Negatif üs ve sıfırıncı kuvvet

Bir laboratuvarda bakteri sayısı her saat ikiye katlanıyor ve şu anda kapta 1 000 bakteri var. Bir saat sonra 1 000 · 2, iki saat sonra 1 000 · 2² bakteri olacak. Peki üç saat önce kaç bakteri vardı? Zamanda geri gidildikçe sayı her saat yarıya iner: 500, 250, 125. Bu geri sayımı üslerle yazmak istersek ileriye giden zamanı pozitif, geriye giden zamanı negatif üsle göstermek doğaldır: üç saat önceki sayı 1 000 · 2⁻³ = 125'tir. Negatif üs, "o kadar kez çarp" yerine "o kadar kez böl" demektir. Önceki derste üsleri hep pozitif tam sayı aldık ve bölmede üstteki üs büyük olsun istedik. Bu derste bu sınırı kaldırıyor, sıfırıncı kuvvetin neden 1 olduğunu, negatif üsün neden bir ters alma olduğunu ve çok küçük sayıların 10'un negatif kuvvetleriyle nasıl yazıldığını işliyoruz.

• a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ eşitliklerini bölme kuralından türetir, a ≠ 0 koşulunu açıklarsın.
• Negatif üslü kesirleri ve toplamları sadeleştirirsin.
• Önceki dersin bütün üs kurallarını negatif ve sıfır üslerde de uygularsın.
• Çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel gösterimle yazar, bu gösterimde işlem yaparsın.

Sıfırıncı kuvvet neden 1?

Bölme kuralı aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ idi. Bu kuralı m = n için uygulayalım: 5³ ÷ 5³ = 5⁰. Öte yandan bir sayıyı kendisine bölmek 1 verir: 125 ÷ 125 = 1. Kuralın bozulmaması için 5⁰'ın 1 olması gerekir. Aynı akıl yürütme sıfır dışındaki her taban için geçerlidir: a ≠ 0 ise a⁰ = 1'dir. (−7)⁰ = 1, (2/3)⁰ = 1 ve 1 000 000⁰ = 1'dir.

0⁰ ise tanımsız kabul edilir, çünkü yukarıdaki akıl yürütme 0 ÷ 0 gibi anlamsız bir bölme gerektirir. Sınav sorularında bir ifadenin sıfırıncı kuvveti alınıyorsa tabanın sıfır olmadığı ya açıkça söylenir ya da sorunun koşullarından anlaşılır.

Parantezin yeri burada da önemlidir. (−7)⁰ = 1, ama −7⁰ = −1'dir; çünkü ikincide üs yalnızca 7'ye aittir ve önündeki eksi sonradan eklenir.

Negatif üs bir ters almadır

Bölme kuralını üstteki üs küçükken uygulayalım: 2³ ÷ 2⁵ = 2⁻². Sayılarla hesaplarsak 8 ÷ 32 = 1/4'tür ve 1/4 = 1/2²'dir. O hâlde 2⁻² = 1/2² olmalıdır. Genel kural şudur: a ≠ 0 için a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Negatif üs, sayının işaretini değiştirmez; sayıyı kesir çizgisinin öbür tarafına taşır. 2⁻³ = 1/8 pozitif bir sayıdır.

Negatif bir tabanın işaretini yine üssün tek mi çift mi olduğu belirler. (−4)⁻² = 1/(−4)² = 1/16, (−4)⁻³ = 1/(−4)³ = −1/64'tür. Önce negatif üsü ters almaya çevir, sonra önceki dersteki işaret kuralını uygula; iki adımı karıştırmamak için onları ayrı satırlarda yaz.

Kesrin negatif kuvveti

Bir kesrin negatif kuvveti, kesrin ters çevrilmiş hâlinin pozitif kuvvetidir: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4'tür. Bu kural, kesir içeren negatif üslü ifadeleri tek adımda sadeleştirir. 1/4 gibi birim kesirlerde de aynı yol izlenir: (1/5)⁻² = 5² = 25.

Bütün kurallar geçerlidir

Önceki dersin kuralları negatif ve sıfır üslerde de aynen geçerlidir: çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır, kuvvetin kuvvetinde çarpılır. Fark yalnızca hesabın işaretli sayılarla yapılmasıdır. 3⁴ · 3⁻⁶ = 3⁻² = 1/9; 7² ÷ 7⁵ = 7⁻³; (5⁻²)³ = 5⁻⁶. Sonucu kesir olarak istiyorsan negatif üsü en sonda tersine çevir. Ara adımlarda üsleri işaretli tamsayılar olarak tutmak, hesabı tek satırda bitirmeyi sağlar.

Negatif üslü toplamlar

Negatif üslü sayıların toplamı da toplamadır; üs kuralları bir kez daha işe yaramaz. (3⁻¹ + 6⁻¹)⁻¹ gibi bir ifadede önce her terim kesre çevrilir: 1/3 + 1/6 = 1/2. Sonra en dıştaki negatif üs uygulanır: (1/2)⁻¹ = 2. Sık yapılan hata, dıştaki −1'i içeriye dağıtıp 3 + 6 = 9 bulmaktır. Üs bir toplamın üzerine dağılmaz; bu, önceki dersteki "toplamada kural yok" ilkesinin aynısıdır.

