Üslü sayılarda temel kurallar

Bir kâğıt parçasını ikiye katla; iki kat olur. Bir daha katla; dört kat. Üçüncü katlamada sekiz, dördüncüde on altı. On kez katlamayı başarabilseydin kâğıt 1 024 kat olurdu: 2 · 2 · 2 · … on kez çarpılmış 2. Bu uzun çarpımı her seferinde yazmak yerine kısaca 2¹⁰ yazarız. Üslü gösterim, aynı sayının art arda çarpımını tek bir sembolde toplar. Kısa yazılış kolaylık sağlar, ama asıl gücü, bu çarpımlarla işlem yapmayı birkaç kurala indirmesidir: üsleri toplamak, çıkarmak ve çarpmak, uzun hesapların yerini alır. Bu derste pozitif tam sayı üsler için bu kuralları, negatif tabanların işaretini ve üslü ifadeleri karşılaştırmayı işliyoruz. Sıfır ve negatif üsler bir sonraki dersin konusudur.

• aⁿ gösteriminde taban ile üssü tanır, negatif tabanın tek ve çift kuvvetlerinin işaretini belirlersin.
• Çarpma, bölme ve kuvvetin kuvveti kurallarını uygulayarak ifadeleri sadeleştirirsin.
• Aynı üslü sayıları birleştirir, toplama ve çıkarmada ortak çarpan parantezine alırsın.
• Üslü sayıları tabanlarını ya da üslerini eşitleyerek karşılaştırır, bir sayının basamak sayısını bulursun.

Taban, üs ve işaret

aⁿ ifadesinde a taban, n üstür ve ifade, a'nın n kez kendisiyle çarpımı anlamına gelir: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Bu derste n hep pozitif bir tam sayıdır.

Negatif tabanlarda işaret, üssün tek ya da çift olmasına bağlıdır. Negatif bir sayı çift sayıda çarpılırsa eksiler ikişer ikişer götürür ve sonuç pozitif olur; tek sayıda çarpılırsa bir eksi artar ve sonuç negatif olur. (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8'dir. (−1)'in kuvvetleri bu kuralı en sade hâliyle gösterir: çift üste 1, tek üste −1.

Parantezin yeri sonucu değiştirir. (−3)² ifadesinde taban −3'tür ve sonuç 9'dur. −3² ifadesinde ise taban yalnızca 3'tür; önce 3² = 9 hesaplanır, sonra eksi işareti eklenir ve sonuç −9 olur. Sınavın en sevdiği tuzaklardan biri budur: eksi işareti parantezin içinde değilse kuvvete girmez.

Çarpma: üsler toplanır

Tabanları aynı iki üslü sayı çarpılırken üsler toplanır: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Nedeni açıktır: 2³ · 2⁴ demek üç tane 2 ile dört tane 2'nin çarpılması, yani yedi tane 2'nin çarpımı demektir. Tabanlar farklıysa bu kural uygulanmaz; 2³ · 3⁴ olduğu gibi kalır ya da tabanlardan biri ötekine çevrilebiliyorsa önce çevrilir: 2³ · 4² = 2³ · 2⁴ = 2⁷.

Bölme: üsler çıkarılır

Tabanları aynı iki üslü sayı bölünürken üsler çıkarılır: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0). 3⁷ ÷ 3⁴ işleminde paydaki dört tane 3, paydadaki dört tane 3 ile sadeleşir ve geriye 3³ kalır. Bu derste üst sayı alttakinden büyük olan durumlarla çalışıyoruz; tersi durum, negatif üse yol açar.

Kuvvetin kuvveti

Bir üslü sayının yeniden kuvveti alınırsa üsler çarpılır: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶'dır. Bu kural, tabanları eşitlemenin anahtarıdır: 8⁵ = (2³)⁵ = 2¹⁵, 25⁴ = (5²)⁴ = 5⁸. Sınav sorularında 4, 8, 16, 27, 25, 125 gibi sayılar çoğu zaman bir asalın kuvveti olarak yazılmak için oradadır.

Kuvvetin kuvveti ile üst üste yazılan üsleri karıştırma. (2³)² = 2⁶ = 64 iken 2 üzeri 3², yani 2⁹ = 512'dir. Parantez yoksa üs, üssün üssü olarak okunur.

Çarpımın ve bölümün kuvveti

Bir çarpımın kuvveti, çarpanların kuvvetlerinin çarpımıdır: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Aynı şey bölüm için de geçerlidir: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Bu kuralın tersi, aynı üslü sayıları birleştirmeyi sağlar: 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵. 8⁴ · 125⁴ = 1000⁴ = 10¹² gibi hesaplar, kural tersinden okunduğunda tek satırda biter.

Toplama ve çıkarmada kural yok

Üslü sayıların toplamı için üsleri toplayan bir kural yoktur. 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24'tür ve 2⁷ değildir. Yapılabilecek tek şey ortak çarpanı paranteze almaktır. 2⁹ + 2⁹ = 2 · 2⁹ = 2¹⁰; beş tane 5⁷'nin toplamı 5 · 5⁷ = 5⁸'dir. Harfli üslerde de aynı yol izlenir: 2ⁿ⁺³ − 2ⁿ = 2ⁿ · 2³ − 2ⁿ = 2ⁿ(8 − 1) = 7 · 2ⁿ. Ortak çarpan olarak her zaman küçük üslü terim seçilir.

