İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Sayı Basamakları ve Bölme-Bölünebilme · MAT-M02-L03

Bölme işlemi

TYTsınavdaki ağırlığı orta· 8 bölüm

1Kanca

Bugün salı. 100 gün sonra haftanın hangi günü olur? Takvimi yüz gün ileri çevirmeye gerek yok. Hafta 7 günde bir kendini tekrar eder; 100 günün içinde 14 tam hafta vardır ve bu haftalar bizi yine salıya getirir. Geriye 2 gün kalır, cevap perşembedir. Bu soruda bölümün, yani 14'ün hiçbir önemi yoktu; bütün iş kalandaydı. TYT'nin bölme sorularının çoğu da böyledir: bölümü değil, kalanı ve bölme işleminin dört terimi arasındaki ilişkiyi sorar. Bu derste bölme eşitliğini, kalanın alabileceği değerleri, bölünen değiştiğinde bölümün ve kalanın nasıl değiştiğini ve kalanlarla nasıl işlem yapılacağını görüyoruz.

2Hedefler

  • Bölme eşitliğini yazar, eksik terimi bulursun.
  • Kalanın bölene göre sınırını kullanarak bölünenin alabileceği sınır değerleri bulursun.
  • Toplamın, farkın ve çarpımın kalanını, sayıların kendisini bilmeden hesaplarsın.
  • Art arda yapılan bölmeleri tek bir bölme eşitliğine çevirirsin.

3Konu anlatımı

Bölme eşitliği

Bir bölme işleminin dört terimi vardır: bölünen (A), bölen (B), bölüm (C) ve kalan (K). Aralarındaki ilişki tek bir eşitlikle yazılır:

  • A = B · C + K ve 0 ≤ K < B

158'i 9'a böldüğümüzde bölüm 17, kalan 5'tir, çünkü 9 · 17 = 153 ve 158 − 153 = 5'tir. Eşitliğin ikinci parçası en az birincisi kadar önemlidir: kalan negatif olamaz ve bölenden küçük olmak zorundadır. 158'i 9'a böldüğümüzde "bölüm 16, kalan 14" demek yanlıştır; 14 içinde bir 9 daha vardır ve bölüm bir artmalıdır.

Kalan 0 olduğunda A, B'ye tam bölünür; A, B'nin bir katıdır. Bu durum bir sonraki derste göreceğimiz bölünebilme kurallarının konusudur.

Eksik terimi bulmak

Dört terimden üçü verilirse dördüncüsü eşitlikten bulunur. Bölen 8, bölüm 12, kalan 5 ise bölünen 8 · 12 + 5 = 101'dir. Bölünen, bölen ve kalan verilmişse bölüm (A − K) ÷ B ile bulunur. Bu tür sorular kolaydır; asıl dikkat isteyen, bir terimin tam değeri yerine alabileceği değerlerin sorulduğu sorulardır.

Kalanın sınırı ve bölünenin uç değerleri

Bölen 6 ve bölüm 9 ise bölünen 6 · 9 + K'dir. K, 0 ile 5 arasında her değeri alabilir. Bölünenin en küçük değeri K = 0 için 54, en büyük değeri K = 5 için 59'dur. Kalanın en büyük değeri her zaman bölen − 1'dir. Soruda "kalan en büyük değerini aldığında" ya da "bölünenin alabileceği en büyük değer" deniyorsa önce bu sınırı yaz.

Kalan ile bölüm arasında bir ilişki verildiğinde aynı sınır, bölümün alabileceği değerleri de kısıtlar. Bölen 5 olan bir bölmede bölüm kalanın 3 katıysa K en fazla 4, bölüm en fazla 12 olur ve bölünen en fazla 5 · 12 + 4 = 64'tür. Bölümün sınırı doğrudan verilmemiştir, kalan üzerinden gelir.

Bölünen değişince ne olur?

Bölünene bölenin bir katını eklemek kalanı değiştirmez, yalnızca bölümü artırır. 100'ü 7'ye bölersek bölüm 14, kalan 2'dir. Bölüneni 7 artırıp 107 yaparsak bölüm 15 olur, kalan yine 2'dir. Bölüneni bölenin katı olmayan bir sayı kadar artırırsak kalan da değişir: 100 + 3 = 103 için kalan 2 + 3 = 5'tir. Yeni kalan bölene ulaşırsa ya da geçerse bölenin katları çıkarılır ve bölüm artar: 100 + 6 = 106 için 2 + 6 = 8 olur; 8'in içinde bir 7 vardır, bölüm 15'e çıkar ve kalan 1 olur.

