Kalanlı EKOK problemleri

Bir okul korosunun üyeleri 3'erli sıralara dizildiğinde 2 kişi açıkta kalıyor. 4'erli sıralarda da 2 kişi, 5'erli sıralarda da 2 kişi açıkta kalıyor. Koroda 40'tan fazla kişi olduğu biliniyorsa en az kaç kişi vardır? Açıkta kalan 2 kişiyi bir kenara ayırırsak geri kalanlar 3'erli, 4'erli ve 5'erli sıralara tam dizilir; yani üye sayısının 2 eksiği, 3, 4 ve 5'in ortak katıdır. EKOK(3, 4, 5) = 60 olduğundan üye sayısı 60k + 2 biçimindedir ve 40'tan büyük en küçük değer 62'dir. Bu derste kalanların verildiği EKOK problemlerini üç kalıba ayırıyoruz: bütün kalanların aynı olduğu durum, bütün bölenlerde aynı miktarın eksik kaldığı durum ve kalanların birbirinden farklı olduğu durum.

• Bütün bölenlerde kalan aynıysa sayıyı EKOK · k + kalan biçiminde yazarsın.
• Bütün bölenlerde aynı miktar eksikse sayıyı EKOK · k − eksik biçiminde yazarsın.
• Kalanlar farklıysa liste yöntemiyle en küçük çözümü bulup genel çözümü kurarsın.
• Aralık koşullarından ilk, son ya da toplam çözüm sayısını bulursun.

Kalıp 1: kalanlar aynı

Bir N sayısı 6'ya, 8'e ve 9'a bölündüğünde her seferinde 5 kalanını veriyor olsun. N − 5 sayısı bu üç bölene de tam bölünür, çünkü kalan çıkarılınca geriye yalnızca bölümler kalır. O hâlde N − 5, EKOK(6, 8, 9) = 72'nin bir katıdır ve N = 72k + 5 yazılır. k = 0 için N = 5 bulunur; bu sayı da koşulu sağlar, ama sorular çoğu zaman kalandan büyük bir sayı istediği için k = 1'den başlanır ve en küçük çözüm 77 olur.

Bu kalıpta dikkat edilecek tek nokta, kalanın bütün bölenlerden küçük olmasıdır. "4'e ve 6'ya bölündüğünde 5 kalıyor" gibi bir ifade geçersizdir, çünkü 4'e bölümde kalan en fazla 3 olabilir.

Kalıp 2: aynı miktar eksik

N sayısı 3'e bölündüğünde 2, 4'e bölündüğünde 3, 5'e bölündüğünde 4 kalanını veriyor. Kalanlar farklı görünür, ama her birinde bölenden 1 eksiktir. N'ye 1 eklersek her bölme tam çıkar: N + 1, EKOK(3, 4, 5) = 60'ın katıdır. N = 60k − 1 ve en küçük pozitif değer 59'dur.

Bu kalıbı tanımanın yolu, her kalanı kendi böleninden çıkarmaktır. Farklar eşitse (burada hepsi 1) sayı EKOK · k − fark biçimindedir. Problem metninde bu durum çoğu zaman "her seferinde bir grup tamamlanmak için 1 kişi eksik kalıyor" gibi anlatılır. Eksik kalan, kalan değildir; bölenden kalanın farkıdır.

Kalıp 3: kalanlar farklı

Kalanlar da farklar da eşit değilse doğrudan bir EKOK formülü yoktur. O zaman liste yöntemi kullanılır. N, 5'e bölündüğünde 3, 7'ye bölündüğünde 2 kalanını versin. Büyük bölenin koşulunu sağlayan sayıları yaz: 2, 9, 16, 23, 30, … Her birinin 5'e bölümünden kalana bak: 2 değil, 9 değil, 16 değil, 23 evet. En küçük çözüm 23'tür. Bundan sonraki bütün çözümler 23'e EKOK(5, 7) = 35'in katları eklenerek bulunur: 23, 58, 93, … Genel çözüm N = 35k + 23'tür.

Listeyi büyük bölenden başlatmak gereken adım sayısını belirgin biçimde azaltır, çünkü büyük bölenin katları daha seyrektir. Aranan sayı en geç EKOK'a ulaşmadan bulunur; bulunmuyorsa koşullar birbiriyle çelişiyordur. Bunun nedeni şudur: 7'ye bölümde 2 artan sayıların listesinde art arda gelen iki sayının farkı 7'dir ve bu sayılar 5'e bölündüğünde kalanlar her adımda aynı miktar kayar. Beş adım içinde 5'e bölümdeki bütün kalanlar birer kez görülür. Bölenler aralarında asal değilse bazı kalan birleşimleri hiç görülmez; örneğin 4'e bölümde 1, 6'ya bölümde 2 kalanını veren bir sayı yoktur, çünkü ilk koşul sayıyı tek, ikincisi çift yapar.