10'un negatif kuvvetleri

10⁻¹ = 0,1, 10⁻² = 0,01 ve 10⁻³ = 0,001'dir. 10'un negatif kuvveti, virgülden sonra kaçıncı basamakta 1 olduğunu söyler; üs −4 ise 1 rakamı virgülden sonraki dördüncü basamaktadır ve öncesindeki üç basamak sıfırdır. Bu yüzden çok küçük sayılar 10'un negatif kuvvetleriyle kısa yazılır: 0,0004 = 4 · 10⁻⁴.

Bilimsel gösterim

Bir sayının bilimsel gösterimi a · 10ⁿ biçimindedir; burada 1 ≤ a < 10 ve n bir tam sayıdır. 470 000 = 4,7 · 10⁵; 0,000 58 = 5,8 · 10⁻⁴. Kural kolaydır: virgülü, önünde tek bir sıfırdan farklı rakam kalacak kadar kaydır ve kaydırdığın basamak sayısını üs olarak yaz. Virgülü sola kaydırdıysan (sayı büyükse) üs pozitif, sağa kaydırdıysan (sayı küçükse) negatiftir.

Bilimsel gösterimde çarpma ve bölme kolaydır: katsayılar kendi aralarında, 10'un kuvvetleri kendi aralarında işlenir. 1,5 · 10⁻² ile 6 · 10⁴ çarpılırsa katsayılar 9, kuvvetler 10² verir; sonuç 9 · 10²'dir. Katsayı 10'u aşarsa sonucu yeniden 1 ile 10 arasına getirmek için bir basamak kaydırılır.

Negatif üs ve kesir çizgisi

Negatif üslü bir çarpan, kesir çizgisinin bir tarafından öbür tarafına geçerken üssünün işaretini değiştirir. 2⁻³ / 5 ifadesi 1 / (2³ · 5) olarak yazılabilir; 3 / 4⁻² ise 3 · 4² = 48'dir. Bu taşıma, çok katlı ve karmaşık görünen bir kesri birkaç saniyede sadeleştirmenin en kısa yoludur: önce bütün negatif üslü çarpanları, üsleri pozitif olacak biçimde uygun tarafa taşı, sonra sadeleştir. Taşınan şey yalnızca çarpandır. Bir toplamın içindeki terim bu şekilde taşınamaz; 1 / (2⁻¹ + 1) ifadesinde 2⁻¹ paya geçemez, önce toplam hesaplanmalıdır.

Neden bu tanımlar?

Sıfırıncı ve negatif kuvvetler keyfî kurallar değildir. Bu tanımlar, önceki dersteki kuralların bozulmadan bütün tam sayı üslere genişlemesini sağlayan tek seçimdir. Bir dizinin 2³, 2², 2¹ biçiminde her adımda yarıya indiğini düşün: 8, 4, 2. Desen sürerse sıradaki terimler 1, 1/2 ve 1/4 olur; yani 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4. Kuralları ezberlemek yerine bu deseni, yani her adımda tabana bölmeyi hatırlamak, sınavda tereddüt ettiğinde doğru cevaba ulaşmanın en güvenli yoludur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri sıfırıncı ve negatif üslü ifadelerin değerini, negatif üslü kesir ve toplamları, kurallarla sadeleştirmeyi, bilimsel gösterimi ve negatif üslü sayıların sıralanmasını ister. Her soruda önce negatif üsleri ters almaya çevir, sonra önceki dersin kurallarını uygula.

Örnek 1 — Sıfırıncı ve negatif

Soru: 7⁰ + 2⁻¹ işleminin sonucunu bulunuz.

• A) 3/2
• B) 9
• C) 1/2
• D) 5
• E) 2

Çözüm: 7⁰ = 1 ve 2⁻¹ = 1/2'dir; toplam 3/2'dir. Cevap: A.

Örnek 2 — Kesrin negatif kuvveti

Soru: (2/5)⁻³ ifadesinin değeri hangisidir?

• A) 8/125
• B) −8/125
• C) 6/15
• D) 125/8
• E) −125/8

Çözüm: Kesir ters çevrilir ve küplenir: (5/2)³ = 125/8. Cevap: D.

Örnek 3 — Negatif üslü toplam

Soru: (2⁻¹ + 3⁻¹)⁻¹ ifadesinin değeri nedir?

• A) 5
• B) 5/6
• C) 6/5
• D) 1/5
• E) 6

Çözüm: 1/2 + 1/3 = 5/6'dır; tersi 6/5'tir. Cevap: C.

Örnek 4 — Bilimsel gösterim

Soru: 0,000 36 sayısının bilimsel gösterimi hangisidir?

• A) 36 · 10⁻⁵
• B) 0,36 · 10⁻³
• C) 3,6 · 10⁴
• D) 3,6 · 10⁻³
• E) 3,6 · 10⁻⁴

Çözüm: Virgül sağa dört basamak kaydırılınca 3,6 kalır; üs −4'tür. Cevap: E.

• Negatif üsü sayıyı negatif yapmak sanmak. 2⁻³ = 1/8'dir, −8 değil.
• 0⁰'ı 1 saymak. 0⁰ tanımsızdır.
• −7⁰ ile (−7)⁰'ı karıştırmak. −7⁰ = −1, (−7)⁰ = 1.
• Dıştaki negatif üsü toplamın terimlerine dağıtmak. (3⁻¹ + 6⁻¹)⁻¹, 3 + 6 değildir.
• Bilimsel gösterimde katsayıyı 10'dan büyük bırakmak. 36 · 10⁻⁵ geçerli bir bilimsel gösterim değildir.