Karşılaştırma

Üslü sayıları karşılaştırmanın iki yolu vardır. Tabanlar eşitlenebiliyorsa üslere bakılır: 1'den büyük tabanda üs büyüdükçe sayı büyür. Üsler eşitlenebiliyorsa tabanlara bakılır. 2⁴⁵ ile 3³⁰'u karşılaştırmak için ikisinin üssünü 15'e getiririz: 2⁴⁵ = (2³)¹⁵ = 8¹⁵ ve 3³⁰ = (3²)¹⁵ = 9¹⁵. Artık üsler eşittir ve tabanı büyük olan, yani 3³⁰, daha büyüktür.

Basamak sayısı

Bir sayının kaç basamaklı olduğu sorulduğunda onu 10'un kuvveti çarpı küçük bir sayı biçiminde yazmak yeterlidir. 2¹³ · 5¹⁰ = 2³ · (2¹⁰ · 5¹⁰) = 8 · 10¹⁰'dur. 8'in arkasına on sıfır gelir ve sayı on bir basamaklıdır. Burada fazla olan 2'ler ayrı tutulur ve eşleşen 2 ile 5'ler 10 olarak birleştirilir.

Hangi kural, ne zaman?

Üslü bir ifadeyle karşılaştığında önce işlemin türüne bak. Tabanları aynı sayılar çarpılıyor ya da bölünüyorsa üslerle toplama ve çıkarma yapılır. Tabanlar farklı ama aynı asalın kuvvetleriyse önce o asala çevrilir; 4, 8 ve 16 ikinin, 9, 27 ve 81 üçün, 25 ve 125 beşin kuvvetleridir. Tabanlar farklı ve üsler aynıysa tabanlar çarpılarak birleştirilir. Terimler toplanıyor ya da çıkarılıyorsa hiçbir üs kuralı doğrudan uygulanmaz; önce ortak çarpan aranır. Bu sırayı her soruda bilinçli olarak izlemek, kuralları karıştırmaktan kaynaklanan hataların çoğunu önler.

Büyük sayılarla zihinden hesap

Üs kuralları, hesap makinesi olmadan çok büyük sayılarla çalışmayı mümkün kılar. Sonucun değeri istenmiyorsa ifadeyi asal çarpanlarına ayrılmış biçimde bırakmak hem daha hızlı hem de daha güvenlidir. Bir bölme işleminde pay ve paydayı aynı asalların kuvvetleri olarak yazıp üsleri karşılıklı çıkarmak, sayıların kendisini hiç hesaplamadan sonuca götürür. Sınavda seçenekler de çoğu zaman üslü biçimde verilir; bu durumda sayıyı açıp hesaplamak hem zaman kaybettirir hem de gereksiz hata riski doğurur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri üslü ifadelerin değerini, sadeleştirilmiş hâlini, aynı tabanda yazılmış biçimini, üslü sayıların sıralamasını ve bir sayının basamak sayısını ister. Her soruda önce tabanları ortak bir asala çevirip çeviremeyeceğine bak.

Örnek 1 — İşaret

Soru: −2⁴ + (−2)³ işleminin sonucu kaçtır?

• A) 24
• B) −24
• C) 8
• D) −8
• E) 0

Çözüm: −2⁴ = −16 ve (−2)³ = −8'dir. Toplam −24'tür. Cevap: B.

Örnek 2 — Tabanları eşitlemek

Soru: 8⁵ · 2⁴ ÷ 4⁶ işleminin sonucu kaçtır?

• A) 64
• B) 256
• C) 128
• D) 32
• E) 512

Çözüm: 8⁵ = 2¹⁵ ve 4⁶ = 2¹²'dir. 2¹⁵ · 2⁴ ÷ 2¹² = 2⁷ = 128. Cevap: C.

Örnek 3 — Ortak çarpan

Soru: (3ⁿ⁺² − 3ⁿ) ÷ 3ⁿ ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 3
• B) 27
• C) 24
• D) 8
• E) 6

Çözüm: Pay 3ⁿ(9 − 1) = 8 · 3ⁿ'dir; 3ⁿ'e bölününce 8 kalır. Cevap: D.

Örnek 4 — Basamak sayısı

Soru: 2⁸ · 5⁶ sayısı kaç basamaklıdır?

• A) 14
• B) 8
• C) 15
• D) 12
• E) 7

Çözüm: 2⁸ · 5⁶ = 2² · 10⁶ = 4 · 10⁶'dır; 4'ün arkasına altı sıfır gelir. Cevap: E.

• −3² ile (−3)²'yi aynı sanmak. Parantez yoksa eksi kuvvete girmez: −3² = −9.
• Tabanları farklıyken üsleri toplamak. 2³ · 3⁴'te üsler birleşmez.
• Toplamada üsleri toplamak. 2³ + 2⁴, 2⁷ değildir.
• Kuvvetin kuvvetinde üsleri toplamak. (2³)² = 2⁶'dır, 2⁵ değil.
• Basamak sayısında 10'un kuvvetini yanlış saymak. Fazla 2 ya da 5'leri ayrı tut.