Sayı basamakları ve çözümleme

İki basamaklı bir sayı düşün, rakamlarının yerini değiştir ve iki sayıyı topla. 23 ve 32 için toplam 55, 47 ve 74 için 121, 58 ve 85 için 143'tür. Hepsi 11'in katıdır. Bu bir tesadüf değil; iki basamaklı her sayıda aynı şey olur. Nedenini görmek için sayıyı rakamlarına ayırıp her rakamın gerçekte kaç değerinde olduğunu yazmak gerekir. Bu yazıma çözümleme denir ve TYT'nin basamak sorularının hemen hepsi bu tek fikre dayanır. Temel kavramlar modülünde rakam ile sayı arasındaki farkı gördük. Bu derste bir rakamın, bulunduğu yere göre nasıl farklı değerler aldığını, sayıları harflerle nasıl çözümleyeceğimizi ve yer değiştirme kalıplarının neden hep 9'un ya da 11'in katlarını verdiğini inceliyoruz.

• Bir rakamın sayı değeri ile basamak değeri arasındaki farkı açıklarsın.
• İki, üç ve dört basamaklı sayıları harflerle çözümlersin.
• ab + ba, ab − ba ve abc − cba kalıplarını çözümlemeden türetip kullanırsın.
• Rakamlarla kurulan eşitliklerden olası sayıları bulursun.

Basamak ve basamak değeri

Onluk sistemde bir sayının her rakamı bir basamakta durur: sağdan sola birler, onlar, yüzler, binler basamağı. Bir rakamın sayı değeri rakamın kendisidir; basamak değeri ise rakamın bulunduğu basamakla çarpılmış değeridir. 9 364 sayısında 3'ün sayı değeri 3, basamak değeri 300'dür; 6'nın sayı değeri 6, basamak değeri 60'tır.

Bir sayı, basamak değerlerinin toplamıdır: 9 364 = 9 000 + 300 + 60 + 4. Bu yazım, çözümlemenin sayılarla yapılmış hâlidir. Aynı rakam farklı basamaklarda farklı değerler taşır: 777 sayısındaki üç 7'nin basamak değerleri 700, 70 ve 7'dir.

Harflerle çözümleme

Sorularda sayılar çoğu zaman rakamları harflerle yazılarak verilir. "ab iki basamaklı bir sayı" dendiğinde a onlar basamağındaki, b birler basamağındaki rakamdır. Bu sayı a × b çarpımı değildir; değeri şudur:

• ab = 10a + b
• abc = 100a + 10b + c
• abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Harflerin rakam olduğunu unutma: her biri 0 ile 9 arasında bir tam sayıdır. Ayrıca en soldaki rakam 0 olamaz; ab iki basamaklıysa a ≥ 1'dir. Bu koşullar, çözümün hangi değerleri alabileceğini sınırlar ve soruların büyük bölümü bu sınırla çözülür.

Harfle yazılmış bir sayıya bir sayı eklendiğinde de çözümleme işe yarar: 5b sayısı 50 + b'dir, a3 sayısı 10a + 3'tür, 2a7 sayısı 200 + 10a + 7'dir.

Yer değiştirme kalıpları

Çözümleme, kanca sorusunun cevabını hemen verir.

ab + ba = 11(a + b). ab = 10a + b ve ba = 10b + a olduğu için toplam 11a + 11b'dir. İki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yeri değişmiş hâlinin toplamı her zaman 11'in katıdır ve bu kat, rakamlar toplamıdır. ab + ba = 110 ise a + b = 10'dur.

ab − ba = 9(a − b). Fark 10a + b − 10b − a = 9a − 9b'dir. Yer değiştirmiş iki sayının farkı her zaman 9'un katıdır ve bu kat, rakamlar farkıdır.

abc − cba = 99(a − c). Üç basamaklı bir sayıda birler ile yüzler basamağı yer değiştirirse, onlar basamağı değişmez ve fark 100a + c − 100c − a = 99(a − c) olur. Ortadaki rakam sonucu hiç etkilemez. 725 − 527 = 198 = 99 × 2 örneğinde ortadaki 2 hesaba hiç girmemiştir.

aa = 11a ve aaa = 111a. Aynı rakamdan oluşan sayılar bu biçimde yazılır. 111 = 3 × 37 olduğu için aaa biçimindeki her sayı 37'ye ve 3'e bölünür: 555 = 111 × 5.

abc + bca + cab = 111(a + b + c). Üç rakamın dönerek yer değiştirmesiyle elde edilen üç sayının toplamında her rakam bir kez yüzler, bir kez onlar, bir kez birler basamağına gelir.

Bu kalıpları ezberlemek yerine çözümlemeden türetmeyi alışkanlık hâline getir. Kalıbı unutsan bile çözümleme onu birkaç saniyede yeniden kurar ve alışılmadık bir kurguyla karşılaştığında da aynı yol işler.

