İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · EBOB-EKOK · MAT-M03-L03

EBOB-EKOK problemleri

TYTsınavdaki ağırlığı orta· 8 bölüm

1Kanca

Boyutları 180 cm ve 240 cm olan bir oda, hiç kesilmeden ve boşluk bırakmadan eş kare karolarla döşenecek. Karolar olabildiğince büyük seçilirse kaç karo gerekir? Karonun kenarı hem 180'i hem 240'ı tam bölmelidir, yoksa bir kenarda karo kesmek gerekir. Kenarın olabildiğince büyük olması istendiği için 180 ile 240'ın en büyük ortak bölenini ararız: 60 cm. Bir kenara 3, ötekine 4 karo sığar ve 12 karo yeter. Problemin sayıları basit; zor olan, metni okuyup "burada ortak bölen mi, ortak kat mı aranıyor?" sorusunu doğru cevaplamaktır. Bu derste sınavda en sık görülen EBOB ve EKOK problem kalıplarını tek tek kuruyor, her birinde hangi büyüklüğün neyi temsil ettiğini adım adım yazıyoruz.

2Hedefler

  • Problem metninden ortak bölen mi ortak kat mı arandığına karar verirsin.
  • Eşit parçalara bölme, kare döşeme ve çevreye eşit aralıkla dikme problemlerini EBOB ile çözersin.
  • Birlikte tekrar etme, kare ya da küp oluşturma ve dişli problemlerini EKOK ile çözersin.
  • Bulduğun EBOB ya da EKOK'tan istenen sayıyı (parça, karo, ağaç, tur) doğru türetirsin.

3Konu anlatımı

Karar: bölen mi, kat mı?

Önceki derste bir ipucu gördük: aranan büyüklük verilen sayılardan küçükse ortak bölen, büyükse ortak kat aranıyordur. Bu derste bu ipucunu kalıplara çeviriyoruz. Bir parçanın uzunluğu, bir karonun kenarı, iki ağaç arasındaki uzaklık ya da bir şişenin hacmi verilen büyüklükleri tam bölmek zorundadır; bunlar EBOB problemleridir. Ortak bir an, bir karenin kenarı ya da bir küpün ayrıtı verilen büyüklüklerin tam katı olmak zorundadır; bunlar EKOK problemleridir. "En büyük" kelimesi EBOB'a, "en küçük" kelimesi EKOK'a götürür sanılır, ama bu her zaman doğru değildir: "en az kaç parça" diye soran bir problemde parçalar en büyük seçildiği için yine EBOB kullanılır.

EBOB kalıbı 1: eşit parçalara bölme

72 cm ve 96 cm uzunluğunda iki tahta, artık kalmadan eşit uzunlukta parçalara kesilecek. Parçalar olabildiğince uzun olsun. Parça uzunluğu iki sayıyı da bölmelidir; en uzunu EBOB(72, 96) = 24 cm'dir. Parça sayısı ise her tahtanın parça uzunluğuna bölümüdür: 72 ÷ 24 + 96 ÷ 24 = 3 + 4 = 7. Soru "en az kaç parça" diye sorsa da cevap aynıdır, çünkü parça uzadıkça sayısı azalır.

Bu kalıbın bir başka giysisi, karıştırılmadan eşit hacimli kaplara doldurulan sıvılardır. Her kabın hacmi bütün sıvı miktarlarını bölmelidir. Bir başkası da her grubun aynı içeriğe sahip olduğu paylaştırmadır: grup sayısı bütün miktarları bölmelidir ve en çok grup için EBOB alınır.

EBOB kalıbı 2: kare karolarla döşeme

Kancadaki oda bu kalıptır. Kare karonun kenarı iki kenar uzunluğunu da bölmelidir; en büyük karo için EBOB alınır. Karo sayısı, her kenara sığan karo sayılarının çarpımıdır, toplamı değil. 180 × 240'lık odada 3 · 4 = 12 karo gerekir. Bu fark önemlidir: tahta probleminde parçalar uç uca dizildiği için toplanır, döşemede ise karolar satır ve sütunlar hâlinde yerleştiği için çarpılır.

