Basamak problemleri

Bir matbaa, 120 sayfalık bir kitabın her sayfasına numara basacak. Dizgici kaç tane rakam hazırlamalı? İlk akla gelen cevap 120'dir, ama 57 numaralı sayfa iki rakam, 104 numaralı sayfa üç rakam ister. Doğru cevap 252'dir ve onu bulmak için sayfaları tek tek saymaya gerek yoktur: sayıları basamak sayısına göre gruplara ayırmak yeter. Önceki derste bir sayıyı rakamlarına ayırıp çözümlemeyi öğrendik. Bu derste aynı düşünceyi problem kurmak için kullanıyoruz: koşullara uyan en büyük ve en küçük sayıyı kurmak, belli bir aralıkta kaç sayı olduğunu saymak, sayfa numarası problemlerini çözmek ve rakamı eksik bırakılmış bir toplamayı tamamlamak.

• Rakam koşullarına uyan en büyük ve en küçük sayıyı basamak basamak kurarsın.
• Bir aralıktaki ya da belli koşullara uyan sayıların kaç tane olduğunu hesaplarsın.
• Sayfa numarası problemlerinde kullanılan rakam sayısını ve sayfa sayısını bulursun.
• Rakamı eksik bir toplamayı elde düşüncesiyle tamamlarsın.

En büyük sayıyı kurmak

Bir sayının büyüklüğünü önce en soldaki rakam belirler. 900 ile 899 arasındaki fark tek bir birimdir, ama yüzler basamağındaki 9, sağdaki bütün rakamların toplamından daha fazla değer taşır. Bu yüzden koşullara uyan en büyük sayıyı ararken soldan sağa ilerlenir ve her basamağa, koşulların izin verdiği en büyük rakam yazılır.

Rakamları farklı ve beş ile biten üç basamaklı en büyük sayıyı kuralım. Birler basamağı 5 olarak sabittir. Yüzler basamağına en büyük rakam olan 9 yazılır. Onlar basamağına 9 ve 5 dışındaki en büyük rakam, yani 8 gelir. Sayı 985'tir.

Rakam toplamı verildiğinde aynı yol izlenir, ama her adımda kalan toplam kontrol edilir. Rakamları farklı ve rakamları toplamı 20 olan üç basamaklı en büyük sayıda yüzler basamağına 9 yazılır ve kalan toplam 11 olur. Onlar basamağına 9 yazılamaz, çünkü rakamlar farklı olmalıdır; 8 yazılır ve kalan 3 birler basamağına gider. Sayı 983'tür. Soldaki basamağa verilen her birim, sağdaki basamaklardan alınan birimden daha değerlidir; bu yüzden toplamı sola yığmak en büyük sayıyı verir.

En küçük sayıyı kurmak

En küçük sayıda mantık tersine döner: soldaki basamaklar olabildiğince küçük tutulur. İki kısıt bunu sınırlar. Birincisi, sayı sıfırla başlayamaz; üç basamaklı en küçük sayının yüzler basamağı en az 1'dir. İkincisi, rakam toplamı verilmişse soldaki rakamı küçük tutmak sağdakileri büyütür ve sağdaki her rakam en fazla 9 olabilir.

Bu yüzden en küçük sayıyı kurarken toplamın büyük kısmı sağa, birler basamağından başlayarak yığılır. Rakamları farklı ve rakamları toplamı 10 olan üç basamaklı en küçük sayıda yüzler basamağına 1 yazılır, kalan 9 sağdaki iki basamağa dağıtılır. Onlar basamağına 0 yazılabilir, birler basamağına 9 gelir. Sayı 109'dur. Toplam büyükse soldaki rakam 1'de kalamayabilir: rakam toplamı 26 olan üç basamaklı bir sayıda sağdaki iki basamak en fazla 18 taşıyabildiği için yüzler basamağı en az 8 olmak zorundadır.

Kaç tane sayı var?

