Ondalık sayılar

Bir marangoz 0,3 metreye 0,2 metrelik bir tahta parçasının alanını hesaplıyor ve 0,6 metrekare buluyor. Sonuç ona garip geliyor: tahtanın iki kenarı da yarım metreden kısa, ama alan yarım metrekareden büyük çıkmış. Hata virgüldedir. 0,3 aslında 3/10, 0,2 ise 2/10'dur; çarpımları 6/100, yani 0,06 metrekaredir. Birden küçük iki sayının çarpımı her ikisinden de küçük olmalıdır ve 0,06 bu sezgiye uyar. Ondalık sayılar günlük hayatın her yerindedir: fiyatlarda, ölçülerde, puanlarda. TYT'de ise kesirlerle iç içe gelir ve virgülün yerini doğru tutmayı ister. Bu derste ondalık sayıların basamaklarını, kesre ve kesirden ondalığa çevirmeyi, dört işlemde virgülün nereye gittiğini ve ondalıkları sıralamayı işliyoruz.

• Ondalık sayının basamaklarını okur, sayıyı çözümler ve yuvarlarsın.
• Ondalık sayıyı kesre, paydası uygun kesri ondalığa çevirirsin.
• Dört işlemde virgülün yerini kuralına göre belirlersin.
• Ondalık sayıları sıralar, kesirle karışık işlemleri tek bir gösterime çevirerek çözersin.

Basamaklar ve çözümleme

Virgülün sağındaki basamaklar sırasıyla onda birler, yüzde birler ve binde birler basamağıdır. 3,425 sayısında 4 onda birler, 2 yüzde birler, 5 binde birler basamağındadır. Bu sayı, tam sayıların çözümlemesine benzer biçimde yazılır: 3,425 = 3 + 4/10 + 2/100 + 5/1000. Virgülün solu tam kısmı, sağı ise 1'den küçük kesir kısmını gösterir.

Virgülün sağına sonradan eklenen sıfırlar sayıyı değiştirmez: 0,5 = 0,50 = 0,500. Bu özellik, toplama ve sıralamada basamak sayılarını eşitlemek için kullanılır.

Ondalıktan kesre

Bir ondalık sayı, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfırı olan bir paydaya yazılarak kesre çevrilir. 0,375'te virgülden sonra üç basamak vardır; 0,375 = 375/1000'dir. Sonra sadeleştirilir: 375/1000 = 3/8. Sadeleştirmede pay ile paydanın EBOB'u kullanılır; 1000'in yalnızca 2 ve 5 çarpanları olduğu için paydaki 2 ve 5 çarpanları aranır.

Kesirden ondalığa

Kesrin paydası 10'un bir kuvvetine genişletilebiliyorsa ondalık gösterim hemen yazılır. 7/20'de payda 5 ile genişletilince 35/100 = 0,35 bulunur. Bu yalnızca paydanın asal çarpanları 2 ve 5'ten ibaretse mümkündür, çünkü 10 = 2 · 5'tir. 3/8 için payda 125 ile genişletilir: 375/1000 = 0,375. Paydada 3, 7 ya da başka bir asal çarpan kalıyorsa (sadeleştirmeden sonra) ondalık gösterim sonlu olmaz ve basamaklar tekrar etmeye başlar; bu tür sayılar bir sonraki dersin konusudur.

Toplama ve çıkarma

Ondalık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken virgüller alt alta gelecek biçimde yazılır. Basamak sayıları farklıysa eksik basamaklara sıfır eklenir: 4,07 − 2,9 işleminde 2,9 sayısı 2,90 olarak yazılır ve 4,07 − 2,90 = 1,17 bulunur. Hata genellikle sayıları sağa yaslayıp virgülleri kaydırmaktan doğar.

Çarpma

Ondalık sayılar çarpılırken önce virgüller yokmuş gibi çarpılır. Sonra sonucun virgülü, çarpanların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola kaydırılarak yerleştirilir. 0,3 · 0,02 için 3 · 2 = 6 bulunur; çarpanlarda toplam 1 + 2 = 3 ondalık basamak vardır ve sonuç 0,006'dır. Kancadaki tahta da aynı kurala uyar: 0,3 · 0,2'de iki ondalık basamak vardır ve sonuç 0,06'dır.

10, 100 ve 1000 ile çarpmak virgülü sırasıyla bir, iki ve üç basamak sağa kaydırır; aynı sayılara bölmek virgülü sola kaydırır. 0,0035 · 100 = 0,35'tir.

Bölme

Bölmede amaç böleni tam sayı yapmaktır. Bölen ve bölünen aynı 10'un kuvvetiyle çarpılır; bu işlem bölümü değiştirmez, çünkü kesri genişletmek gibidir. 0,84 ÷ 0,012 işleminde bölenin üç ondalık basamağı vardır; ikisi de 1000 ile çarpılır ve 840 ÷ 12 = 70 bulunur. Bölünenin basamağı yetmezse sona sıfır eklenir: 0,84 · 1000 = 840.

Bu yöntemi kesir gibi düşünmek de mümkündür: 0,84/0,012 kesrinin payını ve paydasını 1000 ile genişletirsin. Böylece bölme, tanıdık bir tam sayı bölmesine döner.

