İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Sayı Basamakları ve Bölme-Bölünebilme · MAT-M02-L04

Bölünebilme kuralları I: 2, 3, 4, 5, 9, 10

TYTsınavdaki ağırlığı orta· 8 bölüm

1Kanca

Bir okul, 2 358 öğrenciyi 9 kişilik gruplara ayırmak istiyor ve hiçbir öğrencinin açıkta kalmamasını istiyor. Bölme işlemini yapmadan cevabı verebilir misin? 2 + 3 + 5 + 8 = 18 ve 18, 9'un katıdır; o hâlde 2 358 de 9'a tam bölünür ve 262 grup çıkar. Dört basamaklı bir sayıyı dört rakamın toplamına indirgeyen bu kısayol bir hile değildir; önceki derslerde gördüğümüz çözümlemenin doğrudan sonucudur. Bu derste 2, 3, 4, 5, 9 ve 10 ile bölünebilme kurallarını, her kuralın nereden geldiğini, bu kurallarla kalanın nasıl bulunduğunu ve rakamı eksik bırakılmış sayılarda eksik rakamın nasıl belirlendiğini görüyoruz.

2Hedefler

  • 2, 3, 4, 5, 9 ve 10 ile bölünebilme kurallarını uygular, her birinin nedenini açıklarsın.
  • Bu kurallarla bölme yapmadan kalanı bulursun.
  • Rakamı eksik bir sayının belirli bir sayıya bölünmesi için eksik rakamın alabileceği değerleri listelersin.
  • İki kuralı birlikte kullanarak iki bilinmeyenli rakam sorularını çözersin.

3Konu anlatımı

Bölünebilme ne demek?

Bir A sayısını B'ye böldüğümüzde kalan 0 çıkıyorsa A sayısı B'nin katlarından biridir; bu duruma tam bölünme denir. Bölünebilme kuralları, büyük bir sayının küçük bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini bölme işlemi yapmadan anlamamızı sağlar. Kuralların hepsi aynı fikre dayanır: sayıyı çözümle, bölenin katı olan kısmı at, geriye kalan küçük parçaya bak.

10, 2 ve 5: son rakam

Bir sayıyı çözümlediğimizde son rakam dışındaki her basamak 10'un bir katıdır. 7 461 = 7 460 + 1 yazılır ve 7 460, 10'un katıdır. Bu yüzden bir sayının 10'a, 2'ye ve 5'e bölünmesi yalnızca son rakamına bağlıdır, çünkü 10 hem 2'ye hem 5'e bölünür.

  • 10 ile: son rakam 0 olmalıdır. Kalan, son rakamın kendisidir.
  • 2 ile: son rakam çift (0, 2, 4, 6 ya da 8) olmalıdır. Kalan, son rakam çiftse 0, tekse 1'dir.
  • 5 ile: son rakam 0 ya da 5 olmalıdır. Kalan, son rakamın 5'e bölümünden kalandır. 1 238'in 5'e bölümünden kalan, 8'in 5'e bölümünden kalan olan 3'tür.

4: son iki rakam

100 sayısı 4'e tam bölünür (100 = 4 · 25). Bir sayıyı çözümlediğimizde son iki basamak dışındaki her kısım 100'ün katıdır ve 4'e tam bölünür. Bu yüzden bir sayının 4'e bölünmesi, son iki rakamının oluşturduğu sayıya bağlıdır. 7 316'nın son iki rakamı 16'dır ve 16 = 4 · 4 olduğundan 7 316, 4'e tam bölünür. 5 314'ün son iki rakamı 14'tür; 14 = 4 · 3 + 2 olduğundan 5 314 de 4'e bölündüğünde geriye 2 kalır.

Son iki rakamın 4'e bölünmesi için pratik bir yol şudur: onlar basamağı çiftse birler basamağı 0, 4 ya da 8 olmalıdır; onlar basamağı tekse birler basamağı 2 ya da 6 olmalıdır. Bu yüzden 72a4 sayısının 4'e bölünmesi için a çift, 1a6 sayısının 4'e bölünmesi için a tek olmalıdır.

3 ve 9: rakamlar toplamı

Bu kuralın nedeni en ilginç olanıdır. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1'dir. Üç basamaklı abc sayısını çözümleyelim:

  • abc = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)

99a + 9b kısmı 9'un katıdır ve dolayısıyla 3'ün de katıdır. Geriye yalnızca a + b + c kalır. Yani bir sayının 9'a ve 3'e bölümünden kalan, rakamları toplamının 9'a ve 3'e bölümünden kalanla aynıdır. Aynı akıl yürütme her basamak sayısında geçerlidir.