EBOB kalıbı 3: çevreye eşit aralıkla dikme

48 m'ye 72 m'lik dikdörtgen bir bahçenin çevresine eşit aralıklarla fidan dikilecek ve her köşeye de birer fidan gelecek. En az kaç fidan gerekir? Köşelerde fidan olduğu için aralık her kenarı tam bölmelidir; en az fidan için aralık en büyük, yani EBOB(48, 72) = 24 m seçilir. Çevre 2 · (48 + 72) = 240 m'dir. Kapalı bir çizgi boyunca dikilen fidan sayısı aralık sayısına eşittir: 240 ÷ 24 = 10 fidan.

Burada iki tuzak vardır. Birincisi kapalı ve açık çizgi farkıdır. Bir yolun yalnızca bir kenarına, başa ve sona da fidan dikilecekse fidan sayısı aralık sayısından bir fazladır: 210 m'lik yolda 15 m arayla 210 ÷ 15 + 1 = 15 fidan gerekir. Çevre ise kapalıdır; son fidan ilk fidanla çakışır ve +1 eklenmez. İkincisi, soruda aralığa bir sınır konmuş olabilir. "Aralık en fazla 10 m olsun" denirse 24 seçilemez; EBOB'un 10'u aşmayan en büyük bölenine inilir.

EKOK kalıbı 1: birlikte tekrar

Belirli aralıklarla tekrarlanan olayların ilk ortak anı EKOK'tur. Bir önceki derste otobüsler ve lambalarla bu kalıbı gördük. Burada eklenecek tek şey, sonucu soruda istenen birime çevirmektir: EKOK dakika olarak çıkıp saat sorulmuş olabilir, saniye çıkıp dakika sorulmuş olabilir. Dairesel bir pistte farklı sürelerde tur atan koşucuların başlangıç noktasında ilk kez buluştuğu an da bu kalıptır.

EKOK kalıbı 2: kare ve küp oluşturma

Boyutları 10 cm ve 15 cm olan dikdörtgen kartlar aynı yönde yan yana dizilerek kare oluşturulacak. Karenin kenarı hem 10'un hem 15'in katı olmalıdır; en küçük kare için EKOK(10, 15) = 30 cm alınır. Kart sayısı yine çarpımla bulunur: bir kenara 30 ÷ 10 = 3, ötekine 30 ÷ 15 = 2 kart sığar ve 6 kart gerekir. Üç boyutlu tuğlalarla küp oluşturmada aynı yol üç ayrıt için izlenir ve üç bölüm çarpılır.

Kare döşeme ile kare oluşturmayı karıştırma. Döşemede büyük bir alan küçük karelere bölünür (EBOB), oluşturmada küçük dikdörtgenler birleştirilerek büyük bir kare yapılır (EKOK).

EKOK kalıbı 3: dişli çarklar

20 dişli ve 30 dişli iki çark birbirine geçmiş dönüyor. Başlangıçta karşılaşan iki diş yeniden ne zaman karşılaşır? İki çark aynı sayıda diş ilerletir; ilerleyen diş sayısı hem 20'nin hem 30'un katı olduğunda iki çark da başa döner. EKOK(20, 30) = 60 diş sonra küçük çark 60 ÷ 20 = 3 tur, büyük çark 60 ÷ 30 = 2 tur atmış olur. Soru hangi çarkın kaç tur attığını soruyorsa EKOK o çarkın diş sayısına bölünür. Diş sayısı az olan çark aynı sürede daha çok tur atar; bu, sonucu denetlemenin kolay bir yoludur.

