Rasyonel sayılarda işlemler

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/90 toplamını hesap makinesi olmadan bulabilir misin? Dokuz kesrin paydasını tek tek eşitlemeye kalkarsan dakikalarca uğraşırsın. Oysa paydalara bakınca bir düzen görünür: 2 = 1 · 2, 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4 ve son terim 90 = 9 · 10'dur. Ardışık iki sayının çarpımı paydada olan her kesir, iki kesrin farkı olarak yazılabilir: 1/(2 · 3) = 1/2 − 1/3. Toplamı böyle yazınca ortadaki terimler birbirini götürür ve geriye 1 − 1/10 = 9/10 kalır. Kesirlerle temel işlemleri temel beceriler modülünde gördük. Bu derste negatif kesirleri, tam sayılı kesirlerin işaretini, merdiven biçimindeki kesirleri ve uzun işlemleri kısaltan üç yöntemi işliyoruz.

• Rasyonel sayıyı tanımlar, negatif kesirlerde ve tam sayılı kesirlerde işareti doğru yerleştirirsin.
• Merdiven biçimindeki kesirleri en alttan başlayarak sadeleştirirsin.
• Ortak çarpan parantezi ve terimlerin birbirini götürmesiyle uzun işlemleri kısaltırsın.
• İşlem önceliğine uyarak karışık rasyonel ifadeleri hesaplarsın.

Rasyonel sayı nedir?

a ve b tam sayılar, b sıfırdan farklı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Her tam sayı da rasyoneldir, çünkü 5 = 5/1 ve −3 = −3/1 yazılabilir. Paydanın sıfır olamaması bölmenin tanımından gelir: hiçbir sayı sıfıra bölünemez. Pay ise sıfır olabilir ve 0/7 = 0'dır.

Negatif işaret kesrin üç yerinden birinde durabilir ve üçü de aynı sayıyı gösterir: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). Pay ile paydanın ikisi de negatifse kesir pozitiftir: (−3)/(−4) = 3/4. İşlem yaparken işareti her zaman kesrin önüne ya da paya taşımak, paydayı pozitif tutmak, hataları azaltır.

Negatif kesirlerle dört işlem

Toplama ve çıkarmada paydalar eşitlenir, paylar işaretleriyle birlikte toplanır. −3/4 + 5/8 için ortak payda 8'dir: −6/8 + 5/8 = −1/8. Çarpmada ve bölmede işaretler tam sayılardaki gibi belirlenir: aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü pozitif, ters işaretli iki sayınınki negatiftir. Önce işareti belirle, sonra sayıların mutlak değerleriyle çalış.

Bir sayının çarpmaya göre tersi, onunla çarpımı 1 olan sayıdır. −4/7'nin tersi −7/4'tür; işaret değişmez, yalnızca pay ile payda yer değiştirir. 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur. Bölme, bölenin tersiyle çarpmadır: (−2/9) ÷ (4/3) = (−2/9) · (3/4) = −1/6.

Tam sayılı kesirlerde işaret

Tam sayılı bir kesir, tam kısım ile kesir kısmının toplamıdır: 2 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3. Negatif bir tam sayılı kesirde eksi işareti bütün sayıya aittir: −2 1/3 = −(2 + 1/3) = −7/3. Bunu −2 + 1/3 = −5/3 diye okumak sınavın en sık kullandığı tuzaklardan biridir. Güvenli yol, işleme başlamadan önce her tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmektir.

Merdiven biçimindeki kesirler

Payında ya da paydasında kesir bulunan kesirlere merdiven biçimindeki kesirler denir. 2 + 1/(3 + 1/4) gibi bir ifadede kural basittir: en alttaki basamaktan başla, yukarı doğru çık. Önce 3 + 1/4 = 13/4 bulunur. Sonra 1/(13/4) = 4/13 olur, çünkü kesre bölmek, kesri ters çevirip çarpmakla aynıdır. En sonunda 2 + 4/13 = 30/13 elde edilir.

Basamak sayısı arttıkça işlem uzar ama yöntem değişmez. Her adımda yalnızca bir kesir sadeleştirilir ve sonuç bir üst basamağa taşınır. Yukarıdan başlamaya çalışmak, henüz değeri bilinmeyen bir paydayla uğraşmak demektir.

Kısaltma yolu 1: ortak çarpan parantezi

Aynı kesir birden çok terimde çarpan olarak geçiyorsa parantezine alınır. 3/7 · 5 + 3/7 · 2 ifadesinde 3/7 ortaktır: 3/7 · (5 + 2) = 3/7 · 7 = 3. Bu yol, kesirleri tek tek çarpıp sonra toplamaktan hem hızlıdır hem de daha az hata payı bırakır. Ortak çarpan bazen bir terimde gizlidir: 5/9 · 4 − 5/9 ifadesinde son terim 5/9 · 1'dir ve sonuç 5/9 · 3 = 5/3 olur.

Kısaltma yolu 2: farka ayırma

Kancadaki yöntem şudur: paydası ardışık iki sayının çarpımı olan bir kesir, iki birim kesrin farkına eşittir.

