Devirli ondalık sayılar

1/3 kesrini ondalığa çevirmeye çalış: 1 ÷ 3 = 0,333… ve bölme hiç bitmez, hep 3 kalır. Şimdi iki tarafı 3 ile çarp. Sol tarafta 3 · 1/3 = 1 elde edilir, sağ tarafta ise 0,999… Demek ki sonsuza kadar süren 0,999… sayısı 1'e eşittir. Bu sonuç ilk duyulduğunda yanlış gibi gelir, ama doğrudur ve devirli ondalık sayıların nasıl davrandığını çok iyi özetler: tekrar eden basamaklar, aslında bir kesrin başka bir yazılışıdır. Önceki derste paydası yalnızca 2 ve 5 çarpanlarından oluşan kesirlerin sonlu ondalığa döndüğünü gördük. Bu derste paydada başka asal çarpanlar olduğunda ne olduğunu, devirli bir ondalık sayının kesre nasıl çevrildiğini ve devirli sayılarla nasıl işlem yapıldığını işliyoruz.

• Bir kesrin sonlu mu devirli mi ondalık vereceğini paydasından anlarsın.
• Devirli bir ondalık sayıyı kesre çevirme kuralını uygular ve nedenini açıklarsın.
• Devirli ondalık sayılarla dört işlemi kesre çevirerek yaparsın.
• Devirli ve sonlu ondalık sayıları doğru sıralarsın.

Gösterim

Virgülden sonra bir ya da daha fazla basamağı sonsuza kadar aynı sırayla tekrar eden sayılara devirli ondalık sayı denir. Tekrar eden kısma devreden denir. Kitaplarda devreden basamakların üstüne bir çizgi çekilir. Bu derste aynı şeyi parantezle gösteriyoruz: 0,333… sayısı 0,(3), 0,272727… sayısı 0,(27), 0,1666… sayısı ise 0,1(6) olarak yazılır. Son örnekte 1 bir kez yazılır ve tekrar etmez; yalnızca 6 devreder.

Hangi kesir devirli olur?

Sadeleştirilmiş bir kesrin paydası yalnızca 2 ve 5 çarpanlarından oluşuyorsa ondalık gösterimi sonludur. Paydada 3, 7, 11 gibi başka bir asal çarpan varsa bölme hiç bitmez ve kalanlar bir noktadan sonra tekrar etmeye başlar; ondalık gösterim devirli olur. 5/12 kesrinde payda 12 = 2² · 3'tür; içindeki 3 yüzünden 5/12 = 0,41(6) devirlidir. 7/20'de ise payda 2² · 5'tir ve 0,35 sonludur.

Kesri sadeleştirmeden bu kararı verme. 6/15 kesrinin paydasında 3 vardır, ama sadeleşince 2/5 olur ve 0,4 sonludur. Paydadaki 3, paydaki 6 tarafından götürülmüştür; karar her zaman en sade hâle bakılarak verilir, çünkü aynı sayının bütün kesir yazılışları aynı ondalığı verir.

Devirliyi kesre çevirme kuralı

Bir devirli ondalık sayı şu kuralla kesre çevrilir:

• Pay: virgül yokmuş gibi okunan sayının tamamı eksi devretmeyen kısım.
• Payda: devreden basamak sayısı kadar 9, onların arkasına devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0.

0,(7) için sayının tamamı 7, devretmeyen kısım 0'dır; bir basamak devreder: 7/9. 0,(54) için 54/99 = 6/11 bulunur. 0,2(3) için sayının tamamı 23, devretmeyen kısım 2'dir; bir basamak devreder, bir ondalık basamak devretmez: (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30. Tam kısım da varsa kurala dahil edilir: 3,(2) için (32 − 3)/9 = 29/9; 2,1(45) için (2145 − 21)/990 = 2124/990 = 118/55.

Kuralın nedeni

x = 0,(54) olsun. Devreden kısım iki basamaklı olduğu için x'i 100 ile çarparız: 100x = 54,(54). Bu iki eşitliği alt alta çıkarınca virgülden sonraki sonsuz kuyruk tamamen götürülür: 100x − x = 54, yani 99x = 54 ve x = 54/99'dur. Paydadaki 99, işte bu 100 − 1'den gelir. Devretmeyen bir basamak varsa önce onu virgülün soluna geçirmek için 10 ile çarparız; bu da paydaya 0 ekler. Kural, bu iki adımın kısaltılmış hâlidir. 0,2(3) için önce 10x = 2,(3), sonra 100x = 23,(3) yazılır; bu ikisinin farkı 90x = 21 verir ve paydadaki 90 buradan gelir.

Kancadaki 0,(9) sayısına aynı kural uygulanınca 9/9 = 1 bulunur. Bu, 0,(9) ile 1'in aynı sayı olduğunun bir başka gösterimidir.