Soru kökleri

Bu derste karşına çıkacak problemlerde önce aranan büyüklüğün verilenleri böldüğüne mi yoksa onların katı olduğuna mı karar ver. Sonra EBOB ya da EKOK'u bul ve istenen sayıyı (parça, karo, fidan, tur, saat) son adımda ayrıca hesapla.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Eşit parçalar

Soru: 90 cm, 126 cm ve 162 cm uzunluğundaki üç tel, artık kalmadan eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. Parçalar olabildiğince uzun olursa toplam kaç parça elde edilir?

  • A) 42
  • B) 21
  • C) 27
  • D) 14
  • E) 18

Çözüm: Parça uzunluğu EBOB(90, 126, 162) = 18 cm'dir. Parça sayısı 5 + 7 + 9 = 21'dir. Cevap: B.

Örnek 2 — Kare karolar

Soru: 120 cm'ye 168 cm'lik bir duvar, kesilmeden ve boşluk bırakılmadan olabildiğince büyük eş kare fayanslarla kaplanacaktır. Kaç fayans gerekir?

  • A) 24
  • B) 12
  • C) 35
  • D) 70
  • E) 140

Çözüm: Fayansın kenarı EBOB(120, 168) = 24 cm'dir. Bir kenara 5, ötekine 7 fayans sığar; 5 · 7 = 35 fayans gerekir. Cevap: C.

Örnek 3 — Kare oluşturma

Soru: 8 cm'ye 14 cm'lik dikdörtgen tuğlalar aynı yönde dizilerek en küçük kare oluşturulacaktır. Kaç tuğla gerekir?

  • A) 56
  • B) 22
  • C) 14
  • D) 28
  • E) 112

Çözüm: Karenin kenarı EKOK(8, 14) = 56 cm'dir. Bir kenara 7, ötekine 4 tuğla sığar; 7 · 4 = 28 tuğla gerekir. Cevap: D.

Örnek 4 — Çevreye dikme

Soru: 90 m'ye 150 m'lik dikdörtgen bir tarlanın çevresine, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gerekir?

  • A) 32
  • B) 8
  • C) 30
  • D) 17
  • E) 16

Çözüm: Aralık EBOB(90, 150) = 30 m'dir. Çevre 480 m'dir; kapalı çizgide 480 ÷ 30 = 16 ağaç gerekir. Cevap: E.

5Tuzaklar

  • Döşemede bölümleri toplamak. Karo sayısı kenarlara sığan sayıların çarpımıdır.
  • Çevreye dikmede +1 eklemek. Kapalı çizgide ağaç sayısı aralık sayısına eşittir.
  • Açık çizgide +1'i unutmak. Yolun başına ve sonuna dikilecekse ağaç sayısı aralık sayısından bir fazladır.
  • "En az parça" deyince EKOK almak. Parça sayısını en aza indirmek için parça en büyük, yani EBOB seçilir.
  • Kare döşeme ile kare oluşturmayı karıştırmak. Bölmek EBOB, birleştirmek EKOK ister.

6Tekrar kartı

  • Aranan büyüklük verilenleri bölüyorsa EBOB, onların katıysa EKOK.
  • Parçalar uç uca: bölümler toplanır. Karolar satır ve sütun: bölümler çarpılır.
  • Kapalı çizgide ağaç = çevre ÷ aralık; açık çizgide ağaç = uzunluk ÷ aralık + 1.
  • Aralığa sınır konmuşsa EBOB'un o sınırı aşmayan en büyük bölenini al.
  • Dişli çarkta tur sayısı = EKOK ÷ diş sayısı.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    48 litre zeytinyağı ve 60 litre ayçiçeği yağı karıştırılmadan, hiç artmayacak biçimde eşit hacimli bidonlara doldurulacaktır. Bidonlar olabildiğince büyük seçilirse bir bidon kaç litre olur?

    1. A)12
    2. B)6
    3. C)24
    4. D)4
    5. E)240
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Bidon hacmi 48'i ve 60'ı bölmelidir; en büyüğü EBOB = 12'dir.

