İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · EBOB-EKOK · MAT-M03-L01

EBOB

TYTsınavdaki ağırlığı orta· 8 bölüm

1Kanca

Bir çiçekçide 84 kırmızı ve 60 beyaz gül var. Çiçekçi bütün gülleri kullanarak birbirinin aynısı olan buketler hazırlamak istiyor: her bukette aynı sayıda kırmızı ve aynı sayıda beyaz gül olacak. En çok kaç buket yapabilir? Buket sayısı hem 84'ü hem 60'ı tam bölmelidir; yoksa bir renkten gül artar. 84 ve 60'ın ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. En büyüğü 12'dir; her bukette 7 kırmızı ve 5 beyaz gül olur. Bu sayıya iki sayının en büyük ortak böleni, kısaca EBOB denir. Bu derste EBOB'u bulmanın dört yolunu, hangisinin ne zaman hızlı olduğunu ve EBOB'un sınavda sıkça kullanılan özelliklerini görüyoruz.

2Hedefler

  • EBOB'u bölen listesiyle, asal çarpanlarla ve ortak bölme yöntemiyle bulursun.
  • Büyük sayılarda EBOB'u ardışık bölmeyle (Öklid yöntemi) hesaplarsın.
  • Aralarında asal sayıları tanır, EBOB'u verilen sayıları harflerle yazarak problem kurarsın.
  • EBOB'un fark, toplam ve kat özelliklerini kullanırsın.

3Konu anlatımı

Tanım

İki ya da daha fazla doğal sayının her birini tam bölen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir. Ortak bölenlerin en büyüğü EBOB'dur ve EBOB(a, b) biçiminde yazılır. 1 her sayının böleni olduğu için iki sayının en az bir ortak böleni vardır; EBOB hiçbir zaman sayıların küçüğünden büyük olamaz.

Birinci yol: bölenleri listelemek

Küçük sayılarda bölenleri yazmak en güvenli yoldur. Bölenleri çiftler hâlinde yazmak hiçbirini atlamamanı sağlar: 36 için 1 ile 36, 2 ile 18, 3 ile 12, 4 ile 9 ve 6; 48 için 1 ile 48, 2 ile 24, 3 ile 16, 4 ile 12 ve 6 ile 8. Ortak olanların en büyüğü 12'dir. Bu yol, sayılar büyüdükçe yavaşlar ve bir böleni atlama riski artar.

İkinci yol: asal çarpanlar

Her sayı asal çarpanlarına ayrılır. EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılarak bulunur. 360 = 2³ · 3² · 5 ve 756 = 2² · 3³ · 7'dir. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür; 2'nin küçük üssü 2, 3'ün küçük üssü 2'dir. 5 ve 7 yalnızca birer sayıda bulunduğu için alınmaz. EBOB = 2² · 3² = 36'dır.

Neden en küçük üs? Çünkü ortak bölen iki sayıyı da bölmelidir. 2³, 756'yı bölmez, çünkü 756'da yalnızca iki tane 2 vardır. Bu yüzden her asaldan, iki sayıda da bulunabilecek kadarını alırız. Soru sayıları zaten üslü biçimde verirse bu yol çoğu zaman tek satırda biter.

Üçüncü yol: ortak bölme

Sayılar yan yana yazılır ve hepsini birden bölen bir asal sayıyla bölünür. Hepsini bölen asal kalmayınca durulur; kullanılan bölenlerin çarpımı EBOB'dur. 90 ve 150 için önce 2'ye böleriz: 45 ve 75. Sonra 3'e: 15 ve 25. Sonra 5'e: 3 ve 5. 3 ile 5'i birlikte bölen asal yoktur. EBOB = 2 · 3 · 5 = 30'dur. Bu yöntem üç sayıda da aynı işler: 24, 36 ve 60 için 2, 2 ve 3 ile bölünür, geriye 2, 3 ve 5 kalır ve EBOB 12'dir.

Dördüncü yol: ardışık bölme (Öklid yöntemi)

Sayılar büyük ve asal çarpanlara ayırması zor olduğunda şu özellik işe yarar: iki sayının EBOB'u, küçük sayı ile büyüğün küçüğe bölümünden kalanın EBOB'una eşittir. İşlem kalan 0 olana kadar tekrarlanır; son sıfırdan farklı kalan EBOB'dur.

