Rasyonel sayılarda sıralama

2021/2022 mi büyüktür, yoksa 2022/2023 mü? Çapraz çarpmaya kalkarsan yedi basamaklı iki sayıyı hesaplaman gerekir. Daha kısa bir yol var: iki kesir de 1'den biraz küçüktür ve 1'e ne kadar uzak olduklarına bakabilirsin. Birincisinin 1'e uzaklığı 1/2022, ikincisininki 1/2023'tür. 1/2023 daha küçük olduğu için ikinci kesir 1'e daha yakındır, dolayısıyla daha büyüktür. Hiç çarpma yapmadan, yalnızca kesrin neye benzediğine bakarak sonuca vardın. Temel beceriler modülünde payda eşitlemeyi ve çapraz çarpmayı gördük. Bu derste sınavın sevdiği hızlı karşılaştırma yollarını, negatif kesirlerde sıralamayı, iki kesir arasında kesir bulmayı ve bir değişkenin kuvvetlerini sıralamayı işliyoruz.

• Payları eşitleyerek ya da 1'e uzaklığa bakarak kesirleri hızla sıralarsın.
• Negatif kesirlerin sırasının neden ters döndüğünü açıklar ve doğru sıralarsın.
• İki kesir arasında bir kesir bulur, bir aralıktaki kesirleri sayarsın.
• 0 ile 1 arasındaki ve −1 ile 0 arasındaki bir sayının kuvvetlerini ve tersini sıralarsın.

Payları eşitlemek

Paydaları eşitlemek her zaman çalışır, ama bazen paylar çok daha kolay eşitlenir. 4/9, 6/13 ve 12/25 kesirlerinde paydalar 9, 13 ve 25'tir ve ortak payda büyük bir sayıdır. Paylar ise küçük ve birbirinin katı olan sayılardır; üçü de 12'ye kolayca çıkar. Genişletince 12/27, 12/26 ve 12/25 elde edilir. Payları aynı olan kesirlerde paydası küçük olan büyüktür, çünkü aynı miktar daha az parçaya bölünmüştür. Sıralama 4/9 < 6/13 < 12/25 olur.

Bu yolu seçmek için kesirlere bir saniye bakmak yeter: paylar küçük sayılar ve birbirinin katlarıysa paylar, paydalar küçük ve birbirinin katlarıysa paydalar eşitlenir.

1'e uzaklığa bakmak

Kancadaki yöntem, paydası payından biraz büyük kesirlerde çok işe yarar. 7/8, 11/12 ve 15/16 kesirleri sırasıyla 1 − 1/8, 1 − 1/12 ve 1 − 1/16'dır. Eksik kalan parça ne kadar küçükse kesir 1'e o kadar yakındır ve o kadar büyüktür. 1/16 en küçük eksiklik olduğu için 15/16 en büyüktür ve sıralama 7/8 < 11/12 < 15/16'dır.

Eksiklikler her zaman 1/n biçiminde olmaz. 29/33 kesrinin eksikliği 4/33'tür, 31/36'nınki 5/36'dır. Bu durumda eksiklikleri karşılaştırmak, kesirlerin kendisini karşılaştırmaktan genellikle daha kolaydır, çünkü sayılar küçülmüştür.

Aynı fikir 1'den büyük kesirlerde fazlalığa uygulanır. 9/8, 13/12 ve 17/16 kesirleri 1 + 1/8, 1 + 1/12 ve 1 + 1/16'dır. Burada fazlalık büyük olan kesir büyüktür: 17/16 < 13/12 < 9/8. Eksiklikte küçük olan kazanır, fazlalıkta büyük olan kazanır; bu ters çevrilmeyi karıştırmamak gerekir.

Pay ve paydaya aynı sayıyı eklemek

1'den küçük pozitif bir kesrin payına ve paydasına aynı pozitif sayı eklenirse kesir büyür ve 1'e yaklaşır: 3/5 < 4/6 < 5/7 < … Bunun nedeni, eklenen sayı büyüdükçe pay ile payda arasındaki farkın sabit kalması, paydanın ise büyümesidir; eksiklik 2/5'ten 2/6'ya, 2/7'ye küçülür. 1'den büyük bir kesirde aynı işlem kesri küçültür, yine 1'e yaklaştırır. Kesir zaten 1 ise değişmez.

Negatif kesirler

Sayı doğrusunda sıfırın solundaki sayılar için büyüklük ters döner: mutlak değeri büyük olan negatif sayı daha küçüktür. −3/4 ile −2/3'ü karşılaştırmak için önce pozitif hâllerini sırala: 2/3 < 3/4. Sonra sırayı çevir: −3/4 < −2/3. Negatif kesirlerin hepsini birlikte sıralarken de aynı iki adım izlenir. Pozitif ve negatif kesirler bir aradaysa önce işarete bak: her negatif sayı her pozitif sayıdan küçüktür ve aradaki sıfır bir ölçüt görevi görür.

İki kesir arasında kesir

İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı vardır; aslında sonsuz tanesi vardır. Bir tanesini bulmanın hızlı yolu, payları kendi aralarında, paydaları kendi aralarında toplamaktır: 2/5 ile 3/7 arasında (2 + 3)/(5 + 7) = 5/12 bulunur. Pozitif paydalı iki kesir için bu kesir her zaman ikisinin arasında kalır. Bir başka yol iki kesrin ortalamasını almaktır, ama o daha uzun bir hesap ister.