  2. Soru 2 · Kolay

    Bir koşucu pistin turunu 6 dakikada, öteki 8 dakikada tamamlıyor. Başlangıç çizgisinden birlikte çıkarlarsa kaç dakika sonra çizgide ilk kez yeniden yan yana olurlar?

    1. A)14
    2. B)24
    3. C)2
    4. D)48
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. İlk ortak an EKOK(6, 8) = 24 dakikadır.

  3. Soru 3 · Kolay

    36 cm ve 54 cm uzunluğundaki iki çubuk artık kalmadan eşit ve olabildiğince uzun parçalara bölünürse toplam kaç parça elde edilir?

    1. A)9
    2. B)90
    3. C)5
    4. D)18
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Parça uzunluğu EBOB = 18 cm'dir; 2 + 3 = 5 parça çıkar.

  4. Soru 4 · Kolay

    Bir sepetteki ceviz 4'er, 6'şar ya da 9'ar sayıldığında hep tam çıkıyor. Sepette en az kaç ceviz vardır?

    1. A)216
    2. B)18
    3. C)72
    4. D)36
    5. E)19
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Ceviz sayısı 4, 6 ve 9'un ortak katıdır; en küçüğü 36'dır.

  5. Soru 5 · Orta

    84 cm'ye 126 cm'lik bir tezgâh, olabildiğince büyük eş kare seramiklerle kesilmeden kaplanacaktır. Kaç seramik gerekir?

    1. A)42
    2. B)5
    3. C)12
    4. D)21
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Seramik kenarı EBOB = 42 cm'dir; 2 · 3 = 6 seramik gerekir.

  6. Soru 6 · Orta

    6 cm'ye 10 cm'lik kartonlar aynı yönde yan yana konarak en küçük kare elde edilecektir. Kaç karton kullanılır?

    1. A)15
    2. B)8
    3. C)30
    4. D)16
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Karenin kenarı EKOK = 30 cm'dir; 5 · 3 = 15 karton gerekir.

  7. Soru 7 · Orta

    36 ve 48 dişli iki çark birbirine geçmiş dönüyor. Başlangıçta karşılaşan iki diş yeniden ilk kez karşılaştığında küçük çark kaç tur atmış olur?

    1. A)12
    2. B)4
    3. C)144
    4. D)7
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. EKOK(36, 48) = 144 diş ilerlenir; küçük çark 144 ÷ 36 = 4 tur atar.

  8. Soru 8 · Orta

    120 m'ye 200 m'lik bir arsanın çevresine, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklı direk dikilecektir. En az kaç direk gerekir?

    1. A)8
    2. B)17
    3. C)16
    4. D)32
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Aralık EBOB = 40 m, çevre 640 m'dir; 640 ÷ 40 = 16 direk gerekir.

  9. Soru 9 · Orta

    Üç otobüs hattı 10, 15 ve 25 dakikada bir kalkıyor. Üçü saat 07.00'de birlikte kalktıysa bir sonraki ortak kalkış saat kaçtadır?

    1. A)08.15
    2. B)09.00
    3. C)08.30
    4. D)09.30
    5. E)10.00
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. EKOK(10, 15, 25) = 150 dakika, yani 2 saat 30 dakikadır.

  10. Soru 10 · Orta

    72 elma, 90 armut ve 126 portakal, her poşette aynı sayıda elma, armut ve portakal olacak biçimde, hiç meyve artmadan olabildiğince çok poşete dağıtılıyor. Bir poşette toplam kaç meyve olur?

    1. A)18
    2. B)12
    3. C)24
    4. D)288
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Poşet sayısı EBOB = 18'dir; bir poşette 4 elma, 5 armut ve 7 portakal, toplam 16 meyve olur.

  11. Soru 11 · Orta

    180 m uzunluğundaki bir yolun bir kenarına, başına ve sonuna da gelecek biçimde 15 m arayla fidan dikilecektir. Kaç fidan gerekir?