  • 3 ile: rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  • 9 ile: rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır.

4 725'in rakamları toplamı 18'dir; sayı hem 9'a hem 3'e bölünür. 5 214'ün rakamları toplamı 12'dir; sayı 3'e bölünür ama 9'a bölünmez. 9'a bölünen her sayı 3'e de bölünür, tersi doğru değildir.

Kalanı kuralla bulmak

Kurallar yalnızca "bölünür mü, bölünmez mi" sorusunu değil, kalanı da cevaplar. 8 461'in 9'a bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplanır: 8 + 4 + 6 + 1 = 19. 19'un 9'a bölümünden kalan 1'dir; 8 461'in kalanı da 1'dir. Rakamlar toplamı hâlâ büyükse işlem tekrarlanabilir: 19 için 1 + 9 = 10, 10 için 1 + 0 = 1.

Kalanı bulurken hangi kuralın hangi parçaya baktığını karıştırma. 2, 5 ve 10 için son rakam; 4 için son iki rakam; 3 ve 9 için bütün rakamların toplamı kalanı belirler. Bu, bir önceki derste gördüğümüz kalan hesabının kısa yoludur: sayının bölenin katı olan kısmı atılır, kalanın taşıyıcısı olan parça tutulur.

Eksik rakam soruları

Sınav soruları çoğu zaman bir rakamı harfle bırakır. 5a2 üç basamaklı sayısı 3'e tam bölünüyorsa rakamlar toplamı 7 + a, 3'ün katı olmalıdır. a bir rakam olduğundan 7 + a en az 7, en fazla 16'dır; bu aralıktaki 3'ün katları 9, 12 ve 15'tir. O hâlde a = 2, 5 ya da 8'dir. Bu tür sorularda önce rakamlar toplamının alt ve üst sınırını yaz, sonra bu aralıktaki katları listele. Böylece hiçbir değeri atlamazsın.

İki harf ve iki koşul verildiğinde önce son rakamı belirleyen kuraldan başla. 3a5b dört basamaklı sayısı 10'a ve 9'a tam bölünüyorsa 10 kuralı b = 0'ı hemen verir. Sonra 9 kuralı uygulanır: 3 + a + 5 + 0 = 8 + a, 9'un katı olmalıdır ve a = 1 bulunur. Sıralama önemlidir: son rakama bakan kural (2, 4, 5, 10) seçenekleri az sayıda değere indirir; rakamlar toplamına bakan kural (3, 9) ise bu değerlerin her biri için ayrıca denenir. Son rakamın birden fazla değer alabildiği durumlarda her değer için ayrı bir satır aç.

Kaç sayı?

"Kaç farklı sayı yazılabilir?" diye sorulduğunda harflerin her uygun ikilisini say. Bir harfin alabileceği değerleri bulurken en soldaki rakamın 0 olamayacağını unutma; ama sayı içindeki bir harf 0 olabilir. 5a2 sayısında a = 0 serbesttir, a52 sayısında ise değildir.

Soru kökleri

Bu dersin soruları bir sayının belirli bir sayıya bölünüp bölünmediğini, bölme yapmadan kalanı, rakamı eksik bir sayıda eksik rakamın değerini ya da alabileceği değerlerin sayısını ve toplamını sorar. Her soruda önce hangi kuralın sayının hangi parçasına baktığını belirle.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — 9 ile bölünebilme

Soru: Aşağıdaki sayılardan hangisi 9'a tam bölünür?

  • A) 4 173
  • B) 6 381
  • C) 2 946
  • D) 5 831
  • E) 7 204

Çözüm: Rakamlar toplamları sırasıyla 15, 18, 21, 17 ve 13'tür. Yalnızca 18, 9'un katıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — Kalanı bulmak

Soru: 8 462 sayısı 9'a bölünürse geriye kaç kalır?

  • A) 0
  • B) 7
  • C) 6
  • D) 2
  • E) 8

Çözüm: Rakamlar toplamı 8 + 4 + 6 + 2 = 20'dir. 20 = 9 · 2 + 2 olduğundan kalan 2'dir. Cevap: D.

Örnek 3 — Eksik rakam

Soru: Üç basamaklı 4a6 sayısı 3'e tam bölünmektedir. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  • A) 12
  • B) 18
  • C) 15
  • D) 9
  • E) 6

Çözüm: Rakamlar toplamı 10 + a'dır ve 10 ile 19 arasındadır. Bu aralıktaki 3'ün katları 12, 15 ve 18'dir; a = 2, 5, 8 ve toplamları 15'tir. Cevap: C.