Bir aralıktaki tam sayıları saymanın kuralı basittir: iki uç da dahilse sayı adedi son − ilk + 1'dir. 37'den 84'e kadar, ikisi de dahil, 84 − 37 + 1 = 48 tam sayı vardır. Sondaki +1 unutulursa sonuç bir eksik çıkar. Uçlardan biri dahil değilse 1 eklenmez, ikisi de dahil değilse 1 çıkarılır.

Bu kural basamak sayısına uygulandığında şu tablo çıkar: tek basamaklı pozitif sayılar 9 tanedir (1–9), iki basamaklı sayılar 90 tanedir (10–99), üç basamaklı sayılar 900 tanedir (100–999). Her yeni basamak, adet sayısını on katına çıkarır.

Koşullu saymada her basamak için kaç seçenek olduğu yazılır ve seçenekler çarpılır. Rakamları farklı üç basamaklı sayıları sayalım. Yüzler basamağı için 0 hariç 9 seçenek vardır. Onlar basamağı için 0 artık kullanılabilir, ama yüzler basamağına yazılan rakam kullanılamaz; yine 9 seçenek kalır. Birler basamağı için kullanılan iki rakam dışında 8 seçenek vardır. Toplam 9 × 9 × 8 = 648 sayıdır. Üç basamaklı çift sayılarda ise yüzler basamağı 9, onlar basamağı 10, birler basamağı 5 seçenek alır (0, 2, 4, 6, 8) ve sayı 450'dir. Kısıtı en sıkı olan basamaktan başlamak hesabı kolaylaştırır.

Sayfa numarası problemleri

Kancadaki soru bu türün örneğidir. Bir kitabın 1'den n'ye kadar numaralanan sayfaları için kullanılan rakam sayısı, sayfaları basamak sayısına göre gruplayarak bulunur:

• 1–9 arasındaki 9 sayfa, 9 × 1 = 9 rakam
• 10–99 arasındaki 90 sayfa, 90 × 2 = 180 rakam
• 100–999 arasındaki 900 sayfa, 900 × 3 = 2 700 rakam

50 sayfalık bir kitap için hesap şöyle yapılır: ilk 9 sayfa 9 rakam kullanır. 10'dan 50'ye kadar 50 − 10 + 1 = 41 sayfa vardır ve her biri 2 rakam ister, bu da 82 rakamdır. Toplam 9 + 82 = 91 rakamdır. Kancadaki 120 sayfalık kitapta ilk 99 sayfa 9 + 180 = 189 rakam, 100'den 120'ye kadar 21 sayfa 63 rakam kullanır; toplam 252'dir.

Ters soru, kullanılan rakam sayısından sayfa sayısını ister. Burada 9 ve 189 eşiklerini hatırlamak yeterlidir. Toplam 189'dan büyükse kitap 99 sayfayı geçmiştir. Örneğin 282 rakam kullanılmışsa 282 − 189 = 93 rakam üç basamaklı sayfalara gitmiştir. 93 ÷ 3 = 31 sayfa demektir ve kitap 99 + 31 = 130 sayfadır. Bölüm tam çıkmıyorsa verilen rakam sayısıyla bir kitap numaralandırılamaz; bu durum çoğu zaman çeldiricilerin yanlış hesaptan geldiğini gösterir.

Eksik rakamlı toplama

Bazı sorular harflerle yazılmış sayıların toplamını verir ve harflerin değerini sorar. Bunları çözmenin iki yolu vardır. Birincisi çözümlemedir: a4 + 3b = 91 ise 10a + 4 + 30 + b = 91, yani 10a + b = 57 ve a = 5, b = 7 bulunur. İkincisi alt alta toplama düşüncesidir: birler basamağında 4 + b'nin son rakamı 1 olmalıdır; b bir rakam olduğundan 4 + b = 11 ve b = 7'dir. Buradan onlar basamağına 1 elde geçer. Onlar basamağında a + 3 + 1 = 9, yani a = 5'tir.