Aralık koşulları

Genel çözüm N = EKOK · k + r biçiminde yazıldıktan sonra aralık soruları basit bir saymaya dönüşür. 72k + 5 biçimindeki en küçük üç basamaklı sayı için 72k + 5 ≥ 100 olmalıdır; k = 2 ile 149 bulunur. Bir aralıkta kaç çözüm olduğunu bulmak için aralığa düşen ilk ve son k değerleri belirlenir ve aradaki k'ler sayılır. Sınır değerlerin dahil olup olmadığını sorunun ifadesinden oku; "arasında" kelimesi uçları dışarıda bırakır.

Kalanı bir büyük bölene taşımak

Bu tür problemlerin bir başka sorusu, N'nin EKOK'a bölümünden kalanı sorar. Bütün kalanlar aynıysa, N'nin EKOK'a bölümünden kalan da o kalandır. N, 8'e ve 12'ye bölündüğünde 3 kalıyorsa N = 24k + 3'tür ve 24'e bölümden kalan 3'tür. Eksik kalıbında ise EKOK'a göre kalan, EKOK eksi farktır. Kalanlar farklıysa genel çözümdeki sabit terim bu kalanı verir.

Metni kalıba çevirmek

Kalanlı EKOK problemlerinin çoğu sayılarla değil günlük bir durumla anlatılır ve ilk iş bu anlatımı kalana çevirmektir. "Açıkta kalan", "artan" ya da "dışarıda kalan" sözcükleri kalanı verir. "Son grubu tamamlamak için eksik olan" ifadesi ise kalanı değil, bölenden kalanın farkını verir; 6'şarlı gruplarda 2 kişi eksikse kalan 4'tür. Bu çeviriyi yaptıktan sonra üç soruyu sırayla sor. Bütün kalanlar aynı mı? Öyleyse birinci kalıp. Kalanlar farklı ama her biri kendi böleninden aynı miktarda mı eksik? Öyleyse ikinci kalıp. İkisi de değilse üçüncü kalıp, yani liste yöntemi.

Bir uyarı daha: problem bir nesneyi saydırıyorsa sonuç pozitif bir tam sayı olmalıdır. Eksik kalıbında k = 0 negatif bir değer verir ve elenir; aynı kalan kalıbında k = 0 kalanın kendisini verir ve bu değer, problemin anlattığı durumla çoğu zaman çelişir. Koroda yalnızca 2 kişi varsa onları 3'erli sıralara dizmekten söz edilemez. Bu yüzden bulduğun sayının problemdeki duruma uyup uymadığını sonunda bir kez daha kontrol et.

Soru kökleri

Bu bölümün problemleri kalanları ya da eksikleri verilen bir sayının en küçük, en büyük ya da belli bir aralıktaki değerlerini, bu değerlerin sayısını ve sayının EKOK'a bölümünden kalanı sorar. Her soruda önce kalanların aynı mı, bölenlerden farklarının aynı mı yoksa hiçbirinin aynı olmadığına bak, sonra kalıbı seç.

Örnek 1 — Aynı kalan

Soru: 4, 6 ve 15 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalanını veren en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?

• A) 103
• B) 123
• C) 183
• D) 120
• E) 243

Çözüm: EKOK(4, 6, 15) = 60 olduğundan sayı 60k + 3 biçimindedir. k = 2 için 123 üç basamaklı en küçük değerdir. Cevap: B.

Örnek 2 — Aynı eksik

Soru: 6'ya bölündüğünde 5, 8'e bölündüğünde 7, 12'ye bölündüğünde 11 kalanını veren en büyük iki basamaklı sayı kaçtır?

• A) 71
• B) 99
• C) 85
• D) 95
• E) 47

Çözüm: Her kalan böleninden 1 eksiktir; sayı EKOK · k − 1 = 24k − 1 biçimindedir. 24 · 4 − 1 = 95'tir. Cevap: D.

Örnek 3 — Farklı kalanlar

Soru: 4'e bölündüğünde 1, 9'a bölündüğünde 7 kalanını veren en küçük pozitif sayı kaçtır?

• A) 25
• B) 13
• C) 16
• D) 61
• E) 43

Çözüm: 9'a bölümde 7 kalan sayılar 7, 16, 25'tir. 25 dörde bölününce de 1 artar. Cevap: A.

Örnek 4 — Aralıkta sayma

Soru: 200 ile 500 arasında, 5'e, 6'ya ve 8'e bölündüğünde her seferinde 1 kalanını veren kaç sayı vardır?

• A) 12
• B) 9
• C) 2
• D) 6
• E) 3

Çözüm: Sayılar 120k + 1 biçimindedir. Aralıktakiler 241, 361 ve 481'dir. Cevap: E.

• Kalanı EKOK'a eklemeyi unutmak. Aynı kalanda sayı EKOK · k + kalandır.
• Eksik kalıbında kalanı çıkarmak. Bölenden farkı çıkarılır: 3'e 2, 4'e 3 kalıyorsa sayı EKOK · k − 1'dir.
• k = 0 çözümünü gözden kaçırmak ya da yanlışlıkla almak. Soru kalandan büyük bir sayı istiyorsa k = 1'den başla.
• Farklı kalanlarda EKOK formülü uydurmak. Liste yöntemiyle en küçük çözümü bul, sonra EKOK ekle.
• "Arasında" ifadesinde uçları saymak. Sınırlar ayrıca denetlenir.