391 ve 299 için: 391 = 299 · 1 + 92, 299 = 92 · 3 + 23, 92 = 23 · 4 + 0. Kalan 0 olduğunda bölen 23'tür; EBOB(391, 299) = 23'tür. Bu sayıları çarpanlarına ayırmaya çalışsan 391 = 17 · 23 ve 299 = 13 · 23 olduğunu görmek için epey deneme yapman gerekirdi. Ardışık bölme bu denemeyi ortadan kaldırır.

Yöntemin nedeni şudur: a ile b'yi bölen her sayı, a − b'yi ve dolayısıyla a'nın b'ye bölümünden kalanı da böler. Ortak bölenler kümesi her adımda değişmeden kalır, yalnızca sayılar küçülür.

Aralarında asal sayılar

EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal denir. 8 ile 15 aralarında asaldır, ama ikisi de asal değildir; aralarında asallık iki sayının ilişkisidir, tek bir sayının özelliği değildir. Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır: EBOB(n, n + 1) = 1'dir, çünkü n ile n + 1'i bölen her sayı farkları olan 1'i de böler.

EBOB'un özellikleri

  • Fark ve toplam: EBOB(a, b), a − b'yi ve a + b'yi de böler. Bu yüzden EBOB(a + b, b) = EBOB(a, b)'dir.
  • Kat: Sayıların ikisi de k ile çarpılırsa EBOB da k ile çarpılır: EBOB(4n, 4n + 4) = 4 · EBOB(n, n + 1) = 4'tür.
  • Harfle yazım: EBOB(a, b) = d ise a = d · k ve b = d · m yazılır; burada k ile m aralarında asaldır. Bu yazım, EBOB'u ve toplamı ya da çarpımı verilen sayıları bulmanın anahtarıdır. EBOB'u 8 ve toplamı 64 olan iki sayı için 8k + 8m = 64, yani k + m = 8'dir. k ile m aralarında asal olmalıdır: (1, 7) ve (3, 5) uyar, (2, 6) ve (4, 4) uymaz. Sayılar 8 ile 56 ya da 24 ile 40'tır.

Son maddede k ile m'nin aralarında asal olma şartı atlanırsa yanlış ikililer de sayılır. 16 ile 48'in toplamı 64'tür, ama EBOB'ları 16'dır, 8 değil.

Yöntemi seçmek

Dört yolun hepsi aynı sonucu verir; fark hızdadır. Sayılar küçükse ve bölenleri akla hemen geliyorsa listeleme en kısasıdır. Soru sayıları üslü biçimde veriyorsa asal çarpan yolu tek satırda biter. İki ya da üç sayı yan yana ve orta büyüklükteyse ortak bölme hem hızlı hem de işlemi görünür kılar; aynı tablo bir sonraki derste EKOK için de kullanılacak. Sayılar üç basamaklı ve çarpanları kolayca görünmüyorsa ardışık bölmeye geç: bölmeleri yazdıkça sayılar hızla küçülür ve hiçbir asal çarpanı tahmin etmen gerekmez. Sınavda bir yöntemle bulduğun sonucu, kısa bir bölme ile denetlemek de iyi bir alışkanlıktır: bulduğun EBOB iki sayıyı da tam bölmeli ve bölümler aralarında asal olmalıdır.

Soru kökleri

Bu dersin soruları iki ya da üç sayının EBOB'unu, üslü biçimde verilmiş sayıların EBOB'unu, aralarında asal ikilileri, EBOB'u verilen bir sayının alabileceği değerleri ve EBOB ile toplamı ya da çarpımı verilen sayı ikililerini sorar. Her soruda önce sayıların büyüklüğüne bakıp yöntemi seç.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Asal çarpanlarla EBOB

Soru: A = 2⁴ · 3² · 7 ve B = 2² · 3³ · 5 olduğuna göre EBOB(A, B) kaçtır?

  • A) 36
  • B) 16
  • C) 108
  • D) 72
  • E) 18

Çözüm: Ortak asallar 2 ve 3'tür; küçük üsler 2 ve 2'dir. EBOB = 2² · 3² = 36'dır. Cevap: A.

Örnek 2 — Üç sayının EBOB'u

Soru: 84, 126 ve 210 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

  • A) 14
  • B) 21
  • C) 28
  • D) 42
  • E) 63

Çözüm: Ortak bölmede 2, 3 ve 7 ile bölünür, geriye 2, 3 ve 5 kalır. EBOB = 2 · 3 · 7 = 42'dir. Cevap: D.

Örnek 3 — Ardışık bölme

Soru: EBOB(221, 169) kaçtır?