İki yol aynı sonucu verir. Çözümleme kısa toplamlarda hızlıdır. Alt alta toplama ise üç, dört basamaklı ve birden çok harfin bulunduğu sorularda daha güvenlidir, çünkü her basamakta tek bir bilinmeyenle uğraşırsın. Elde, bir basamaktaki toplamın 10 ya da daha fazla olduğunu gösterir ve her zaman bir sonraki basamağa 1 (iki sayının toplamında en fazla 1) olarak geçer.

Yanlış okunan rakam

Bir problemde bir rakam yanlış okunur ya da yanlış yazılırsa sonuç, o rakamın basamak değerindeki fark kadar değişir. Bir sayının yüzler basamağındaki 2 yanlışlıkla 6 okunursa sayı 400 büyük alınmış olur; bu sayıyla yapılan toplama da 400 fazla çıkar. Doğru sonucu bulmak için bu farkı geri almak yeterlidir. Hesabı baştan yapmaya gerek yoktur.

Soru kökleri

Bu dersin soruları koşullara uyan en büyük ya da en küçük sayıyı, bir aralıktaki ya da belli bir koşulu sağlayan sayıların adedini, sayfa numaralamada kullanılan rakamları, eksik bırakılmış bir toplamadaki harfleri ya da yanlış okunan bir rakamdan sonraki doğru sonucu sorar. Her soruda önce koşulları yaz, sonra basamakları soldan ya da sağdan sırayla doldur.

Örnek 1 — En büyük sayı

Soru: Rakamları farklı ve rakamları toplamı 12 olan üç basamaklı en büyük sayı kaçtır?

• A) 921
• B) 903
• C) 930
• D) 840
• E) 831

Çözüm: Yüzler basamağına 9 yazılır ve kalan toplam 3 olur. Onlar basamağına 3, birler basamağına 0 yazılır; rakamlar farklıdır. Cevap: C.

Örnek 2 — En küçük sayı

Soru: Rakamları toplamı 25 olan üç basamaklı en küçük sayı kaçtır?

• A) 889
• B) 799
• C) 979
• D) 997
• E) 898

Çözüm: Sağdaki iki basamak en fazla 18 taşır; yüzler basamağı en az 25 − 18 = 7'dir. Kalan 18, 9 ve 9 olarak dağılır. Cevap: B.

Örnek 3 — Sayfa sayısı

Soru: Bir kitabın sayfaları 1'den başlanarak numaralandırılmış ve bunun için 192 rakam kullanılmıştır. Kitap kaç sayfadır?

• A) 96
• B) 99
• C) 101
• D) 110
• E) 100

Çözüm: İlk 99 sayfa 189 rakam kullanır. Kalan 3 rakam tek bir üç basamaklı sayfaya yeter; kitap 100 sayfadır. Cevap: E.

Örnek 4 — Eksik rakam

Soru: a4 ve 3b iki basamaklı sayılardır ve a4 + 3b = 91'dir. a + b kaçtır?

• A) 12
• B) 14
• C) 11
• D) 9
• E) 10

Çözüm: Birler basamağında 4 + b = 11, yani b = 7 ve elde 1'dir. Onlar basamağında a + 3 + 1 = 9, yani a = 5'tir. a + b = 12'dir. Cevap: A.

• En küçük sayıda en soldaki rakamı 0 almak. Üç basamaklı sayının yüzler basamağı en az 1'dir.
• Sayarken +1'i unutmak. İki uç dahilse adet son − ilk + 1'dir.
• Sayfa probleminde her sayfayı bir rakam saymak. İki ve üç basamaklı sayfalar ayrı hesaplanır.
• Eldeyi unutmak. Birler toplamı 10'u geçerse onlar basamağına 1 eklenir.
• "Farklı rakamlar" koşulunu en büyük sayıda atlamak. 99x biçimi farklı rakam koşulunu bozar.