Kök dışına çıkarma ve sadeleştirme

√8 + √18 toplamı kaçtır? Önceki derste içleri toplayamayacağımızı gördük; √26 cevabı yanlıştır. Ama bu iki kök aslında birbirine çok yakındır. 8 = 4 · 2 ve 18 = 9 · 2'dir; içlerindeki tam kareleri dışarı çıkarınca √8 = 2√2 ve √18 = 3√2 olur. Artık ikisi de √2'nin katıdır ve toplanabilir: 2√2 + 3√2 = 5√2. İlk bakışta toplanamaz görünen iki kök, sadeleştirilince benzer terimlere dönüştü. Köklü ifadelerle yapılan hesapların neredeyse hepsi bu hamleye dayanır: kökün içindeki tam kareyi bulup dışarı çıkarmak. Bu derste kök dışına çıkarmayı ve kök içine almayı, farklı görünen köklüleri toplamayı, iç içe köklerin bazılarını açmayı ve köklü iki terimin toplamının karesini almayı işliyoruz. Paydadaki kökten kurtulmak bir sonraki dersin konusudur.

• Kökün içindeki en büyük tam kare çarpanı bulup dışarı çıkarırsın.
• Katsayılı bir köklüyü kök içine alarak karşılaştırma ve eşitliklerde kullanırsın.
• İçleri farklı köklüleri sadeleştirip benzer terimlere çevirerek toplarsın.
• √(a ± 2√b) biçimindeki iç içe kökleri, toplamı ve çarpımı verilen iki sayıyı bularak açarsın.

Kök dışına çıkarma

Çarpma kuralı √(ab) = √a · √b idi. Kökün içindeki sayı bir tam kare ile başka bir sayının çarpımıysa bu kural tam kareyi dışarı taşır: √(a² · b) = a√b (a ≥ 0). √72 için 72'nin en büyük tam kare çarpanı aranır. 72 = 36 · 2 olduğundan √72 = 6√2'dir. 72 = 4 · 18 yazıp √72 = 2√18 demek yanlış değildir, ama sadeleştirme bitmemiştir; 18 de bir tam kare içerdiği için √18 = 3√2'ye devam etmek gerekir. En büyük tam kare çarpanı bir seferde bulmak işi kısaltır.

En büyük tam kare çarpanı bulmanın güvenli yolu sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. 72 = 2³ · 3²'dir. Her asalın çift sayıdaki kopyaları dışarı çıkar: 2² ve 3² dışarıda 2 · 3 = 6 olur, içeride tek kalan bir 2 kalır.

Aynı fikir daha yüksek dereceli köklerde de geçerlidir; yalnızca derece kadar kopya gerekir. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2'dir, çünkü 27 = 3³'tür.

Kök içine alma

Ters işlem de yapılabilir: kökün dışındaki pozitif bir katsayı karesi alınarak içeri sokulur. 3√5 = √(9 · 5) = √45'tir. Bu dönüşüm iki yerde işe yarar. Birincisi, köklü sayıları karşılaştırmaktır: katsayılı iki köklüyü içeri alınca yalnızca içlerine bakmak yeter. İkincisi, "√a = 4√3 ise a kaçtır?" gibi sorulardır: 4√3 = √48 olduğundan a = 48'dir.

Katsayı negatifse içeri alınmaz; işaret dışarıda bırakılır: −2√3 = −√12. Kökün kendisi negatif olamayacağı için eksi işareti kökün önünde kalmak zorundadır; karesi alınıp içeri sokulsaydı işaret kaybolur ve ifade pozitif bir sayıya dönüşürdü.

Harfli ifadelerde mutlak değer

Kök dışına çıkarılan bir harf negatif olabilecekse mutlak değer çizgisi gerekir. √(x² · 7) = |x|√7'dir; x < 0 ise bu ifade −x√7'dir. Önceki dersteki √(a²) = |a| kuralının doğrudan sonucudur. √(9x²) = 3|x| yazılır ve x negatifse −3x olur. Sınav sorularında harfin işareti verilmişse mutlak değer o bilgiyle kaldırılır.

İçleri farklı köklüleri toplamak

Kancadaki yol genel yöntemdir: her köklü sadeleştirilir, sonra benzer terimler toplanır. √12 + √27 için √12 = 2√3 ve √27 = 3√3 bulunur; toplam 5√3'tür. Sadeleştirmeden sonra hâlâ farklı kökler kalıyorsa, örneğin 2√3 + 3√2, bu ifade daha fazla toplanamaz ve olduğu gibi bırakılır.

Birden çok terimli ifadelerde her terimi ayrı ayrı sadeleştirip katsayıları toplamak, hata riskini en aza indirir; terimleri tek satırda birleştirmeye çalışmak yerine her birini kendi satırında sadeleştirmek daha güvenlidir. Terimleri aynı kökün katı olarak hizalamak, ikinci ve üçüncü dereceden köklerin karışmasını da önler.

