EKOK

İki otobüs hattı aynı duraktan kalkıyor: birinci hat 12 dakikada bir, ikinci hat 18 dakikada bir. Saat 08.00'de ikisi birlikte kalktı. Bir sonraki ortak kalkış ne zaman? Birinci hat 12, 24, 36, 48. dakikalarda, ikinci hat 18, 36, 54. dakikalarda kalkar. İlk ortak an 36. dakikadır; iki otobüs 08.36'da yeniden birlikte yola çıkar. 36, hem 12'nin hem 18'in katı olan sayıların en küçüğüdür ve iki sayının en küçük ortak katı, kısaca EKOK olarak adlandırılır. Önceki derste ortak bölenlerin en büyüğünü aradık; bu derste ortak katların en küçüğünü arıyoruz. İki kavram birbirinin aynası gibidir ve aralarındaki bağ, sınavın en çok kullandığı eşitliklerden birini verir.

• EKOK'u üç yoldan bulursun: katları sıralayarak, asal çarpanlardan ve bölme tablosundan.
• EBOB ile EKOK arasındaki EBOB · EKOK = a · b bağıntısını kullanırsın.
• Aralarında asal sayılarda EKOK'un çarpıma eşit olduğunu tanırsın.
• EKOK'u bilinen bir eşitlikte eksik sayının olası değerlerini listelersin.

Tanım

Bir sayının katları, o sayının 1, 2, 3, … ile çarpımlarıdır. Birden çok sayının her birinin katı olan sayılara ortak kat, bunların en küçüğüne EKOK denir ve EKOK(a, b) biçiminde yazılır. Ortak katlar sonsuz tanedir; EKOK'un her katı da bir ortak kattır. EKOK hiçbir zaman sayıların büyüğünden küçük olamaz, çünkü o sayının da katı olmak zorundadır.

Birinci yol: katları listelemek

Küçük sayılarda katları yazmak en doğrudan yoldur. 6'nın katları 6, 12, 18, 24, 30; 8'in katları 8, 16, 24, 32'dir. İlk ortak kat 24'tür. Bir kısayol: büyük sayının katlarını sırayla yaz ve her birinin küçük sayıya bölünüp bölünmediğine bak. 8, 16, 24 diye ilerlerken 24'ün 6'ya bölündüğünü görür ve durursun.

İkinci yol: asal çarpanlar

EKOK, sayılarda geçen bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılarak bulunur. 120 = 2³ · 3 · 5 ve 252 = 2² · 3² · 7 için 2'nin büyük üssü 3, 3'ün büyük üssü 2'dir; 5 yalnız birinde, 7 yalnız ötekinde geçse de ikisi de alınır. EKOK = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2 520'dir.

EBOB ile farkı açıktır: EBOB'da yalnızca ortak asallar ve küçük üsler, EKOK'ta bütün asallar ve büyük üsler alınır. Nedeni de aynı mantıktan gelir. EKOK iki sayının da katı olmalıdır; 120'nin katı olabilmesi için içinde en az üç tane 2 ve bir 5 bulunmalı, 252'nin katı olabilmesi için en az iki tane 3 ve bir 7 bulunmalıdır.

Üçüncü yol: ortak bölme tablosu

Sayılar yan yana yazılır. Bu kez sayıların en az birini bölen bir asal seçilir; bölünebilen sayılar bölünür, bölünemeyenler olduğu gibi aşağı indirilir. Bütün sayılar 1 olunca durulur ve kullanılan bölenlerin hepsi çarpılır. 12, 18 ve 30 için sırayla 2, 2, 3, 3 ve 5 ile bölünür; EKOK = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180'dir. Tablonun bir yararı da şudur: aynı tabloda hepsini birden bölen satırların bölenleri çarpılırsa EBOB da bulunur. 12, 18 ve 30'u birlikte bölen satırlar 2 ve 3'tür; EBOB 6'dır.

EBOB ile EKOK arasındaki bağ

İki sayı için şu eşitlik her zaman geçerlidir: EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b. 36 ve 48 için EBOB 12, EKOK 144'tür; 12 · 144 = 1 728 = 36 · 48. Bu eşitlik, dört büyüklükten üçü verildiğinde dördüncüsünü hemen verir. EBOB'u 6, EKOK'u 72 olan iki sayıdan biri 18 ise öteki 6 · 72 ÷ 18 = 24'tür.

Nedeni harfle yazımda görünür. En büyük ortak böleni d ile gösterelim. İki sayı da d'nin katıdır: a, d'nin k katı; b, d'nin m katı olsun. Burada k ve m'nin ortak böleni yalnız 1'dir. Bu durumda EKOK(a, b) = dkm olur. Çarpınca d · dkm = dk · dm = a · b bulunur. Aynı yazım, EBOB ile EKOK'u verilen sayıları bulmanın da yoludur: EKOK ÷ EBOB = k · m'dir ve bu sayı, k ile m ortak çarpan taşımayacak biçimde ikiye ayrılır.

Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı genellikle üç sayının çarpımına eşit değildir; 2, 4 ve 8 için EBOB 2, EKOK 8'dir ve 2 · 8 = 16, ama 2 · 4 · 8 = 64'tür.

Aralarında asal sayılar

Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1 olduğundan EKOK'ları çarpımlarına eşittir. EKOK(7, 9) = 63'tür. Tersi de doğrudur: iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşitse EBOB'ları 1'dir ve sayılar aralarında asaldır. Ardışık iki sayı her zaman aralarında asal olduğu için EKOK(n, n + 1) = n(n + 1)'dir.

EKOK'u verilen sayılar

"EKOK(n, 12) = 60 ise n ne olabilir?" türü sorularda n'nin 60'ın böleni olduğunu ve 12'de eksik kalan asal çarpanı taşıması gerektiğini düşün. 60 = 2² · 3 · 5, 12 = 2² · 3'tür; 12'de 5 yoktur. O hâlde n, 60'ın böleni olmalı ve içinde 5 bulunmalıdır: 5, 10, 15, 20, 30 ve 60. Bu altı sayının her birinin 12 ile EKOK'u 60'tır. Önce EKOK'u ve bilinen sayıyı asal çarpanlarına ayır; hangi asalın hangi üssünü n'nin mutlaka taşıması gerektiğini, hangilerinde serbest olduğunu ayrı ayrı yaz.

Hangisini arıyorsun?

Bir problem okunduğunda EKOK mu yoksa EBOB mu gerektiğini sonucun büyüklüğü söyler. Aranan sayı verilen sayıların her birinden büyük ya da onlara eşitse, yani "yeniden ne zaman birlikte", "en az kaç tane olmalı ki hepsine eşit dağılsın" gibi bir soru varsa ortak kat aranıyordur. Aranan sayı verilenlerden küçükse, yani "en büyük parça", "eşit gruplara ayırma" gibi bir soru varsa ortak bölen aranıyordur. Kancadaki otobüslerde ortak an 12 ve 18'den büyük olmak zorundaydı; bu yüzden EKOK kullanıldı. Bir sonraki derste bu ayrımı daha uzun problemlerde çalışacağız.

Soru kökleri

Bu derste EKOK birkaç biçimde sorulur: sayılar açık ya da üslü yazılır ve EKOK istenir; EBOB, EKOK ve sayılardan biri verilir, eksik olan istenir; aralarında asallıkla ilgili bir yargının doğruluğu sorulur ya da EKOK'u bilinen bir eşitlikte eksik sayının olası değerleri istenir. Her soruda önce sayıları asal çarpanlarına ayır; hangi asalın büyük üssünü kimin taşıdığını gör.

Örnek 1 — Asal çarpanlarla EKOK

Soru: A = 2⁴ · 5 ve B = 2² · 3³ olduğuna göre EKOK(A, B) kaçtır?

• A) 540
• B) 2 160
• C) 1 080
• D) 720
• E) 4 320

Çözüm: Bütün asallar 2, 3 ve 5'tir; büyük üsler 4, 3 ve 1'dir. EKOK = 2⁴ · 3³ · 5 = 2 160'tır. Cevap: B.

Örnek 2 — EBOB · EKOK

Soru: İki sayının EBOB'u 4, EKOK'u 120'dir. Sayılardan biri 24 ise öteki kaçtır?

• A) 30
• B) 16
• C) 48
• D) 12
• E) 20

Çözüm: 4 · 120 = 24 · b ise b = 480 ÷ 24 = 20'dir. Cevap: E.

Örnek 3 — Ortak an

Soru: İki lambadan biri 15 saniyede, öteki 25 saniyede bir yanıyor. İkisi şu anda birlikte yandıysa en az kaç saniye sonra yeniden birlikte yanar?

• A) 75
• B) 40
• C) 150
• D) 375
• E) 50

Çözüm: 15 = 3 · 5, 25 = 5²'dir; EKOK = 3 · 5² = 75'tir. Cevap: A.

Örnek 4 — EKOK'u verilen sayı

Soru: EKOK(n, 12) = 36 eşitliğini sağlayan kaç n doğal sayısı vardır?

• A) 2
• B) 18
• C) 3
• D) 9
• E) 4

Çözüm: 36 = 2² · 3², 12 = 2² · 3'tür. n, 36'nın böleni olmalı ve 3² çarpanını taşımalıdır: 9, 18 ve 36. Cevap: C.

• EKOK'ta küçük üsleri almak. EKOK'ta bütün asallar büyük üslerle alınır.
• Tek sayıda geçen asalı dışarıda bırakmak. 120 ile 252'nin EKOK'unda 5 de 7 de vardır.
• EBOB · EKOK = çarpım eşitliğini üç sayıya uygulamak. Eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir.
• Ortak bölme tablosunda yalnız hepsini bölen asallarla durmak. EKOK için bir tanesini bölen asal da kullanılır.
• EKOK'u sayıların büyüğünden küçük bulmak. Böyle bir sonuç her zaman bir hesap hatasıdır.