Sıralama

Ondalık sayılar sıralanırken basamak sayısı değil basamak değeri önemlidir. 0,3 ile 0,29'u karşılaştırırken 0,29'un daha çok basamağı olduğu için büyük olduğunu sanmak yaygın bir hatadır. Basamak sayılarını sıfır ekleyerek eşitlersen 0,30 ile 0,29 karşılaştırılır ve 0,30 büyüktür. Üç sayıyı sıralarken de hepsini aynı basamak sayısına getir: 0,300; 0,290; 0,305. Sıralama 0,29 < 0,3 < 0,305'tir.

Yuvarlama

Bir ondalık sayı belirli bir basamağa yuvarlanırken o basamağın hemen sağındaki rakama bakılır. Bu rakam 5 ya da daha büyükse yuvarlanan basamak bir artırılır; 5'ten küçükse olduğu gibi bırakılır ve sağındaki basamaklar atılır. 2,346 yüzde birler basamağına yuvarlanırsa sağdaki 6 nedeniyle 2,35 olur.

Kesir ile ondalık bir aradaysa

Bir ifadede hem kesir hem ondalık varsa önce hepsini tek bir gösterime çevir. Kesirlerin paydaları 2 ve 5'ten oluşuyorsa ondalığa çevirmek, ondalıklar kısa ise kesre çevirmek genellikle kolaydır. 3/4 + 0,05 ifadesinde 3/4 = 0,75 yazılır ve sonuç 0,8'dir. Hangi gösterime çevireceğini seçmek, hesabın uzunluğunu belirler.

Sonucu tahminle denetlemek

Ondalık işlemlerde en sık yapılan hata, rakamları doğru bulup virgülü yanlış yere koymaktır. Bu hatayı yakalamanın en kolay yolu, işleme başlamadan önce sonucun büyüklüğünü kabaca tahmin etmektir. 0,84 ÷ 0,012 işleminde bölen yüzde birden bile küçüktür; küçük bir sayıya bölmek sonucu büyütür, bu yüzden sonucun onlarca olması beklenir. 70 bu tahmine uyar, 0,7 ya da 7 uymaz. Çarpmada da aynı düşünce geçerlidir: birden küçük bir çarpan sonucu küçültür, birden büyük bir çarpan büyütür. 0,3 · 0,02'nin hem 0,3'ten hem 0,02'den küçük olması gerekir; 0,006 bu koşulu sağlar.

Tahmin, seçenekler arasında eleme yapmanı da sağlar. Sınavda seçeneklerin çoğu aynı rakamları farklı virgül yerleriyle verir: 0,12; 0,012; 1,2 gibi. Doğru basamak sayısını kuralla bulduktan sonra tahminle bir kez daha bakmak, bu seçeneklerden yanlış olanları hızla eler. Bu alışkanlık, devirli ondalık sayılar ve oran-orantı gibi sonraki konularda da işe yarar.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri ondalık sayıların dört işlemini, kesir ile ondalık arasında çevirmeyi, sıralamayı ve yuvarlamayı ister. Çarpma ve bölmede virgülün yerini işlem bitince bir kez daha denetle: sonuç sezgine uyuyor mu?

Örnek 1 — Çarpma

Soru: 0,04 · 0,3 işleminin sonucu nedir?

• A) 0,12
• B) 0,012
• C) 0,0012
• D) 1,2
• E) 0,34

Çözüm: 4 · 3 = 12'dir. Çarpanlarda toplam 2 + 1 = 3 ondalık basamak vardır; sonuç 0,012'dir. Cevap: B.

Örnek 2 — Bölme

Soru: 2,4 ÷ 0,06 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 4
• B) 0,4
• C) 400
• D) 0,04
• E) 40

Çözüm: İkisi de 100 ile çarpılır: 240 ÷ 6 = 40. Cevap: E.

Örnek 3 — Ondalıktan kesre

Soru: 0,48 sayısının sadeleşmiş kesir gösterimi hangisidir?

• A) 12/25
• B) 24/50
• C) 48/10
• D) 6/25
• E) 4/8

Çözüm: 0,48 = 48/100'dür; 4 ile sadeleşince 12/25 bulunur. Cevap: A.

Örnek 4 — Karışık işlem

Soru: (0,6 − 0,15) ÷ 0,09 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 0,5
• B) 50
• C) 4,5
• D) 5
• E) 0,05

Çözüm: Parantez 0,45'tir. 0,45 ÷ 0,09 = 45 ÷ 9 = 5'tir. Cevap: D.

• Çarpımda virgülü tek çarpana göre koymak. Basamak sayıları toplanır: 0,3 · 0,2 = 0,06.
• Bölmede yalnız böleni çarpmak. Bölen ve bölünen aynı sayıyla çarpılır.
• Toplamada sayıları sağa yaslamak. Virgüller alt alta gelir.
• Basamağı çok olanı büyük sanmak. 0,29 < 0,3'tür.
• Yuvarlamada iki basamak sağa bakmak. Yalnızca hemen sağdaki rakam belirleyicidir.