İki terimin karesi

(√a + √b)² ifadesi açılırken iki terimin kareleri ve iki kat çarpımları toplanır: (√a + √b)² = a + b + 2√(ab). (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6'dır. Çıkarmada orta terimin işareti değişir: (√a − √b)² = a + b − 2√(ab). Bu açılım, bir sonraki bölümdeki iç içe kökleri çözmenin anahtarıdır.

İç içe kökleri açmak

Yukarıdaki açılım tersinden okunursa √(5 + 2√6) = √3 + √2 bulunur. Genel kural şudur: toplamı a, çarpımı b olan iki pozitif sayı m ve n bulunabiliyorsa

• √(a + 2√b) = √m + √n
• √(a − 2√b) = √m − √n (m > n)

Önemli koşul, ortadaki kökün katsayısının 2 olmasıdır. √(7 + 2√10) için toplamı 7, çarpımı 10 olan iki sayı 5 ve 2'dir; sonuç √5 + √2'dir. Katsayı 2 değilse, örneğin √(7 + 4√3), önce 4√3 = 2√12 yazılarak 2'ye getirilir ve sonra aynı yol izlenir. Eksi işaretli durumda büyük sayının kökü önce yazılır, çünkü sonuç pozitif olmalıdır.

Sadeleştirme ne zaman biter?

Bir köklü ifade, kökün içinde 1'den büyük hiçbir tam kare çarpan kalmadığında sadeleşmiş sayılır. √18 sadeleşmemiştir, çünkü içinde 9 vardır; 3√2 ise sadeleşmiştir, çünkü 2'nin içinde tam kare yoktur. Bu ölçüt, cevabı seçeneklerle karşılaştırırken işe yarar: seçeneklerin hepsi genellikle sadeleşmiş biçimde verilir ve senin bulduğun sonuç sadeleşmemişse hiçbir seçenekle eşleşmeyebilir. Sınavda "aşağıdakilerden hangisine eşittir" diye sorulan bir köklü için önce kendi sonucunu sadeleştirmek, sonra seçeneklere bakmak en güvenli sıradır.

Tam kareleri tanımak

Kök dışına çıkarmayı hızlandırmanın yolu, küçük tam kareleri ezbere bilmektir: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 ve 144. Bir sayının içinde bu karelerden hangisinin çarpan olarak bulunduğuna bakılırken en büyüğünden başlamak gerekir. 200 için önce 100 denenir ve 200 = 100 · 2 olduğundan √200 = 10√2 hemen bulunur. Küçük bir kareyle başlayıp adım adım ilerlemek de doğru sonuca götürür, ama zaman alır ve bir adımın atlanma riski taşır. Asal çarpanlara ayırma, hangi karenin içeride saklandığı ilk bakışta görünmediğinde kullanılacak yedek yoldur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir kökün sadeleştirilmiş hâlini, içleri farklı köklülerin toplamını ya da farkını, bir katsayının kök içine alınmış biçimini, iç içe bir kökün açılımını ve köklü iki terimin karesini ister. Her soruda önce kökün içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır ve en büyük tam kareyi ara.

Örnek 1 — Kök dışına çıkarma

Soru: √50 ifadesinin sadeleştirilmiş hâli hangisidir?

• A) 25√2
• B) 5√2
• C) 2√5
• D) 10√5
• E) 5√10

Çözüm: 50 = 25 · 2'dir; √50 = 5√2. Cevap: B.

Örnek 2 — Farklı köklüleri toplamak

Soru: √20 + √45 toplamı neye eşittir?

• A) 13√5
• B) 5√10
• C) √65
• D) 5√5
• E) 6√5

Çözüm: √20 = 2√5 ve √45 = 3√5'tir; toplam 5√5'tir. Cevap: D.

Örnek 3 — İç içe kök

Soru: √(7 + 2√10) ifadesinin eşiti hangisidir?

• A) √5 + √2
• B) √7 + √10
• C) 7 + √10
• D) √5 − √2
• E) √10 + 1

Çözüm: Toplamı 7, çarpımı 10 olan sayılar 5 ve 2'dir. Cevap: A.

Örnek 4 — Harfle

Soru: x negatif bir sayıysa √(9x²) neye eşittir?

• A) 3x
• B) 9x
• C) −9x
• D) 3|x|²
• E) −3x

Çözüm: √(9x²) = 3|x|'tir; x negatif olduğu için 3|x| = −3x. Cevap: E.

• Sadeleştirmeyi yarım bırakmak. √72 = 2√18 değil, 6√2'dir.
• Farklı köklüleri sadeleştirmeden toplamak. √8 + √18, √26 değildir.
• Negatif katsayıyı kök içine almak. −2√3 = −√12; eksi dışarıda kalır.
• Harfi dışarı çıkarırken mutlak değeri unutmak. √(x²y) = |x|√y.
• İç içe kökte katsayıyı 2'ye getirmeden açmak. √(7 + 4√3)'te önce 4√3 = 2√12 yazılır.