Bu düşünce, bir sayının bir bölene tam bölünmesi için ne kadar eklenmesi ya da çıkarılması gerektiğini sorularında da işe yarar. Kalanı 2 olan bir sayıdan 2 çıkarırsan tam bölünür. Bölenden kalanı çıkararak bulunan sayıyı eklersen de tam bölünür; 7'ye bölümünden kalan 2 olan bir sayıya 5 eklersek bölenin bir sonraki katına ulaşırız.

Kalanlarla işlem

Kalan sorularında sayıların kendisi çoğu zaman bilinmez; yalnızca kalanları bilinir. İyi haber şu: toplamın ve çarpımın kalanını bulmak için sayılara gerek yoktur, kalanlar yeter.

A sayısı 7'ye bölündüğünde kalan 3, B sayısı 7'ye bölündüğünde kalan 5 olsun. A = 7m + 3 ve B = 7n + 5 yazılır. Toplam A + B = 7(m + n) + 8'dir. 7'nin katı olan kısım kalanı etkilemez; 8'in 7'ye bölümünden kalan 1'dir, o hâlde A + B'nin kalanı da 1'dir. Çarpımda da aynı şey olur: A · B açıldığında 7'nin katı olmayan tek terim 3 · 5 = 15'tir ve kalan 15'in 7'ye bölümünden kalan olan 1'dir.

Kural şöyle özetlenir: kalanları topla, çıkar ya da çarp, sonucu yine aynı bölene böl. 3A ifadesinin kalanı 3 · 3 = 9'un 7'ye bölümünden kalan, yani 2'dir. Sayı yerine yalnızca kalanlarla çalışmak, büyük sayılarla uğraşmayı da gereksiz kılar. Bu kısayolun güvenli olmasının nedeni, bölenin katlarının her adımda kalanı değiştirmeden atılabilmesidir.

Bölenin böleni

Bir sayının 12'ye bölümünden kalan 10 ise aynı sayının 4'e bölümünden kalan nedir? A = 12m + 10 yazalım. 12m, 4'ün katıdır; geriye 10 kalır ve 10'un 4'e bölümünden kalan 2'dir. Genel olarak, bir sayının B'ye bölümünden kalan biliniyorsa, B'nin herhangi bir böleni için kalan, bu kalanı o yeni bölene bölerek bulunur. Tersi çalışmaz: sayının 4'e bölümünden kalanı bilmek, 12'ye bölümünden kalanı tek türlü belirlemez.

Art arda bölme

Bazı sorularda bir sayı bölünür, çıkan bölüm tekrar bölünür. A sayısı 4'e bölündüğünde bölüm B, kalan 1; B de 3'e bölündüğünde bölüm C, kalan 2 olsun. Her bölmeyi eşitlik olarak yaz ve içeriden dışarıya yerine koy:

  • B = 3C + 2
  • A = 4B + 1 = 4(3C + 2) + 1 = 12C + 9

Buradan A'nın 12'ye bölümünden kalanın 9 olduğu okunur. Bölenler çarpılarak yeni bölen, kalanlar ise yerine koyma yoluyla yeni kalan elde edilir. Kalanı yazarken sırayı karıştırma: iç bölmenin kalanı dış bölenle çarpılır, dış bölmenin kalanı olduğu gibi eklenir.

Bölüm ile bölenin yer değiştirmesi

A = B · C + K eşitliğinde çarpma yer değiştirebildiği için A = C · B + K de yazılabilir. Bu, A'nın C'ye bölündüğünde bölümün B, kalanın K olduğu anlamına gelir; ama yalnızca K < C ise. 50 = 6 · 8 + 2 eşitliği, 50'nin 6'ya bölümünde bölümün 8, kalanın 2 olduğunu söyler. Kalan 2, 8'den de küçük olduğu için aynı eşitlik 50'nin 8'e bölümünü de verir: bölüm 6, kalan 2. 47 = 10 · 4 + 7 eşitliğinde ise (bölen 10, bölüm 4, kalan 7) yer değiştirme çalışmaz. 47'yi 4'e bölersek kalan 7 olamaz, çünkü 7 bölenden büyüktür; gerçekte bölüm 11, kalan 3'tür. Yer değiştirmeden önce kalanın yeni bölenden küçük olduğunu denetle.

Soru kökleri

Bu dersin soruları bölme eşitliğindeki eksik terimi, kalanın sınırından çıkan uç bölünen değerlerini, bir toplamın ya da çarpımın kalanını, art arda yapılan bölmelerin birleşimini ve takvim gibi döngüsel durumları sorar. Her soruda önce A = B · C + K eşitliğini ve K < B koşulunu yaz.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Bölüneni bulmak

Soru: Bir bölme işleminde bölen 11, bölüm 7 ve kalan 4'tür. Bölünen kaçtır?

  • A) 77
  • B) 81
  • C) 73
  • D) 84
  • E) 88

Çözüm: A = 11 · 7 + 4 = 77 + 4 = 81'dir. Cevap: B.