• 1/(n · (n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)

Bu kesirler toplandığında her terimin eksi parçası bir sonrakinin artı parçasıyla götürülür ve yalnızca ilk ile son parça kalır. 1/(2 · 3) + 1/(3 · 4) + … + 1/(7 · 8) toplamı 1/2 − 1/8 = 3/8'dir. Paydadaki çarpanlar arasındaki fark 1 değil 2 ise aynı fikir bir düzeltme katsayısıyla işler: 1/(n · (n + 2)) = (1/2) · (1/n − 1/(n + 2)).

Kısaltma yolu 3: çarpımda götürme

Çarpım biçiminde yazılmış uzun ifadelerde de benzer bir götürme olur. (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · … · (1 − 1/10) çarpımında her parantez bir kesirdir: 1/2, 2/3, 3/4, …, 9/10. Her kesrin paydası bir sonrakinin payıyla sadeleşir ve geriye ilk payla son payda kalır: 1/10. Böyle bir ifadeyi görünce önce her parantezi tek bir kesir olarak yaz, sonra çapraz sadeleşmeyi ara.

İşlem önceliği

Rasyonel sayılarda da öncelik sırası aynıdır: önce parantez içi, sonra çarpma ve bölme soldan sağa, en son toplama ve çıkarma soldan sağa. Kesir çizgisi bir parantez gibi davranır: payın ve paydanın her biri ayrı ayrı hesaplanır, sonra bölünür. (1/2 − 1/5) ÷ (1/3 − 1/6) ifadesinde önce iki parantez hesaplanır, 3/10 ve 1/6 bulunur, sonra bölme yapılır ve sonuç 9/5'tir.

Farka ayırmanın nedeni

Bu eşitliği ezberlemek yerine bir kez sağlamak, onu doğru yerde kullanmanı kolaylaştırır. Sağ taraftaki iki kesri ortak paydada yazarsan payda, n ile bir sonraki sayının çarpımı olur; pay ise büyük sayıdan küçüğün çıkarılmasıyla 1 kalır. Böylece sol taraf ortaya çıkar. Aynı sağlama, paydadaki çarpanların farkı 2 ya da 3 olduğunda payın da 2 ya da 3 çıkacağını gösterir. Bu yüzden düzeltme katsayısı, çarpanlar arasındaki farkın tersidir. Bir toplamı farka ayırmadan önce iki şeye bak: paydalar gerçekten ardışık ya da eşit aralıklı çarpanlardan mı oluşuyor, ve her terimin ikinci çarpanı bir sonraki terimin ilk çarpanı mı? Bu iki koşul sağlanmazsa terimler birbirini götürmez.

Soru kökleri

Bu modülün ilk dersindeki problemler negatif ve tam sayılı kesirlerle dört işlemi, çarpmaya göre tersi, merdiven biçimindeki kesirleri ve ortak çarpan, farka ayırma ya da çarpımda götürme ile kısalan uzun ifadeleri ister. Her soruda işleme başlamadan önce ifadenin hangi kısaltmaya uygun olduğuna bak.

Örnek 1 — Tam sayılı kesir

Soru: −1 3/5 + 3/4 toplamı nedir?

• A) −1/20
• B) −17/20
• C) 7/20
• D) −13/20
• E) 17/20

Çözüm: −1 3/5 = −8/5'tir. −32/20 + 15/20 = −17/20 bulunur. Cevap: B.

Örnek 2 — Merdiven

Soru: 1 + 1/(1 + 1/3) ifadesinin değeri nedir?

• A) 4/3
• B) 3/4
• C) 7/3
• D) 7/4
• E) 5/4

Çözüm: En alttan başlanır: 1 + 1/3 = 4/3. 1/(4/3) = 3/4 ve 1 + 3/4 = 7/4'tür. Cevap: D.

Örnek 3 — Farka ayırma

Soru: 1/(3 · 4) + 1/(4 · 5) + … + 1/(8 · 9) toplamı kaçtır?

• A) 2/9
• B) 1/9
• C) 1/3
• D) 6/27
• E) 5/18

Çözüm: Her terim 1/n − 1/(n + 1) biçimindedir; geriye 1/3 − 1/9 = 2/9 kalır. Cevap: A.

Örnek 4 — Çarpımda götürme

Soru: (1 − 1/3) · (1 − 1/4) · … · (1 − 1/12) çarpımı kaçtır?

• A) 1/12
• B) 11/12
• C) 1/4
• D) 2/3
• E) 1/6

Çözüm: Parantezler 2/3, 3/4, …, 11/12'dir. Ardışık sadeleşmeden sonra 2/12 = 1/6 kalır. Cevap: E.

• −2 1/3'ü −2 + 1/3 sanmak. Eksi işareti bütün sayıya aittir: −7/3.
• Çarpmaya göre terste işareti değiştirmek. −4/7'nin tersi −7/4'tür.
• Merdivene yukarıdan başlamak. Her zaman en alttaki basamaktan başlanır.
• Farka ayırmada ilk ve son parçayı karıştırmak. Geriye ilk terimin artısı ile son terimin eksisi kalır.
• Kesir çizgisinin parantez işlevini unutmak. Pay ve payda ayrı ayrı hesaplanır.