    1. A)13
    2. B)11
    3. C)12
    4. D)26
    5. E)24
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 12 aralık vardır; açık çizgide fidan sayısı 12 + 1 = 13'tür.

  12. Soru 12 · Zor

    Boyutları 12 cm, 18 cm ve 30 cm olan eş tuğlalar aynı yönde dizilerek en küçük küp oluşturulacaktır. Kaç tuğla gerekir?

    1. A)180
    2. B)900
    3. C)450
    4. D)60
    5. E)1 800
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Küpün ayrıtı EKOK = 180 cm'dir; 15 · 10 · 6 = 900 tuğla gerekir.

  13. Soru 13 · Zor

    72 m'ye 120 m'lik bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla fidan dikilecek; iki fidan arası tam sayı metre olacak ve 20 m'yi aşmayacaktır. En az kaç fidan gerekir?

    1. A)16
    2. B)48
    3. C)32
    4. D)24
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Aralık 24'ün 20'yi aşmayan en büyük böleni olan 12 m'dir; çevre 384 m'dir ve 384 ÷ 12 = 32'dir.

  14. Soru 14 · Zor

    Bir kutudaki yumurtalar 6'şar, 8'er ve 10'ar sayıldığında hep tam çıkıyor. Yumurta sayısı 200 ile 300 arasında olduğuna göre kutuda kaç yumurta vardır?

    1. A)280
    2. B)210
    3. C)250
    4. D)240
    5. E)270
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Sayı EKOK(6, 8, 10) = 120'nin katıdır; bu aralıktaki tek kat 240'tır.

  15. Soru 15 · Zor

    100 ile 200 arasında, hem 6'ya hem 9'a tam bölünen kaç doğal sayı vardır?

    1. A)11
    2. B)5
    3. C)3
    4. D)17
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Sayılar EKOK(6, 9) = 18'in katlarıdır: 108'den 198'e kadar altı tane.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Kalanlı EKOK problemleri» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    45 kg ve 75 kg pirinç karıştırılmadan, hiç artmayacak biçimde eşit ve olabildiğince ağır çuvallara konulacaktır. Kaç çuval gerekir?

    1. A)15
    2. B)8
    3. C)5
    4. D)120
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Çuval kütlesi EBOB = 15 kg'dır; 3 + 5 = 8 çuval gerekir.

  2. Soru 2 · Orta

    Üç lamba 4, 6 ve 10 saniyede bir yanıyor. Üçünün birlikte yandığı bir andan sonra aynı durum ilk kez kaçıncı saniyede tekrarlanır?

    1. A)20
    2. B)120
    3. C)240
    4. D)60
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. EKOK(4, 6, 10) = 60 saniyedir.

  3. Soru 3 · Zor

    96 m'ye 156 m'lik bir tarla, olabildiğince büyük eş kare parsellere bölünecektir. Kaç parsel elde edilir?

    1. A)104
    2. B)21
    3. C)12
    4. D)52
    5. E)208
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Parsel kenarı EBOB = 12 m'dir; 8 · 13 = 104 parsel olur.

  4. Soru 4 · Zor

    9 cm'ye 12 cm'lik fotoğraflar aynı yönde yan yana dizilerek en küçük kare pano yapılacaktır. Kaç fotoğraf gerekir?

    1. A)36
    2. B)7
    3. C)108
    4. D)3
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Panonun kenarı EKOK = 36 cm'dir; 4 · 3 = 12 fotoğraf gerekir.

  5. Soru 5 · Zor

    Dairesel bir pistte üç bisikletli turlarını 40, 60 ve 90 saniyede tamamlıyor. Başlangıç noktasından birlikte çıkarlarsa kaç dakika sonra üçü ilk kez yeniden bu noktada buluşur?

    1. A)9
    2. B)36
    3. C)6
    4. D)12
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. EKOK(40, 60, 90) = 360 saniye, yani 6 dakikadır.

M03 — EBOB-EKOK

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.