Örnek 2 — En büyük bölünen

Soru: A doğal sayısı 9'a bölündüğünde bölüm 15'tir. A en fazla kaç olabilir?

  • A) 135
  • B) 144
  • C) 142
  • D) 143
  • E) 136

Çözüm: Kalan en fazla 9 − 1 = 8 olabilir. A = 9 · 15 + 8 = 143'tür. 144 seçeneği kalanı 9 kabul eder, bu geçerli değildir. Cevap: D.

Örnek 3 — Toplamın kalanı

Soru: A sayısının 7'ye bölümünden kalan 4, B sayısının 7'ye bölümünden kalan 6'dır. A + B toplamının 7'ye bölümünden kalan kaçtır?

  • A) 3
  • B) 10
  • C) 2
  • D) 1
  • E) 4

Çözüm: Kalanlar toplanır: 4 + 6 = 10. 10'un 7'ye bölümünden kalan 3'tür. Cevap: A.

Örnek 4 — Art arda bölme

Soru: A sayısı 5'e bölündüğünde bölüm B, kalan 2'dir. B sayısı 4'e bölündüğünde bölüm C, kalan 3'tür. A'nın 20'ye bölümünden kalan kaçtır?

  • A) 5
  • B) 14
  • C) 3
  • D) 12
  • E) 17

Çözüm: B = 4C + 3 ise A = 5(4C + 3) + 2 = 20C + 17'dir. Kalan 17'dir. Cevap: E.

5Tuzaklar

  • Kalanı bölenden büyük ya da eşit almak. Kalan en fazla bölen − 1'dir.
  • Kalanlar toplamını olduğu gibi cevap sanmak. 4 + 6 = 10 bulunduysa 10 yeniden bölene bölünür.
  • Art arda bölmede kalanları toplamak. İç kalan dış bölenle çarpılır: 4(3C + 2) + 1.
  • Bölenin katını eklemenin kalanı değiştirdiğini sanmak. Bölüm artar, kalan aynı kalır.
  • Bölüm ile böleni denetlemeden yer değiştirmek. Yeni bölen kalandan büyük olmalıdır.

6Tekrar kartı

  • A = B · C + K ve 0 ≤ K < B.
  • Bölünenin en büyük değeri için K = B − 1, en küçük değeri için K = 0.
  • Toplamın ve çarpımın kalanı, kalanların toplamının ve çarpımının kalanıdır.
  • B'ye bölümünden kalan biliniyorsa, B'nin bir bölenine göre kalan bu kalandan bulunur.
  • Art arda bölmede eşitlikleri içeriden dışarıya yerine koy.
  • Takvim, saat gibi döngülerde yalnız kalan önemlidir.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    247 sayısının 6'ya bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)1
    2. B)3
    3. C)5
    4. D)4
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 6 · 41 = 246 olduğundan kalan 247 − 246 = 1'dir.

  2. Soru 2 · Kolay

    Bölen 12, bölüm 5, kalan 7 olan bölme işleminde bölünen neye eşittir?

    1. A)60
    2. B)67
    3. C)72
    4. D)65
    5. E)79
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Bölünen 12 · 5 + 7 = 67'dir.

  3. Soru 3 · Kolay

    Böleni 9 olan bir bölme işleminde kalanın alabileceği en büyük değer hangisidir?

    1. A)9
    2. B)7
    3. C)8
    4. D)10
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Kalan bölenden küçük olmalıdır; en fazla 9 − 1 = 8'dir.

  4. Soru 4 · Kolay

    5 ile yapılan bir bölmede aşağıdakilerden hangisi kalan olamaz?

    1. A)0
    2. B)2
    3. C)4
    4. D)5
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Kalan bölenden küçük olmak zorundadır; 5, bölene eşittir.

  5. Soru 5 · Orta

    Bir sayı 13'e bölündüğünde bölüm 6 ve kalan, alabileceği en büyük değerdedir. Bu sayı kaçtır?

    1. A)78
    2. B)84
    3. C)91
    4. D)77
    5. E)90
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Kalan en fazla 12'dir; sayı 13 · 6 + 12 = 90'dır.

  6. Soru 6 · Orta

    A doğal sayısı 8'e bölündüğünde bölüm 11'dir. A'nın alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?

    1. A)183
    2. B)176
    3. C)184
    4. D)191
    5. E)175
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. En küçük değer 88, en büyük değer 88 + 7 = 95'tir; toplam 183'tür.

  7. Soru 7 · Orta

    Bugün günlerden cumadır. 45 gün sonra hangi gün olur?

    1. A)Cumartesi
    2. B)Pazartesi
    3. C)Pazar
    4. D)Salı
    5. E)Çarşamba
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 45'in 7'ye bölümünden kalan 3'tür; cumadan üç gün sonrası pazartesidir.