Örnek 4 — İki koşul

Soru: Dört basamaklı 6a3b sayısı 5'e ve 9'a tam bölünmektedir. b sıfırdan farklı olduğuna göre a · b çarpımı kaçtır?

  • A) 20
  • B) 25
  • C) 0
  • D) 45
  • E) 15

Çözüm: 5 kuralı ve b ≠ 0 koşulu b = 5'i verir. Rakamlar toplamı 14 + a, 9'un katı olmalıdır; a = 4'tür. a · b = 20'dir. Cevap: A.

5Tuzaklar

  • 4 kuralında yalnızca son rakama bakmak. 4 için son iki rakamın oluşturduğu sayıya bakılır.
  • 3'e bölüneni 9'a da bölünür sanmak. 5 214 3'e bölünür, 9'a bölünmez.
  • Rakamlar toplamını kalan sanmak. Toplam 20 ise 9'a göre kalan 2'dir, 20 değil.
  • Eksik rakamda bir değeri atlamak. Toplamın aralığını yaz, o aralıktaki katların hepsini listele.
  • 5 kuralında 0'ı unutmak. Son rakam 0 da olabilir; soru "sıfırdan farklı" demiyorsa iki durumu da dene.

6Tekrar kartı

  • 10: son rakam 0. 2: son rakam çift. 5: son rakam 0 ya da 5.
  • 4: son iki rakamın oluşturduğu sayı 4'ün katı.
  • 3 ve 9: rakamlar toplamı 3'ün ya da 9'un katı.
  • Kalan: kuralın baktığı parçanın aynı bölene bölümünden kalan.
  • Eksik rakam: toplamın aralığını yaz, o aralıktaki katları listele.
  • İki koşulda önce son rakama bakan kuralı uygula.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Aşağıdaki sayılardan hangisi 5'e tam bölünür?

    1. A)3 475
    2. B)2 348
    3. C)4 551
    4. D)7 002
    5. E)1 239
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Son rakamı 0 ya da 5 olan tek sayı 3 475'tir.

  2. Soru 2 · Kolay

    Aşağıdakilerden hangisi 4'e kalansız bölünür?

    1. A)3 126
    2. B)5 132
    3. C)4 218
    4. D)7 342
    5. E)2 110
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Son iki rakamlardan yalnızca 32, 4'ün katıdır.

  3. Soru 3 · Kolay

    5 837 sayısı 10'a bölündüğünde kalan hangi rakamdır?

    1. A)5
    2. B)0
    3. C)7
    4. D)8
    5. E)37
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 10'a bölümden kalan, son rakamın kendisidir.

  4. Soru 4 · Kolay

    Aşağıdakilerden hangisi 3'e bölünür ama 9'a bölünmez?

    1. A)2 718
    2. B)3 205
    3. C)5 113
    4. D)4 512
    5. E)6 822
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 4 512'nin rakamları toplamı 12'dir; 3'ün katıdır, 9'un katı değildir.

  5. Soru 5 · Orta

    3 518 sayısı 4'e bölündüğünde kalan ne olur?

    1. A)1
    2. B)0
    3. C)3
    4. D)5
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Son iki rakam 18'dir ve 18 = 4 · 4 + 2'dir.

  6. Soru 6 · Orta

    57 694 sayısı 9'a bölündüğünde geriye kaç kalır?

    1. A)4
    2. B)3
    3. C)8
    4. D)6
    5. E)0
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Rakamlar toplamı 31'dir; 31'in 9'a bölümünden kalan 4'tür.

  7. Soru 7 · Orta

    Üç basamaklı 2a8 sayısı 9'a tam bölünüyor. a rakamı kaçtır?

    1. A)0
    2. B)8
    3. C)9
    4. D)1
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Rakamlar toplamı 10 + a'dır; 9'un katı olması için 18 olmalı, a = 8'dir.

  8. Soru 8 · Orta

    Üç basamaklı 5a4 sayısı 3'e tam bölünüyorsa a kaç farklı değer alabilir?

    1. A)2
    2. B)5
    3. C)4
    4. D)3
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Toplam 9 + a, 3'ün katı olmalıdır; a = 0, 3, 6, 9'dur.

  9. Soru 9 · Orta

    Üç basamaklı 43a sayısı 4'e tam bölünüyor. a'nın alabileceği değerlerin toplamı neye eşittir?

