldığı ifadenin üssü (2ⁿ − 1)/2ⁿ'dir.

Taban bir sayı olduğunda da yöntem aynıdır, ama sonucu sadeleştirmek için tabanın bir kuvvet olarak yazılması gerekebilir. √(81√81) için 81^(3/4) bulunur. 81 = 3⁴ olduğundan 81^(3/4) = 3³ = 27'dir. Tabanı tam kuvvet olmayan bir sayıda sonuç köklü kalır ve kök dışına çıkarma ile sadeleştirilir.

Farklı dereceler

Dış kök ile iç kökün dereceleri farklı olabilir. Yöntem değişmez; yalnızca her kökün üssü kendi derecesine göre yazılır. ∛(x²√x) için içte x² · x^(1/2) = x^(5/2) vardır ve küpkökü x^(5/6)'dır. Bu biçimdeki bütün ifadelerde iki adım yeter: önce içerideki çarpımın üssünü topla, sonra bu üssü dıştaki kökün derecesine böl.

Bu işlemin bir kısayolu da vardır. ᵐ√(x · ⁿ√x) ifadesinin üssü (n + 1)/(m · n)'dir: içteki kök x'i (n + 1)/n kuvvetine taşır ve dıştaki kök bunu m'ye böler. Kısayolu ezberlemek yerine her seferinde üsleri yazmak daha güvenlidir, çünkü katsayı x² gibi bir kuvvet olduğunda kısayol değişir ama üsleri toplama yöntemi her durumda aynı çalışır.

Sonsuz iç içe kökler

Kancadaki ifade sonsuza kadar sürer, ama değeri bir sayıdır. O sayıya a diyelim: a = √(6 + √(6 + …)). Kökün içindeki "√(6 + …)" kısmı, baştaki ifadenin tıpatıp aynısıdır, çünkü sonsuz bir diziden bir katman çıkarınca yine aynı sonsuz dizi kalır. Bu yüzden a = √(6 + a) yazılabilir. İki tarafın karesi alınınca a² = 6 + a, yani a² − a − 6 = 0 olur. Çarpanlarına ayırınca (a − 3)(a + 2) = 0 elde edilir. Karekök negatif olamayacağı için a = 3'tür.

Eksi işaretli biçim de aynı yolla çözülür. √(12 − √(12 − …)) = a ise a² = 12 − a ve a² + a − 12 = 0 olur; pozitif kök yine 3'tür. Artı işaretli biçimde içteki sayı ardışık iki tam sayının çarpımıdır ve sonuç bunların büyüğüdür: 6 = 3 · 2 için sonuç 3. Eksi işaretli biçimde sonuç küçük olandır: 12 = 4 · 3 için sonuç 3. Bu kuralı bir denetim olarak kullanmak yararlıdır, ama soruda istenen sayıyı bulmak için denklemi yazmak her zaman yeterlidir.

Çarpım biçimindeki sonsuz kökler daha da kısadır. a = √(5√(5√…)) ise a = √(5a) olur ve a² = 5a'dan a = 5 bulunur. Dıştaki kök küpkökse a³ = k · a denklemi kurulur ve a² = k elde edilir.

Bir önceki dersten kısa hatırlatma

Bazı iç içe kökler hiç hesap gerektirmeden açılır. √(a + 2√b) biçimindeki bir ifadede iki sayının toplamı a ve çarpımı b ise ifade bu sayıların kareköklerinin toplamına eşittir. Bu yöntemi kök dışına çıkarma dersinde gördük. Burada yalnızca şunu ekleyelim: aynı iki sayıyla kurulan artı ve eksi işaretli ifadeler birlikte verildiğinde toplamları ya da farkları kökün bir terimini götürür.

Yöntemi seçmek

Bir iç içe kök sorusunda ilk bakılacak şey ifadenin sonlu mu sonsuz mu olduğudur. Sonlu ve içinde toplama varsa içten dışa hesaplanır. Sonlu ve her katmanda aynı taban çarpılıyorsa üsler toplanarak tek bir kuvvet yazılır. Üç noktayla biten sonsuz bir ifadeyse ifadenin kendisine bir harf verilir ve kendini içeren denklem kurulur. Bu ayrımı yapmadan işleme başlamak, örneğin sonsuz bir ifadeyi birkaç katman hesaplayıp yaklaşık bir değerle bırakmak, sınavda seçenekler arasında kaybolmaya yol açar.

Sonsuz bir ifadenin denkleminde iki kök bulunduğunda hangisinin cevap olduğu da ayrıca düşünülmelidir. Karekök her zaman negatif olmayan bir değer verir; bu yüzden negatif kök atılır. Denklemi çözdükten sonra bulunan sayıyı ifadeye geri koymak, örneğin 3'ün gerçekten √(6 + 3) olduğunu görmek, cevabı denetlemenin en kısa yoludur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri iç içe bir kökün değerini, aynı tabanlı iç içe köklerin tek bir kuvvet olarak yazılışını, dereceleri farklı köklerin üssünü, sonsuz iç içe köklerin değerini ve sonsuz bir kökün değeri verildiğinde içindeki sayıyı ister.

Örnek 1 — İçten dışa

Soru: √(11 + √(21 + √16)) ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 4
• B) 5
• C) 16
• D) √37
• E) 2

Çözüm: √16 = 4, sonra √(21 + 4) = 5, en dışta √(11 + 5) = 4. Cevap: A.

Örnek 2 — Üslü yazım

Soru: √(x²√x) ifadesi x'in hangi kuvvetine eşittir?

• A) x^(3/2)
• B) x^(3/4)
• C) x^(5/4)
• D) x
• E) x^(5/2)

Çözüm: İçeride x² · x^(1/2) = x^(5/2) vardır; karekökü x^(5/4)'tür. Cevap: C.

Örnek 3 — Sonsuz toplam

Soru: √(90 + √(90 + √(90 + …))) ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 90
• B) 9
• C) 10
• D) √90
• E) 11

Çözüm: Değere a denirse a² = 90 + a olur; (a − 10)(a + 9) = 0 ve a = 10. Cevap: C.

Örnek 4 — Sonsuz çarpım

Soru: ∛(9∛(9∛(9…))) ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 9
• B) ∛9
• C) 27
• D) 81
• E) 3

Çözüm: a = ∛(9a) yazılır; a³ = 9a ve a² = 9 olur. Pozitif değer a = 3. Cevap: E.

• Dıştan içe hesaplamak. √(m + n) toplamı √m + √n'ye eşit değildir; en içteki kökten başla.
• Üsleri çarpmak yerine toplamak ya da tersi. Kökün içindeki çarpımda üsler toplanır, kök alınınca üs dereceye bölünür.
• Sonsuz ifadede negatif kökü almak. Karekök negatif değer vermez; denklemin negatif çözümü atılır.
• Sonsuz ifadeyi birkaç katmanla yaklaşık hesaplamak. Değer, kendini içeren denklemden tam olarak bulunur.
• Artı ve eksi işaretli sonsuz kökleri karıştırmak. Artıda ardışık çarpanların büyüğü, eksilide küçüğü çıkar.