Devirli sayılarla işlem

Devirli sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yaparken basamakları alt alta yazmaya çalışmak hatalara yol açar, çünkü kuyruk hiç bitmez. Güvenli yol, her sayıyı önce kesre çevirmek ve işlemi kesirlerle yapmaktır. 2,(3) + 0,(4) için 7/3 + 4/9 = 25/9 bulunur. Sonucu yeniden ondalık istenirse en sonda çevirirsin.

Bazen kesre çevirmeden de kısa bir yol görünür. 0,(15) · 66 işleminde 0,(15) = 15/99 = 5/33'tür ve sonuç 10'dur. Paydanın 99 ya da 9 olması, çarpanın bir katı olduğunda hesabı çok kısaltır.

Sıralama

Devirli bir sayıyı sonlu bir sayıyla karşılaştırırken birkaç basamak açarak yazmak yeterlidir. 0,(7) ile 0,77 karşılaştırılırken 0,(7) = 0,7777… yazılır; üçüncü basamakta 0,777… büyüktür. 0,7(8) = 0,7888… ise ikisinden de büyüktür, çünkü ikinci basamakta 8 vardır. Basamak sayısını eşitleyerek bakmak, önceki dersteki sıfır ekleme fikrinin aynısıdır; tek fark, devirli sayıda eklenen basamakların sıfır değil, devreden rakamlar olmasıdır.

Kalanlar neden tekrar eder?

Bir kesri ondalığa çevirirken uzun bölme yaparsın ve her adımda bir kalan elde edersin. 7'ye bölmede kalan yalnızca 0, 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 olabilir. Kalan bir kez 0 olursa bölme biter ve ondalık sonludur. Kalan hiçbir zaman 0 olmuyorsa, en geç yedinci adımda daha önce görülmüş bir kalan yeniden ortaya çıkar. Aynı kalandan sonra bölme aynı biçimde devam eder; böylece aynı rakam dizisi yeniden yazılır. Bu yüzden bir kesrin ondalık gösterimi ya sonludur ya da devirlidir; üçüncü bir olasılık yoktur. Aynı düşünce, devreden kısmın uzunluğunun paydadan küçük olacağını da gösterir: 1/7'nin devreden kısmı altı basamaklıdır, 142857.

Devirli sayılar ve rasyonellik

Her devirli ondalık sayı bir kesre eşit olduğu için rasyoneldir. Tersi de doğrudur: her rasyonel sayının ondalık gösterimi ya sonlu ya devirlidir. Basamakları hiçbir düzen içinde tekrar etmeyen sonsuz ondalık sayılar ise rasyonel değildir; ileride karşılaşacağın √2 ve π bunlara örnektir. Bu ayrım, sınavda "aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayıdır?" türündeki sorularda işe yarar. Devirli olduğu açıkça yazılmış bir sayı her zaman rasyoneldir, ne kadar uzun görünürse görünsün.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri devirli bir sayının kesir karşılığını, devirli sayılarla yapılan bir işlemin sonucunu, bir kesrin devirli olup olmadığını ve devirli sayıların sıralamasını ister. Her soruda önce devirli sayıları kesre çevir; işlemin geri kalanı önceki derslerdeki kesir hesabıdır.

Örnek 1 — Saf devirli

Soru: 0,(45) hangi kesre eşittir?

• A) 9/20
• B) 5/11
• C) 45/100
• D) 4/9
• E) 15/37

Çözüm: İki basamak devreder: 45/99 = 5/11. Cevap: B.

Örnek 2 — Karışık devirli

Soru: 2,1(6) sayısı aşağıdaki kesirlerden hangisine eşittir?

• A) 13/6
• B) 216/90
• C) 65/30
• D) 7/3
• E) 19/9

Çözüm: Sayının tamamı 216, devretmeyen kısım 21'dir; bir basamak devreder, bir basamak devretmez: (216 − 21)/90 = 195/90 = 13/6. Cevap: A.

Örnek 3 — Devirli bölme

Soru: 0,(3) ÷ 0,0(3) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 1/10
• B) 3
• C) 100
• D) 30
• E) 10

Çözüm: 0,(3) = 1/3 ve 0,0(3) = 3/90 = 1/30'dur. 1/3 ÷ 1/30 = 10. Cevap: E.

Örnek 4 — Hangi kesir devirli?

Soru: Aşağıdaki kesirlerden hangisinin ondalık gösterimi devirlidir?

• A) 3/8
• B) 7/20
• C) 9/25
• D) 5/12
• E) 11/40

Çözüm: Yalnızca 5/12'nin paydasında 2 ve 5 dışında bir asal çarpan, 3 vardır. Cevap: D.

• Devretmeyen kısmı çıkarmayı unutmak. 0,2(3) = (23 − 2)/90'dır, 23/90 değil.
• Paydadaki 9 ve 0'ları karıştırmak. Devreden basamak 9, devretmeyen ondalık basamak 0 verir.
• Devirliyi sonlu sanıp kesmek. 0,(7), 0,77'den büyüktür.
• Sadeleştirmeden karar vermek. 6/15 = 2/5 sonludur.
• 0,(9)'u 1'den küçük sanmak. 0,(9) = 9/9 = 1'dir.