Bölünebilme kuralları II: 8, 11 ve bileşik sayılar

Bir sayı 2'ye de 6'ya da tam bölünüyor. O hâlde 2 · 6 = 12'ye de bölünür mü? Çoğu öğrenci hemen "evet" der ve yanılır. 18 sayısı 2'ye de 6'ya da bölünür, ama 12'ye bölünmez. Hata, 2 ile 6'nın ortak bir çarpanı olmasından, yani 6'nın içinde 2'nin zaten bulunmasından doğar. Bileşik bir sayıya bölünebilmeyi sınarken böleni iki parçaya ayırırız; ama bu parçaların ortak çarpanı olmamalıdır. Önceki derste son rakama, son iki rakama ve rakamlar toplamına bakan kuralları gördük. Bu derste iki yeni kural öğreniyoruz, 8 ve 11, ardından 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45 ve 72 gibi bileşik bölenleri eski kuralları birleştirerek nasıl sınayacağımızı görüyoruz.

• 8 ve 11 ile bölünebilme kurallarını uygular, kalanı bu kurallarla bulursun.
• Bileşik bir böleni aralarında asal iki çarpana ayırır, iki kuralı birlikte uygularsın.
• Rakamı eksik sayılarda 8, 11 ve bileşik bölen koşullarından eksik rakamları bulursun.
• Böleni yanlış çarpanlara ayırmanın neden hatalı sonuç verdiğini açıklarsın.

8: son üç rakam

4 kuralının nedenini hatırla: 100, 4'e bölündüğü için yalnızca son iki rakama bakıyorduk. 8 için aynı düşünce bir basamak ileri taşınır. 1 000 = 8 · 125 olduğundan binler basamağı ve onun solundaki her kısım 8'in katıdır. Bir sayının 8'e bölünmesi son üç rakamının oluşturduğu sayıya bağlıdır.

53 128'in son üç rakamı 128'dir ve 128 = 8 · 16 olduğundan 53 128, 8'e tam bölünür. 7 250'nin son üç rakamı 250'dir; 250 = 8 · 31 + 2 olduğundan 7 250'nin 8'e bölümünden kalan da 2'dir. Son üç rakamın 8'e bölümü zihinden zor geliyorsa önce 2'ye bölüp sonucun 4'e bölünüp bölünmediğine bakabilirsin: 128 ÷ 2 = 64 ve 64, 4'ün katıdır.

Zincir şöyle kurulur: 2'de tek basamak, 4'te iki basamak, 8'de üç basamak incelenir. Her adımda 2'nin bir kuvveti daha eklenir ve bakılan basamak sayısı bir artar.

11: işaretli rakam toplamı

11 kuralı rakamları dönüşümlü işaretle toplar. Birler basamağından başlanır; birler basamağı artı, onlar eksi, yüzler artı, binler eksi alınır ve böyle devam edilir. Çıkan sonuç 11'in katıysa (0 da 11'in katıdır) sayı 11'e tam bölünür.

Neden böyle? 10 sayısı 11'den bir eksik, 100 sayısı 99'dan bir fazla, 1 000 sayısı da 1 001'den bir eksiktir; 99 ve 1 001 11'in katlarıdır. Yani onlar basamağındaki her rakam, 11'in bir katından kendisi kadar eksik, yüzler basamağındaki her rakam ise 11'in bir katından kendisi kadar fazladır. 11'in katları atılınca geriye işaretli toplam kalır.

7 392 için: 2 − 9 + 3 − 7 = −11. −11, 11'in katıdır; 7 392 = 11 · 672'dir. 4 273 için: 3 − 7 + 2 − 4 = −6. Sonuç negatif çıktığında 11 eklenir: −6 + 11 = 5. 4 273'ün 11'e bölümünden kalan 5'tir. Kalan için işaretli toplamı 0 ile 10 arasına getirmek gerekir; negatifse 11 ekle, 11'den büyükse 11 çıkar.

İşareti birler basamağından başlatmak önemlidir. Soldan başlarsan basamak sayısı çift olan sayılarda bütün işaretler ters döner. Bölünüp bölünmediğini sorarken bu fark etmez, çünkü −11 ile 11 aynı sonucu verir; ama kalan sorarken yanlış bir değer bulursun.

Bileşik sayılarla bölünebilme

6, 12, 15 gibi bileşik bir sayıya bölünebilmeyi sınamak için bölen, aralarında asal iki çarpana ayrılır. Aralarında asal, ortak böleni yalnızca 1 olan sayılar demektir. Sayı bu iki çarpanın her birine bölünüyorsa bileşik sayıya da bölünür.

• 6 = 2 · 3
• 12 = 3 · 4
• 15 = 3 · 5
• 18 = 2 · 9
• 24 = 3 · 8
• 36 = 4 · 9
• 45 = 5 · 9
• 72 = 8 · 9

Kancadaki hatanın nedeni burada görünür. 12 = 2 · 6 yazımında 2 ile 6'nın ortak böleni 2'dir; bu yüzden 2 ve 6 kuralları birlikte yalnızca 6'ya bölünebilmeyi garanti eder. 12'yi 3 · 4 olarak ayırmak gerekir. Aynı şekilde 36 = 4 · 9'dur, 6 · 6 ya da 3 · 12 değil; 72 = 8 · 9'dur, 6 · 12 değil.