    1. A)6
    2. B)4
    3. C)10
    4. D)8
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Son iki rakam 3a'dır; 4'ün katları olan 32 ve 36 için a = 2 ya da 6'dır.

  10. Soru 10 · Orta

    Dört basamaklı 7a1b sayısı 10'a tam bölünüyor ve 3'e bölümünden kalan 1'dir. a'nın en büyük değeri kaçtır?

    1. A)9
    2. B)5
    3. C)6
    4. D)7
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. b = 0 ve rakamlar toplamı 8 + a'dır; 3'e göre kalan 1 olması için a = 2, 5 ya da 8'dir.

  11. Soru 11 · Orta

    İki basamaklı kaç doğal sayı hem 2'ye hem 5'e tam bölünür?

    1. A)9
    2. B)5
    3. C)10
    4. D)90
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Son rakamı hem çift hem 0 ya da 5 olan sayılar 0 ile biter: 10, 20, …, 90.

  12. Soru 12 · Zor

    Dört basamaklı a37b sayısı 5'e ve 9'a tam bölünmektedir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı a37b sayısı vardır?

    1. A)1
    2. B)2
    3. C)5
    4. D)0
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. b = 0 için a = 8, b = 5 için a = 3 bulunur: 8 370 ve 3 375.

  13. Soru 13 · Zor

    Dört basamaklı 3a2b sayısı 4'e ve 9'a tam bölünmektedir. a'nın en büyük değeri nedir?

    1. A)5
    2. B)4
    3. C)9
    4. D)8
    5. E)0
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 2b'nin 4'e bölünmesi için b = 0, 4, 8 olur; b = 4 için 9 + a toplamı a = 9'a izin verir ve 3 924 elde edilir.

  14. Soru 14 · Zor

    Dört basamaklı 5a7b sayısı 9'a bölündüğünde 4, 5'e bölündüğünde 3 kalanını verir. a + b neye eşittir?

    1. A)7
    2. B)12
    3. C)13
    4. D)10
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. b = 3 ya da 8'dir; b = 3 için a = 7, b = 8 için a = 2 bulunur ve iki durumda da a + b = 10'dur.

  15. Soru 15 · Zor

    Üç basamaklı 7ab sayısı 10'a tam bölünüyor, 3'e bölündüğünde ise 2 artıyor. a kaç farklı değer alabilir?

    1. A)4
    2. B)2
    3. C)5
    4. D)0
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. b = 0 ve 7 + a'nın 3'e göre kalanı 2 olmalıdır; a = 1, 4, 7'dir.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Bölünebilme kuralları II: 8, 11 ve bileşik sayılar» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    6 347 sayısı 9'a bölündüğünde kalan kaç olur?

    1. A)3
    2. B)2
    3. C)5
    4. D)7
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Rakamlar toplamı 20'dir ve 20 = 18 + 2 olduğundan kalan 2'dir.

  2. Soru 2 · Orta

    Aşağıdaki sayılardan hangisi 4'e tam bölünür?

    1. A)2 514
    2. B)5 322
    3. C)1 438
    4. D)3 116
    5. E)4 206
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Son iki rakamı 16 olan 3 116, 4'ün katıdır; ötekilerin son iki rakamı 4'e bölünmez.

  3. Soru 3 · Zor

    Dört basamaklı 4a1b sayısının son rakamı 5'tir ve sayı 9'un bir katıdır. a kaçtır?

    1. A)8
    2. B)5
    3. C)0
    4. D)9
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Son rakam verildiği için b = 5'tir; rakamlar toplamı 10 + a, 9'un katı olmalıdır ve a = 8'dir.

  4. Soru 4 · Zor

    Dört basamaklı 2a5b sayısı hem 4'e hem 3'e tam bölünmektedir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı vardır?

    1. A)6
    2. B)3
    3. C)9
    4. D)8
    5. E)7
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 5b'nin 4'e bölünmesi için b = 2 ya da 6'dır; b = 2 için a = 0, 3, 6, 9, b = 6 için a = 2, 5, 8 olur.

  5. Soru 5 · Zor

    Üç basamaklı 8a6 sayısı 9'a bölündüğünde 5 kalanını verir. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

    1. A)0
    2. B)8
    3. C)9
    4. D)18
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Rakamlar toplamı 14 + a'nın 9'a göre kalanı 5 olmalıdır; a = 0 ya da 9'dur ve toplamları 9'dur.

M02 — Sayı Basamakları ve Bölme-Bölünebilme

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.