Üslü denklemler

Bir bakteri kolonisi her saat ikiye katlanıyor. Tek bir bakteriyle başlanırsa kaç saat sonra kapta 1 024 bakteri olur? x saat sonraki sayı 2ˣ'tir ve 2ˣ = 1 024 denklemini çözmemiz gerekir. 1 024'ün 2'nin onuncu kuvveti olduğunu fark ettiğin anda cevap belirir: 2ˣ = 2¹⁰ ise x = 10'dur. Bilinmeyenin üste olduğu bu tür denklemlere üslü denklem denir ve TYT'de neredeyse hep aynı fikirle çözülür: iki tarafı aynı tabanın kuvveti olarak yazmak. Önceki iki derste üslerin kurallarını ve negatif, sıfır üsleri gördük. Bu derste bu kuralları denklem çözmek için kullanıyor, tabanları eşitlemeyi, ortak çarpan parantezini ve bir üslü ifadenin 1'e eşit olabileceği üç durumu işliyoruz.

• Tabanları eşitleyerek bilinmeyeni üste olan denklemleri çözersin.
• Üsleri eşit olan denklemlerde tabanları karşılaştırır, çift üsteki iki çözümü bulursun.
• Toplam içeren üslü denklemlerde ortak çarpanı paranteze alarak denklemi sadeleştirirsin.
• Bir üslü ifadenin 1'e eşit olduğu üç durumu ayırır, her durumu denetlersin.

Temel fikir: tabanlar eşitse üsler eşittir

Taban 0, 1 ya da −1 değilse, aynı tabanın iki kuvveti yalnızca üsleri eşitken birbirine eşittir. 2ᵃ = 2ᵇ ise a = b'dir. Bu yüzden üslü bir denklemi çözmenin ilk adımı, iki tarafı aynı tabanın kuvveti olarak yazmaktır. 2ˣ⁺¹ = 32 denkleminde 32 = 2⁵ yazılır; 2ˣ⁺¹ = 2⁵ olduğundan x + 1 = 5 ve x = 4 bulunur.

Tabanlar ilk bakışta farklıysa ortak bir asala çevrilir. 9ˣ = 27 denkleminde 9 = 3² ve 27 = 3³'tür: 3²ˣ = 3³, yani 2x = 3 ve x = 3/2. Kesirli ve negatif sayılar da aynı yolla yazılır: (1/8)ˣ = 16 denkleminde 1/8 = 2⁻³ ve 16 = 2⁴'tür; 2⁻³ˣ = 2⁴ olduğundan −3x = 4 ve x = −4/3 bulunur. Önceki dersin negatif üs tanımı burada doğrudan işe yarar.

Neden taban 1 ya da 0 olamaz? 1'in her kuvveti 1'dir; 1ᵃ = 1ᵇ eşitliği a ile b hakkında hiçbir şey söylemez. 0 için de benzer bir sorun vardır. Bu yüzden kural yalnızca 1'den farklı pozitif tabanlar için kesindir.

Üsler eşitse

Bazı denklemlerde üsler aynıdır ve bilinmeyen tabandadır. Üs tekse tabanlar eşit olmalıdır: x³ = −125 ise x = −5'tir. Üs çiftse iki çözüm vardır, çünkü bir sayının ve negatifinin çift kuvvetleri eşittir: x⁴ = 81 ise x için hem 3 hem −3 uygundur. Çift üste negatif çözümü unutmak en sık yapılan hatalardan biridir; çift üslü bir denklem pozitif bir sayıya eşitse her zaman bir sayı ve onun negatifi birlikte çözüm olur.

Toplam içeren denklemler

Önceki derslerde gördüğümüz gibi, toplama için bir üs kuralı yoktur. 2ˣ⁺² + 2ˣ = 40 gibi bir denklemde iki terimi birleştirmek için en küçük üslü terim paranteze alınır: 2ˣ⁺² = 2ˣ · 4 olduğundan sol taraf 2ˣ(4 + 1) = 5 · 2ˣ'tir. 5 · 2ˣ = 40 ise 2ˣ = 8 ve x = 3'tür. Bu kalıpta üsler hep aynı bilinmeyenin birkaç fazlası ya da eksiği biçimindedir ve ortak çarpan her zaman en küçük üslü terimdir.

Bir ifadenin 1'e eşit olduğu durumlar

aᵇ = 1 eşitliği üç farklı yoldan sağlanabilir.

• Üs sıfırdır ve taban sıfır değildir: b = 0, a ≠ 0.
• Taban 1'dir: a = 1; üs ne olursa olsun.
• Taban −1'dir ve üs çift bir tam sayıdır.

(x − 2)ˣ⁺³ = 1 denklemini bu üç durumla çözelim. Birinci durum x + 3 = 0, yani x = −3 verir; bu değerde taban −5'tir ve sıfır değildir, kabul edilir. İkinci durum x − 2 = 1, yani x = 3 verir. Üçüncü durum x − 2 = −1, yani x = 1 verir; bu değerde üs 4'tür ve çifttir, kabul edilir. Çözüm kümesi {−3, 1, 3}'tür. Her durumda bulunan değeri kendi koşuluna göre denetlemek gerekir; üçüncü durumda üs tek çıksaydı x elenecekti.

