Köklü sayılarda temel kurallar

Alanı 49 metrekare olan kare bir bahçenin kenarı kaç metredir? Hangi sayının karesinin 49 olduğunu ararız ve 7 buluruz. Peki alan 50 metrekare olsaydı? Karesi tam olarak 50 olan bir tam sayı yoktur; 7² = 49 biraz küçük, 8² = 64 çok büyük kalır. Kenar 7'den biraz fazla bir sayıdır ve onu kısaca √50 diye yazarız. Karekök, kare almanın tersidir: "karesi bu olan pozitif sayı hangisi?" sorusunun cevabı. Üslü sayılarda bir sayıyı kendisiyle çarpıp büyüttük; köklü sayılarda bu işlemi geri alıyoruz. Bu derste karekökün ve daha yüksek dereceden köklerin tanımını, kökün hangi sayılarda tanımlı olduğunu, köklü sayılarla çarpma, bölme ve toplamayı ve köklü sayıları karşılaştırmayı işliyoruz. Kök dışına çıkarma bir sonraki dersin konusudur.

• Karekökü ve n. dereceden kökü tanımlar, çift dereceli kökün yalnızca negatif olmayan sayılarda tanımlı olduğunu açıklarsın.
• √(a²) = |a| eşitliğini kullanarak işareti bilinen ifadeleri kökten çıkarırsın.
• Köklü sayıları çarpar, böler ve benzer terimleri toplarsın; toplamada kök kuralı olmadığını bilirsin.
• Köklü sayıları kare alarak karşılaştırır, bir kökün hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulursun.

Karekök ve n. dereceden kök

a ≥ 0 için √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır. √49 = 7'dir; −7'nin karesi de 49 olsa da karekök sembolü yalnızca pozitif olanı gösterir. Negatif bir sayının karekökü gerçek sayılarda tanımlı değildir, çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir. Bu yüzden √(x + 1) ifadesinin tanımlı olması için x + 1 ≥ 0, yani x ≥ −1 olmalıdır.

n. dereceden kök ⁿ√a ile gösterilir ve n. kuvveti a olan sayıdır. Derece tekse kök her sayıda tanımlıdır ve işareti korur: ∛(−8) = −2'dir, çünkü (−2)³ = −8'dir. Derece çiftse, karekökte olduğu gibi, içerinin negatif olmaması gerekir ve sonuç negatif değildir: ⁴√81 = 3.

Kök bir üstür

Köklü bir ifade üslü olarak da yazılabilir: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). √2 = 2^(1/2), ∛(5²) = 5^(2/3)'tür. Bu yazılış, önceki derslerin bütün üs kurallarını köklü sayılara taşır. Örneğin √(2³) = 2^(3/2)'dir ve 2^(3/2) · 2^(1/2) = 2² = 4'tür. Farklı dereceden kökleri karşılaştırmak ya da çarpmak gerektiğinde kesirli üslere geçmek çoğu zaman en kısa yoldur.

Karenin karekökü: mutlak değer

√(a²) her zaman a değildir. a negatifse a² pozitiftir ve karekökü de pozitif olmalıdır: √((−3)²) = √9 = 3. Genel kural √(a²) = |a|'dır. Bu, mutlak değer dersinde öğrendiğimiz işaret bilgisinin köklere taşınmasıdır. x < 5 ise √((x − 5)²) = |x − 5| = 5 − x'tir. Tek dereceli köklerde böyle bir sorun yoktur: ∛(a³) = a'dır, çünkü tek kuvvet işareti korur ve küpkök de onu olduğu gibi geri verir.

Çarpma ve bölme

Aynı dereceden köklü sayılar çarpılırken içler çarpılır, bölünürken içler bölünür:

• √a · √b = √(ab)
• √a ÷ √b = √(a ÷ b) (b > 0)

√3 · √27 = √81 = 9; √75 ÷ √3 = √25 = 5. Bu kurallar, iki kökün çarpımı veya bölümü bir tam kare verdiğinde hesabı tek adımda bitirir. (√7 + √3)(√7 − √3) gibi çarpımlarda ise iki kare farkı kullanılır: (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4.

Toplama ve çıkarma

Köklü sayıların toplamı için içleri toplayan bir kural yoktur. √9 + √16 = 3 + 4 = 7 iken √(9 + 16) = √25 = 5'tir; ikisi farklıdır. Yalnızca benzer terimler, yani içi ve derecesi aynı olan köklüler birleştirilir: 6√2 − 2√2 + √2 = 5√2. Burada √2 bir ortak çarpan gibi davranır, tıpkı 6x − 2x + x = 5x gibi. İçleri farklı köklüleri toplamak için önce onları aynı köke çevirmek gerekir; bu dönüşüm bir sonraki dersin konusudur.