"Paydası 60 olan kaç kesir 1/4 ile 1/3 arasındadır?" gibi sorularda iki sınırı aynı paydaya çevirmek yeterlidir: 1/4 = 15/60 ve 1/3 = 20/60. Aradaki paylar 16, 17, 18 ve 19'dur. Sınırların dahil olup olmadığına dikkat et.

Bir değişkenin kuvvetlerini sıralamak

0 ile 1 arasındaki bir x için kuvvet arttıkça sayı küçülür: x³ < x² < x. Tersi ise 1'den büyüktür: 1/x > 1. x = 1/2 alarak denetleyebilirsin: 1/8 < 1/4 < 1/2 < 2. Bu sıralama, bir sayıyı 1'den küçük bir sayıyla çarpmanın onu küçülttüğü gerçeğinden gelir.

−1 ile 0 arasındaki bir x için tablo değişir. Çift kuvvetler pozitif, tek kuvvetler negatiftir. x² pozitiftir ama x'in mutlak değerinden küçüktür; −x de pozitiftir ve x²'den büyüktür. Negatif taraftaki sıralama ise 1/x < x < x³'tür. x = −1/2 ile denetle: 1/x = −2, x = −1/2, x³ = −1/8, x² = 1/4, −x = 1/2. Bu tür sorularda aralıktan bir sayı seçip yerine koymak en güvenli yoldur; ama seçtiğin sayı aralığın içinde olmalı ve 0 ya da 1 gibi bir uç değer olmamalıdır.

Ondalığa çevirmek ne zaman işe yarar?

Kesirlerin hiçbiri kolay eşitlenmiyorsa ve 1'e uzaklıkları da birbirine benzemiyorsa, her birini yaklaşık bir ondalık sayıya çevirmek son çaredir. Bunun için tam bölme yapmak gerekmez; ilk iki basamak çoğu zaman yeterlidir. 5/13 için 13'ün 5'i 0,38'den biraz fazla, 3/8 ise tam 0,375'tir. Bu yaklaşık değerler iki kesir birbirine çok yakın değilse sıralamayı kesinleştirir. Kesirler birbirine çok yakınsa yaklaşık ondalık yanıltabilir; o zaman çapraz çarpmaya ya da eksikliklere dönmek daha güvenlidir. Hangi yolu seçeceğine karar vermek bu derste öğrenilen asıl beceridir: aynı soruyu her yöntemle çözebilirsin, ama sınavda en kısa yolu seçen zaman kazanır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri birkaç kesir arasından en büyüğünü ya da en küçüğünü, üç kesrin doğru sıralamasını, iki kesir arasında kalan bir kesri ya da bir aralıktaki kesirlerin sayısını ve bir değişkenin kuvvetlerinin sıralamasını ister. Her soruda önce kesirlerin neye benzediğine bak: payları mı kolay eşitlenir, 1'e mi yakınlar, yoksa işaretleri mi farklı?

Örnek 1 — 1'e uzaklık

Soru: a = 10/11, b = 14/15 ve c = 21/22 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) c < b < a
• B) b < a < c
• C) a < c < b
• D) b < c < a
• E) a < b < c

Çözüm: Eksiklikler 1/11, 1/15 ve 1/22'dir. Eksiklik küçüldükçe kesir büyür; a < b < c olur. Cevap: E.

Örnek 2 — Payları eşitlemek

Soru: x = 3/8, y = 6/17 ve z = 9/25 için doğru sıralama hangisidir?

• A) x < y < z
• B) y < z < x
• C) z < x < y
• D) y < x < z
• E) z < y < x

Çözüm: Paylar 18'e eşitlenir: 18/48, 18/51 ve 18/50. Paydası küçük olan büyüktür; y < z < x olur. Cevap: B.

Örnek 3 — Arada kesir

Soru: Aşağıdaki kesirlerden hangisi 3/8 ile 2/5 arasındadır?

• A) 7/20
• B) 5/12
• C) 5/13
• D) 1/3
• E) 9/20

Çözüm: Payları ve paydaları toplayınca (3 + 2)/(8 + 5) = 5/13 bulunur ve bu kesir iki kesrin arasındadır. Öteki seçenekler aralığın dışındadır. Cevap: C.

Örnek 4 — Negatif aralık

Soru: −1 < x < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi en büyüktür?

• A) x
• B) x³
• C) 1/x
• D) −x
• E) x²

Çözüm: Pozitif olan seçenekler −x ve x²'dir. x = −1/2 için −x = 1/2 ve x² = 1/4'tür; en büyüğü −x'tir. Cevap: D.

• Negatiflerde pozitif sırayı korumak. −3/4, −2/3'ten küçüktür.
• Fazlalıkta küçük olanı büyük sanmak. 1'den büyük kesirlerde fazlalığı büyük olan büyüktür.
• Büyük paydayı büyük kesir sanmak. Pay sabitken payda büyüdükçe kesir küçülür.
• Kuvvet sıralamasını aralığa bakmadan yapmak. 0 < x < 1 ile −1 < x < 0'da sıralama farklıdır.
• Deneme sayısını uca koymak. x = 0, x = 1 ya da x = −1 aralığın dışındadır.