Harfle verilen eşitlikler

Bazen bilinmeyeni bulmak gerekmez; verilen bir üslü ifade başka bir ifadeye dönüştürülür. 3ˣ = 2 ise 9ˣ⁺¹ = 9 · (3ˣ)² = 9 · 4 = 36'dır. Burada x'in değerini bilmek gerekmez, 3ˣ'in değerini bilmek yeter. Bu tür sorularda istenen ifadeyi verilen ifadenin kuvveti ve katı olarak yazmaya çalış.

Sayıları asal kuvvet olarak tanımak

Üslü denklemlerin çoğu, bir sayının hangi asalın kaçıncı kuvveti olduğunu hızla tanımaya dayanır. 2'nin kuvvetlerini 1 024'e, 3'ün kuvvetlerini 729'a, 5'in kuvvetlerini 625'e kadar bilmek, bu derste karşılaşacağın soruların büyük bölümünü zihinden çözmeyi sağlar. 64 hem 2⁶ hem 4³ hem de 8² olarak yazılabilir; hangi yazılışın seçileceği denklemin öteki tarafına bağlıdır. Örneğin 8ˣ = 64 ise 8² yazmak, 4ˣ = 64 ise 4³ yazmak en kısa yoldur. Ortak taban bulunamıyorsa, örneğin 2ˣ = 5 gibi bir denklemde 5 sayısı 2'nin hiçbir tam ya da kesirli kuvveti olarak yazılamıyorsa, denklemin bu derste öğrendiğimiz yöntemlerle bir tam sayı ya da kesir çözümü yoktur; böyle durumlarda soru genellikle x'i değil, 2ˣ'i içeren başka bir ifadeyi ister.

Çözümü denetlemek

Bir üslü denklemin kökünü bulduktan sonra onu yerine koymak çoğu zaman birkaç saniye sürer ve hatayı hemen ortaya çıkarır. 4ˣ = 32 için x = 5/2 bulduysan, 4 üzeri 5/2'nin önce karekök sonra beşinci kuvvet olduğunu düşünmeden, 2²ˣ = 2⁵ eşitliğinde 2 · 5/2 = 5 olduğunu görmek yeter. Ortak çarpan sorularında da 2ˣ ya da 3ˣ'in bulunan değerini toplamın her terimine yerleştirip sonucu kontrol et. 1'e eşitlik sorularında ise her aday için tabanı ve üssü ayrı ayrı hesapla; özellikle taban −1 olduğunda üssün çift çıkıp çıkmadığı bu denetimde netleşir.

Soru kökleri

Bu konunun sınav soruları üslü bir denklemin kökünü, köklerle yapılan bir işlemi, kaç kök olduğunu ve verilen bir üslü eşitlikten başka bir ifadenin değerini ister. Her soruda önce iki tarafı aynı asalın kuvveti olarak yazmayı dene; olmuyorsa ortak çarpana ya da 1'e eşitlik durumlarına bak.

Örnek 1 — Tabanı eşitlemek

Soru: 4ˣ = 32 denkleminin kökü nedir?

• A) 8
• B) 2/5
• C) 5/2
• D) 3
• E) 16

Çözüm: 4 = 2² ve 32 = 2⁵'tir. 2²ˣ = 2⁵ ise 2x = 5 ve x = 5/2'dir. Cevap: C.

Örnek 2 — Negatif üsle

Soru: (1/9)ˣ = 27 denkleminin kökü hangisidir?

• A) −3/2
• B) −2/3
• C) 3/2
• D) 3
• E) −3

Çözüm: 1/9 = 3⁻² ve 27 = 3³'tür. −2x = 3 ise x = −3/2'dir. Cevap: A.

Örnek 3 — Ortak çarpan

Soru: 3ˣ⁺¹ + 3ˣ = 108 denkleminin kökü kaçtır?

• A) 4
• B) 27
• C) 7
• D) 2
• E) 3

Çözüm: Sol taraf 3ˣ(3 + 1) = 4 · 3ˣ'tir. 3ˣ = 27 ise x = 3'tür. Cevap: E.

Örnek 4 — 1'e eşitlik

Soru: (x − 1)ˣ⁺² = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz.

• A) 10
• B) 0
• C) 4
• D) −4
• E) 2

Çözüm: Üs sıfırsa x = −2 (taban −3). Taban 1 ise x = 2. Taban −1 ise x = 0 ve üs 2, çifttir. Toplam −2 + 2 + 0 = 0'dır. Cevap: B.

• Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek. 4ˣ = 32 denkleminde x = 32/4 değildir.
• Çift üste negatif çözümü unutmak. x⁴ = 81 ise x = ±3.
• Toplamda üsleri birleştirmek. 2ˣ⁺² + 2ˣ, 2²ˣ⁺² değildir; en küçük üslü terimi dışarı çıkar.
• 1'e eşitlikte bir durumu atlamak. Üs sıfır, taban 1 ve taban −1 durumlarının üçü de denetlenir.
• Taban −1 durumunda üssün tekliğini denetlememek. Üs tekse sonuç −1'dir ve değer elenir.