Bileşik bölende eksik rakam

İki kural birlikte kullanılırken önceki dersteki sıra geçerlidir: önce sayının sonuna bakan kural (8, 5, 4, 10 ya da 2), sonra bütün rakamları kullanan kural (9, 11 ya da 3). Sayının sonuna bakan kural olasılıkları birkaç değere daraltır, öteki kural her değer için ayrı ayrı denenir.

Dört basamaklı 3a4b sayısının 45'e bölünmesi için 5 ve 9 kurallarının ikisi de sağlanmalıdır. 5 kuralından b = 0 ya da b = 5 çıkar. b = 0 için rakamlar toplamı 7 + a'dır ve bunu 9'un bir katı yapan tek rakam a = 2'dir. b = 5 için toplam 12 + a'dır ve a = 6'dır. İki sayı bulunur: 3 240 ve 3 645. Soru "kaç farklı sayı" diye sorarsa cevap 2'dir; "a + b'nin en büyük değeri" diye sorarsa 11'dir. Her durumu ayrı bir satırda yazmak, bir değeri kaçırmayı önler.

8 kuralı söz konusu olduğunda son üç rakam genellikle bir harf içerir. Bu durumda son üç rakamın oluşturduğu sayıyı çözümle ve 8'in katlarını listele. 11 kuralında ise harf, işaretli toplamın içinde artı ya da eksi işaretle yer alır; önce bilinen rakamların işaretli toplamını hesapla, sonra harfin hangi değerlerde sonucu 11'in katı yaptığını bul.

Doğru ayrıştırmayı sınamak

Bir ayrıştırmanın doğru olup olmadığını küçük bir sayıyla denetleyebilirsin. 72 için 6 · 12 ayrıştırmasını düşün. 36 sayısı hem 6'ya hem 12'ye bölünür, ama 72'ye bölünmez; demek ki bu iki kural birlikte 72'ye bölünebilmeyi garanti etmez. 8 · 9 ayrıştırmasında böyle bir karşı örnek bulamazsın, çünkü 8 ile 9'un ortak çarpanı yoktur. Genel ilke şudur: iki çarpan aralarında asalsa, ikisine birden bölünen her sayı çarpımlarına da bölünür. Sınavda seçeneklerde "hem 6'ya hem 12'ye bölünür" gibi bir ifade gördüğünde, önce bu iki sayının ortak çarpanına bak; ortak çarpan varsa ifade yalnızca ikisinin en küçük ortak katına bölünebilmeyi söyler. En küçük ortak kat konusunu ileride ayrı bir modülde işleyeceğiz; şimdilik ayrıştırmayı aralarında asal çarpanlarla yapmak yeterlidir.

Soru kökleri

Bu derste karşına çıkacak sorular 8'e ya da 11'e bölünebilmeyi, bu bölenlere göre kalanı, bileşik bir sayıya bölünebilme için hangi kuralların gerektiğini ve bileşik bir bölen verildiğinde eksik rakamların değerini ya da sayısını sorar. Her soruda önce böleni aralarında asal çarpanlara ayır, sonra son rakamlara bakan kuraldan başla.

Örnek 1 — 11 ile bölünebilme

Soru: Aşağıdakilerden hangisi 11'in katıdır?

• A) 4 519
• B) 8 264
• C) 5 273
• D) 2 178
• E) 6 315

Çözüm: 2 178 için işaretli toplam 8 − 7 + 1 − 2 = 0'dır; 0, 11'in katıdır. Ötekilerin işaretli toplamları 11'in katı değildir. Cevap: D.

Örnek 2 — 8'e göre kalan

Soru: 6 437 205 sayısı 8'e bölündüğünde elde edilen kalan hangisidir?

• A) 6
• B) 5
• C) 2
• D) 7
• E) 0

Çözüm: Son üç rakam 205'tir. 205 = 8 · 25 + 5 olduğundan kalan 5'tir. Cevap: B.

Örnek 3 — 36 ile bölünebilme

Soru: Dört basamaklı 5a2b sayısı 36'ya tam bölünmektedir. a en çok hangi rakam olabilir?

• A) 9
• B) 6
• C) 3
• D) 8
• E) 7

Çözüm: 36 = 4 · 9'dur. Son iki rakam 2b, 4'ün katı olmalı; bu da b'yi 0, 4 ve 8 ile sınırlar. b = 0 için 7 + a, b = 4 için 11 + a, b = 8 için 15 + a toplamlarının her biri 9'a bölünmelidir; a = 2, 7 ya da 3 bulunur. En büyüğü 7'dir. Cevap: E.

Örnek 4 — 11 ile eksik rakam

Soru: Dört basamaklı 4a36 sayısı 11'e tam bölünüyorsa a kaçtır?

• A) 1
• B) 5
• C) 8
• D) 0
• E) 6

Çözüm: İşaretli toplam 6 − 3 + a − 4 = a − 1'dir. Bu değerin 11'in katı olması için a = 1 olmalıdır. Cevap: A.

• Böleni ortak çarpanlı parçalara ayırmak. 12 = 2 · 6 değil, 3 · 4 olarak sınanır.
• 8 kuralında son iki rakama bakmak. 8 için son üç rakam gerekir.
• 11 kuralında işaretleri soldan başlatmak. Kalan sorularında işaret birler basamağından başlar.
• Negatif işaretli toplamı kalan sanmak. −6 bulunduysa 11 eklenir, kalan 5'tir.
• Bileşik bölende bir durumu atlamak. Son rakam birden çok değer alıyorsa her biri için ayrı satır aç.