  • A) 17
  • B) 11
  • C) 13
  • D) 7
  • E) 1

Çözüm: 221 = 169 · 1 + 52, 169 = 52 · 3 + 13, 52 = 13 · 4 + 0. Son sıfırdan farklı kalan 13'tür. Cevap: C.

Örnek 4 — EBOB'u verilen sayılar

Soru: İki basamaklı a sayısı için EBOB(a, 48) = 12'dir. Bu koşula uyan kaç a vardır?

  • A) 24
  • B) 4
  • C) 48
  • D) 2
  • E) 7

Çözüm: a = 12k yazılır; EBOB(12k, 48) = 12 · EBOB(k, 4) olduğundan k tek olmalıdır. 12k iki basamaklı olduğundan k = 1, 3, 5, 7 ve a = 12, 36, 60, 84'tür. Cevap: B.

5Tuzaklar

  • Asal çarpanlarda büyük üsleri almak. EBOB'da ortak asalların küçük üsleri alınır.
  • Yalnız bir sayıda olan asalı katmak. 360 ile 756'da 5 ve 7 EBOB'a girmez.
  • Aralarında asalı "ikisi de asal" sanmak. 8 ile 15 aralarında asaldır, ikisi de bileşiktir.
  • d · k, d · m yazımında k ile m'yi serbest bırakmak. k ile m aralarında asal olmazsa EBOB d'den büyük çıkar.
  • Ardışık bölmede bölümü EBOB sanmak. EBOB son sıfırdan farklı kalandır.

6Tekrar kartı

  • EBOB: ortak bölenlerin en büyüğü; sayıların küçüğünden büyük olamaz.
  • Asal çarpanlarla: ortak asallar, en küçük üsler.
  • Ortak bölme: hepsini bölen asallarla böl, bölenleri çarp.
  • Ardışık bölme: EBOB(a, b) = EBOB(b, a'nın b'ye bölümünden kalan).
  • EBOB(a, b) = d ise a = dk, b = dm ve k ile m aralarında asal.
  • EBOB(n, n + 1) = 1; EBOB(a + b, b) = EBOB(a, b).

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    18 ile 24 sayılarının EBOB'u kaçtır?

    1. A)6
    2. B)42
    3. C)12
    4. D)72
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6'dır; en büyüğü 6'dır.

  2. Soru 2 · Kolay

    2³ · 5 ile 2² · 3 · 5² sayılarının EBOB'u hangisidir?

    1. A)15
    2. B)20
    3. C)40
    4. D)60
    5. E)100
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Ortak asallar 2 ve 5'tir; küçük üslerle 2² · 5 = 20 bulunur.

  3. Soru 3 · Kolay

    Aşağıdaki ikililerden hangisi aralarında asaldır?

    1. A)14 ve 21
    2. B)12 ve 18
    3. C)9 ve 16
    4. D)10 ve 25
    5. E)15 ve 27
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 9 = 3² ve 16 = 2⁴'ün ortak asal çarpanı yoktur.

  4. Soru 4 · Kolay

    45 ve 75 sayılarının en büyük ortak böleni neye eşittir?

    1. A)75
    2. B)9
    3. C)25
    4. D)15
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 45 = 3² · 5 ve 75 = 3 · 5² olduğundan EBOB 3 · 5 = 15'tir.

  5. Soru 5 · Orta

    90, 135 ve 225 sayılarının EBOB'u kaçtır?

    1. A)15
    2. B)9
    3. C)30
    4. D)5
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 90 = 2 · 3² · 5, 135 = 3³ · 5, 225 = 3² · 5²'dir; ortak kısım 3² · 5 = 45'tir.

  6. Soru 6 · Orta

    A = 2⁵ · 3 · 11 ve B = 2³ · 3² · 7 için EBOB(A, B) kaçtır?

    1. A)24
    2. B)48
    3. C)12
    4. D)72
    5. E)96
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Ortak asallar 2 ve 3'tür; küçük üslerle 2³ · 3 = 24'tür.

  7. Soru 7 · Orta

    Ardışık bölme yöntemiyle EBOB(323, 187) bulunursa sonuç ne olur?

    1. A)11
    2. B)17
    3. C)19
    4. D)13
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 323 = 187 + 136, 187 = 136 + 51, 136 = 2 · 51 + 34, 51 = 34 + 17, 34 = 2 · 17'dir.

  8. Soru 8 · Orta

    A = 2ᵃ · 3⁴ ve B = 2⁵ · 3ᵇ sayılarının EBOB'u 2³ · 3² ise a + b toplamı kaçtır?