  8. Soru 8 · Orta

    A sayısının 6'ya bölümünden kalan 5'tir. A + 8 toplamı 6'ya bölündüğünde kalan ne olur?

    1. A)5
    2. B)3
    3. C)1
    4. D)2
    5. E)0
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Kalana 8 eklenir: 5 + 8 = 13 ve 13'ün 6'ya bölümünden kalan 1'dir.

  9. Soru 9 · Orta

    A sayısının 9'a bölümünden kalan 7'dir. 2A sayısının 9'a bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)14
    2. B)7
    3. C)2
    4. D)5
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 2 · 7 = 14 ve 14'ün 9'a bölümünden kalan 5'tir.

  10. Soru 10 · Orta

    A sayısının 15'e bölümünden kalan 13'tür. A'nın 5'e bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)0
    2. B)1
    3. C)4
    4. D)13
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 15'in katı olan kısım 5'e de tam bölünür; 13'ün 5'e bölümünden kalan 3'tür.

  11. Soru 11 · Orta

    200 sayısına en az kaç eklenirse elde edilen sayı 9'a tam bölünür?

    1. A)7
    2. B)2
    3. C)3
    4. D)4
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 200'ün 9'a bölümünden kalan 2'dir; 9'un bir sonraki katı olan 207'ye ulaşmak için 7 eklenir.

  12. Soru 12 · Zor

    A sayısının 6'ya bölümünden kalan 4, B sayısının 6'ya bölümünden kalan 5'tir. A · B çarpımı 6'ya bölündüğünde kalan kaç olur?

    1. A)20
    2. B)2
    3. C)3
    4. D)4
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Kalanlar çarpılır: 4 · 5 = 20 ve 20'nin 6'ya bölümünden kalan 2'dir.

  13. Soru 13 · Zor

    A sayısı 3'e bölündüğünde bölüm B, kalan 2'dir. B sayısı 7'ye bölündüğünde bölüm C, kalan 5'tir. A'nın 21'e bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)7
    2. B)15
    3. C)17
    4. D)19
    5. E)11
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. A = 3(7C + 5) + 2 = 21C + 17 olduğundan kalan 17'dir.

  14. Soru 14 · Zor

    Böleni 15 olan bir bölme işleminde bölüm, kalanın 2 katıdır. Bu bölmede bölünen en çok kaç olabilir?

    1. A)449
    2. B)420
    3. C)404
    4. D)434
    5. E)464
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Kalan en fazla 14, bölüm en fazla 28'dir; bölünen 15 · 28 + 14 = 434'tür.

  15. Soru 15 · Zor

    8'e bölündüğünde 3 kalanını veren kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır?

    1. A)113
    2. B)111
    3. C)125
    4. D)110
    5. E)112
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Bu sayılar 107, 115, …, 995'tir; 8k + 3 biçiminde k = 13'ten 124'e kadar 112 değer vardır.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Bölünebilme kuralları I: 2, 3, 4, 5, 9, 10» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    389 sayısı 7'ye bölündüğünde kalan kaç olur?

    1. A)2
    2. B)4
    3. C)6
    4. D)5
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 7 · 55 = 385 olduğundan kalan 389 − 385 = 4'tür.

  2. Soru 2 · Orta

    Bölen 14, bölüm 9 ve kalan 6 olan bölme işleminde bölünen kaçtır?

    1. A)126
    2. B)120
    3. C)140
    4. D)132
    5. E)138
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Bölünen 14 · 9 + 6 = 132'dir.

  3. Soru 3 · Zor

    A sayısının 10'a bölümünden kalan 7, B sayısının 10'a bölümünden kalan 8'dir. 3A + 2B ifadesinin 10'a bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)7
    2. B)1
    3. C)5
    4. D)9
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 3 · 7 + 2 · 8 = 37 ve 37'nin 10'a bölümünden kalan 7'dir.

  4. Soru 4 · Zor

    A sayısı 4'e bölündüğünde bölüm B, kalan 3'tür. B sayısı 6'ya bölündüğünde bölüm C, kalan 1'dir. A'nın 24'e bölümünden kalan kaçtır?

    1. A)4
    2. B)13
    3. C)9
    4. D)19
    5. E)7
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. A = 4(6C + 1) + 3 = 24C + 7 olduğundan kalan 7'dir.

  5. Soru 5 · Zor

    Böleni 9 olan bir bölme işleminde bölüm ile kalan birbirine eşittir. Bölünenin üst sınırı kaçtır?

    1. A)72
    2. B)90
    3. C)80
    4. D)81
    5. E)88
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Bölünen 9K + K = 10K'dir; kalan en fazla 8 olduğundan en büyük değer 80'dir.

M02 — Sayı Basamakları ve Bölme-Bölünebilme

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.