Ondalık ve kesirlerin karekökü

Ondalık bir sayının karekökü, kesre çevrilerek kolayca bulunur. √0,25 = √(25/100) = 5/10 = 0,5'tir. Bir kesrin karekökü, pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleridir: √(16/25) = 4/5. Ondalık sayıda virgülden sonraki basamak sayısı çift değilse, önce sıfır eklenerek çift yapılır: √0,4 = √0,40 = √(40/100) olur ve tam bir sonuç vermez.

Köklü sayıları karşılaştırmak

Pozitif sayılarda, karesi büyük olan sayı büyüktür; bu, kare almanın pozitif sayılarda sırayı bozmamasından gelir. Bu yüzden köklü sayılar karelerine bakılarak karşılaştırılır. 2√3 ile 3√2'yi karşılaştırmak için kareler alınır: (2√3)² = 12 ve (3√2)² = 18'dir; 3√2 daha büyüktür. 4 ile karşılaştırmak için 4² = 16 kullanılır: 12 < 16 < 18'dir.

Bir karekökün hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulmak için içindeki sayının iki yanındaki tam kareler bulunur. √30 için 25 < 30 < 36 olduğundan 5 < √30 < 6'dır. Bu tahmin, köklü bir sayının yaklaşık değerini bilmek gereken her soruda işe yarar ve seçeneklerdeki uzak değerleri hemen eler.

Kökün yaklaşık değeri

Sınavda hesap makinesi olmadığı için bazı karekökleri yaklaşık olarak bilmek işe yarar. √2 yaklaşık 1,41, √3 yaklaşık 1,73 ve √5 yaklaşık 2,24'tür. Bu değerleri ezberlemek zorunlu değildir, ama ikisini bilmek pek çok soruda zaman kazandırır; ama bir köklü ifadenin hangi tam sayılar arasında kaldığını tahmin etmek, seçenekleri hızla elemeyi sağlar. Daha ince bir tahmin için, kökün içindeki sayının iki yanındaki tam karelerden hangisine daha yakın olduğuna bakılabilir. √50, 49'a çok yakın olduğu için 7'den biraz büyüktür; √60 ise 64'e daha yakındır ve 8'e yaklaşır.

Kök ve kare birbirini geri alır

Kare almak ve karekök almak birbirinin tersidir, ama bu ters işlem yalnızca negatif olmayan sayılarda tam olarak çalışır. Pozitif bir sayının karesinin karekökü sayının kendisini verir; negatif bir sayınınki ise sayının mutlak değerini verir. Öte yandan bir karekökün karesi, kök tanımlı olduğu sürece her zaman içerideki sayıdır: (√7)² = 7. Bu asimetri, köklü ifadeleri sadeleştirirken hangi sıranın güvenli olduğunu belirler. Bir ifadeyi önce kareye alıp sonra karekökünü almak işaret bilgisini kaybettirebilir; bu yüzden mutlak değer çizgisini yazmadan ilerlememek gerekir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kök değerlerini, tanım koşulunu, köklü çarpma ve bölmeyi, benzer terimlerin toplamını, köklü sayıların sıralamasını ve bir kökün yaklaşık yerini ister. Her soruda önce derecenin tek mi çift mi olduğuna, içeride tam kare olup olmadığına bak.

Örnek 1 — Tek ve çift dereceli kök

Soru: √49 + ∛(−8) işleminin sonucu kaçtır?

• A) Tanımsız
• B) 5
• C) 15
• D) −1
• E) 9

Çözüm: √49 = 7 ve ∛(−8) = −2'dir; toplam 5'tir. Tek dereceli kök negatif sayıda tanımlıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — Çarpma

Soru: √2 · √18 çarpımının sonucu nedir?

• A) 36
• B) 2√9
• C) √20
• D) 6
• E) 9

Çözüm: İçler çarpılır: √36 = 6. Cevap: D.

Örnek 3 — Karşılaştırma

Soru: p = 2√3, q = 3√2 ve s = 4 için doğru sıralama hangisidir?

• A) q < s < p
• B) s < p < q
• C) p < s < q
• D) p < q < s
• E) s < q < p

Çözüm: Kareler 12, 18 ve 16'dır: p < s < q. Cevap: C.

Örnek 4 — Karenin karekökü

Soru: x < 0 olduğuna göre √(x²) + x ifadesinin eşiti hangisidir?

• A) 2x
• B) −2x
• C) x²
• D) x
• E) 0

Çözüm: √(x²) = |x| = −x'tir; toplam −x + x = 0'dır. Cevap: E.

• √(a²)'yi her zaman a sanmak. √(a²) = |a|'dır.
• İçleri toplamak. √9 + √16, √25 değildir.
• Çift dereceli kökü negatif sayıda tanımlı sanmak. √(−4) gerçek sayılarda tanımsızdır.
• Tek dereceli kökte işareti kaybetmek. ∛(−8) = −2'dir.
• Karşılaştırmada katsayıyı unutmak. 2√3'ün karesi 12'dir, 6 değil.