    1. A)6
    2. B)9
    3. C)5
    4. D)12
    5. E)7
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. EBOB'da 2'nin üssü 3 olduğundan a = 3, 3'ün üssü 2 olduğundan b = 2'dir.

  9. Soru 9 · Orta

    40 ile 80 arasındaki bir x doğal sayısı için EBOB(x, 30) = 6'dır. x en fazla kaçtır?

    1. A)72
    2. B)60
    3. C)66
    4. D)78
    5. E)75
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. x, 6'nın katı olmalı ama 5'in katı olmamalıdır; 78 = 6 · 13 uyar.

  10. Soru 10 · Orta

    n bir doğal sayıdır. EBOB(3n + 3, 3n) ifadesinin değeri kaçtır?

    1. A)1
    2. B)9
    3. C)n
    4. D)3n
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. EBOB(3n + 3, 3n) = 3 · EBOB(n + 1, n) ve ardışık sayıların EBOB'u 1'dir.

  11. Soru 11 · Orta

    EBOB'ları 7 ve toplamları 84 olan iki doğal sayıdan küçüğü önce yazılırsa kaç farklı ikili elde edilir?

    1. A)2
    2. B)11
    3. C)21
    4. D)0
    5. E)13
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. k + m = 12 ve k ile m aralarında asal olmalıdır; (1, 11) ve (5, 7) uyar, 7 ile 77 ve 35 ile 49 bulunur.

  12. Soru 12 · Zor

    EBOB'u 9 ve toplamı 90 olan iki doğal sayının farkı en fazla kaç olabilir?

    1. A)36
    2. B)54
    3. C)72
    4. D)63
    5. E)81
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. k + m = 10 ve aralarında asal olmalıdır; (1, 9) ikilisi 9 ile 81'i verir ve fark 72'dir.

  13. Soru 13 · Zor

    100'den küçük kaç n doğal sayısı için EBOB(n, 24) = 8 olur?

    1. A)12
    2. B)3
    3. C)32
    4. D)8
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. n = 8k ve k, 3'e bölünmemelidir; k = 1'den 12'ye kadar olan 12 değerden 3, 6, 9, 12 çıkar.

  14. Soru 14 · Zor

    a ve b doğal sayıları için EBOB(a, b) = 12'dir. EBOB(a + b, b) kaçtır?

    1. A)24
    2. B)6
    3. C)1
    4. D)36
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. a + b ile b'yi bölen her sayı a'yı da böler; ortak bölenler değişmez.

  15. Soru 15 · Zor

    Aşağıdaki ifadelerden hangisi her n doğal sayısı için 1'e eşittir?

    1. A)EBOB(n, 2n)
    2. B)EBOB(2n, 4n + 2)
    3. C)EBOB(n, n + 2)
    4. D)EBOB(n + 3, n + 4)
    5. E)EBOB(3n, 6)
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. n + 3 ile n + 4 ardışıktır; ardışık sayılar aralarında asaldır.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «EKOK» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    56 ile 98'in en büyük ortak böleni kaçtır?

    1. A)7
    2. B)14
    3. C)28
    4. D)49
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 56 = 2³ · 7 ve 98 = 2 · 7² olduğundan EBOB 2 · 7 = 14'tür.

  2. Soru 2 · Orta

    2³ · 3² · 5 ile 2 · 3³ · 7 sayılarının EBOB'u hangisidir?

    1. A)6
    2. B)54
    3. C)36
    4. D)18
    5. E)126
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Ortak asallar 2 ve 3'tür; küçük üslerle 2 · 3² = 18'dir.

  3. Soru 3 · Zor

    EBOB(323, 247) kaçtır?

    1. A)19
    2. B)17
    3. C)13
    4. D)23
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 323 = 247 + 76, 247 = 3 · 76 + 19, 76 = 4 · 19 olduğundan EBOB 19'dur.

  4. Soru 4 · Zor

    İki basamaklı kaç x sayısı için EBOB(x, 36) = 9 olur?

    1. A)15
    2. B)13
    3. C)4
    4. D)11
    5. E)5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. x = 9k ve k tek olmalıdır; iki basamaklı değerler 27, 45, 63, 81 ve 99'dur.

  5. Soru 5 · Zor

    EBOB'u 6 ve çarpımı 1 080 olan, küçüğü önde yazılan kaç farklı doğal sayı ikilisi vardır?

    1. A)2
    2. B)16
    3. C)4
    4. D)8
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 6k · 6m = 1 080 ise k · m = 30 ve aralarında asal olmalıdır: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).

M03 — EBOB-EKOK

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.