Rakam eklenince ya da değişince

Çözümleme, bir sayıya rakam eklendiğinde ya da bir rakamı değiştirildiğinde sayının nasıl değiştiğini de gösterir. İki basamaklı ab sayısının sağına 3 yazılırsa üç basamaklı ab3 sayısı oluşur. Bu yeni sayıda a ve b birer basamak sola kaymıştır; bu yüzden ab3 = 10 × ab + 3'tür. 47'nin sağına 3 yazıldığında 473 elde edilir ve gerçekten 10 × 47 + 3 = 473'tür. Aynı sayının soluna 2 yazılırsa 2ab sayısı oluşur; bu kez a ve b yerinde kalır ve sayıya yalnızca 200 eklenir: 2ab = 200 + ab.

Bir rakam değiştiğinde değişim, o rakamın basamak değeri kadardır. Onlar basamağındaki rakam 3 artarsa sayı 30 artar; yüzler basamağındaki rakam 2 azalırsa sayı 200 azalır. Bir soruda "rakamları değiştirilen sayı ne kadar arttı?" diye sorulduğunda her değişikliği kendi basamak değeriyle çarpıp toplamak yeterlidir. Bu düşünce, bir sonraki dersteki basamak problemlerinin temel aracıdır.

Rakamlarla kurulan eşitlikler

Bazı sorular sayıyla rakamları arasında bir ilişki verir: "ab sayısı, rakamları toplamının 4 katıdır." Çözümleme bu cümleyi denkleme çevirir: 10a + b = 4(a + b), buradan 6a = 3b, yani b = 2a. Rakam koşulu olası değerleri sınırlar: a en az 1, b en fazla 9 olduğundan a = 1, 2, 3, 4 ve sayılar 12, 24, 36, 48'dir.

Bu tür sorularda üç adım izle: çözümle, sadeleştirip rakamlar arasındaki ilişkiyi bul, sonra rakam koşullarını (0–9, en soldaki rakam sıfırdan farklı, gerekiyorsa farklı rakamlar) uygulayarak olası değerleri listele.

Rakamların koşulu

Soruların önemli bir bölümü koşulların dikkatli okunmasını ister. "ba de iki basamaklı bir sayıdır" dendiğinde b de 0 olamaz. "a ile b farklı rakamlardır" dendiğinde a = b durumu elenir. "a, b ve c sıfırdan farklı rakamlardır" dendiğinde bütün harfler 1 ile 9 arasındadır. Bu koşulları çözümün sonunda değil, başında yazmak, olası değerleri sayarken hata yapmanı önler.

Soru kökleri

Bu dersin soruları bir rakamın basamak değerini bulmayı, bir sayıyı harflerle çözümlemeyi, yer değiştirme kalıplarını kullanmayı ya da rakamlarla kurulan bir eşitlikten olası sayıları belirlemeyi ister. Her soruda önce sayıyı çözümle, sonra rakam koşullarını uygula.

Örnek 1 — Basamak değeri

Soru: 9 364 sayısında 3'ün basamak değeri kaçtır?

• A) 3
• B) 30
• C) 300
• D) 3 000
• E) 364

Çözüm: 3 yüzler basamağındadır; basamak değeri 3 × 100 = 300'dür. Cevap: C.

Örnek 2 — ab + ba

Soru: ab ve ba iki basamaklı sayılardır ve ab + ba = 110'dur. a + b kaçtır?

• A) 11
• B) 9
• C) 8
• D) 12
• E) 10

Çözüm: ab + ba = 11(a + b) = 110 ise a + b = 10'dur. Cevap: E.

Örnek 3 — ab − ba

Soru: a ve b sıfırdan farklı rakamlardır ve ab − ba = 36'dır. ab'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

• A) 84
• B) 73
• C) 95
• D) 62
• E) 51

Çözüm: 9(a − b) = 36 ise a − b = 4'tür. a en fazla 9 olabileceğinden b = 5 ve ab = 95'tir. Cevap: C.

Örnek 4 — Aynı rakamlı sayılar

Soru: 555 sayısı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünür?

• A) 37
• B) 11
• C) 7
• D) 13
• E) 9

Çözüm: 555 = 111 × 5 = 3 × 37 × 5'tir; 37'ye kalansız bölünür. Cevap: A.

• ab'yi a × b sanmak. ab = 10a + b'dir.
• Basamak değeri ile sayı değerini karıştırmak. 9 364'te 3'ün basamak değeri 300'dür.
• En soldaki rakamın 0 olabileceğini düşünmek. İki basamaklı ab'de a ≥ 1'dir.
• Rakamların 9'u aşabileceğini unutmak. Her harf 0 ile 9 arasındadır.
• Yer değiştirme farkında ortadaki rakamı hesaba katmak. abc − cba'da b etkisizdir.
• Koşulları sonda uygulamak. "Sıfırdan farklı", "farklı rakamlar" gibi koşulları başta yaz.