Yansıma

Ayten kamp alanının krokisini kareli kâğıda çizmiş: dere x ekseni boyunca akıyor, çadır (0, 3) noktasında, minibüs (8, 5) noktasında. Çadırdan çıkıp kovayı dereden dolduracak, sonra minibüse götürecek. İlk aklına gelen, çadırın tam altındaki (0, 0) noktasına inmek; bu yol yaklaşık 12,43 birim tutuyor. Sonra çadırla minibüsün tam ortası diye (4, 0) noktasını deniyor ve 11,40 buluyor. Daha kısası var mı, varsa dere kıyısında hangi noktadan geçiyor? İşi çözen hamle, minibüsü derenin öbür yakasına, (8, −5) noktasına taşımak: çadırla bu hayalî nokta arasındaki düz çizgi dereyi (3, 0) noktasında keser ve yol 8√2 ≈ 11,31 birime iner. Bu derste o taşımayı, yani yansımayı, eksenler, y = x ve y = −x doğruları, yatay ve dikey doğrular ve noktalar için kuracağız.

• Bir noktanın eksenlere, y = x ve y = −x doğrularına, x = a ve y = b doğrularına ve bir noktaya göre yansımasını koordinat kuralıyla yazarsın.
• Yansımanın uzunluk, açı ve alanı koruduğunu, doğruya göre yansımanın köşe dolaşım yönünü tersine çevirdiğini sorularda kullanırsın.
• Yansıyan doğru ve çember denklemlerini kurar, iki ardışık yansımayı tek dönüşüm olarak tanırsın.
• Bir doğruya uğrayarak iki noktayı birleştiren en kısa yolu yansımayla hesaplarsın.

Ayna doğrusu ne yapar?

Bir kâğıdı katlayıp mürekkep lekesini karşı yarıya bastığınızı düşünün. Leke ile izi, kat çizgisine aynı uzaklıktadır ve onları birleştiren parça kat çizgisini dik keser. Yansımanın tanımı budur: d doğrusuna göre yansımada P noktasının görüntüsü P', PP' doğru parçasının orta dikmesi d olacak biçimde seçilen noktadır. d'ye simetri ekseni ya da ayna doğrusu denir. Ayna doğrusunun üstündeki noktalar hiç kıpırdamaz; başka her nokta karşı yakaya geçer. Aynı aynada bir kez daha yansıtılan nokta eski yerine döner. Bu yüzden yansıma kendi kendisinin tersidir.

Analitik geometrinin Doğrular arası ilişkiler dersinde bir noktanın herhangi bir doğruya göre simetriğini dik izdüşüm yoluyla bulmuştuk: H izdüşümse görüntü 2H − P idi. Ayna eksenlerden biri ya da açıortaylardan biri olduğunda bu uzun hesap tek satırlık bir kurala iner. AYT'nin istediği de çoğunlukla bu kısa kurallardır.

Eksenlere göre yansıma

x ekseni ayna olduğunda nokta yatayda yerinde durur, yalnız eksenin öbür tarafına aynı uzaklıkta geçer. Apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir:

x eksenine göre: (x, y) → (x, −y).

(3, 4) noktası (3, −4) olur; (−2, −6) noktası (−2, 6) olur. y ekseni ayna olduğunda roller değişir; bu kez ordinat sabittir:

y eksenine göre: (x, y) → (−x, y).

(3, 4) noktasının bu yansımadaki görüntüsü (−3, 4)'tür. Hangi koordinatın değiştiğini ezberlemek yerine aynaya dik yönü düşünmek yeter: x eksenine dik yön düşey yöndür, dolayısıyla değişen koordinat y'dir.

Orijine göre yansıma

Bir noktayı önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtırsak iki işaret de değişir: (x, y) → (−x, −y). Bu tek adımda, orijine göre yansımadır; orijin, P ile P'yi birleştiren parçanın orta noktasıdır. Eksenlerin hangisiyle başlandığı sonucu değiştirmez. Orijine göre yansıma bir doğruya göre değil bir noktaya göredir; aynı görüntü orijin çevresinde yarım tur, yani 180° dönmeyle de elde edilir. Bir sonraki derste dönme ayrıca ele alınacak; burada bilmemiz gereken, bu dönüşümün iki doğru yansımasının art arda yapılmış hâli olduğudur.

y = x ve y = −x doğrularına göre yansıma

y = x doğrusu birinci ve üçüncü bölgelerin açıortayıdır. (5, 2) noktasıyla (2, 5) noktasını birleştiren parçanın orta noktası (3,5; 3,5) bu doğrunun üstündedir, parçanın eğimi de (5 − 2)/(2 − 5) = −1'dir; eğimi 1 olan doğruya diktir. Demek ki (2, 5), (5, 2)'nin y = x'e göre yansımasıdır. Genel kural koordinatların yer değiştirmesidir:

y = x doğrusuna göre: (x, y) → (y, x).

Fonksiyonlar ünitesindeki Ters fonksiyon dersinde f'nin grafiğindeki (a, b) noktasının f⁻¹'in grafiğinde (b, a) olarak göründüğünü görmüştük; o simetri tam olarak bu yansımadır. y = −x doğrusu ikinci ve dördüncü bölgelerin açıortayıdır; ona göre yansımada koordinatlar hem yer değiştirir hem işaret değiştirir:

y = −x doğrusuna göre: (x, y) → (−y, −x).

(5, 2) noktası bu kez (−2, −5) olur. Denetim: orta nokta (1,5; −1,5) gerçekten y = −x üzerindedir.

x = a, y = b doğrularına ve bir noktaya göre yansıma

Ayna dikey x = a doğrusuysa ordinat değişmez; apsisler a'nın iki yanında eşit uzaklıkta durmalıdır. Orta nokta koşulu (x + x')/2 = a'dır ve x' = 2a − x bulunur:

x = a doğrusuna göre: (x, y) → (2a − x, y); y = b doğrusuna göre: (x, y) → (x, 2b − y).

x = 3 aynasında (7, 1) noktasının görüntüsü (−1, 1)'dir: 7 aynanın 4 birim sağındaydı, −1 de 4 birim solundadır. Aynı fikir bir M(a, b) noktasına uygulanınca iki koordinat birden değişir: (x, y) → (2a − x, 2b − y). Orta nokta ve bölen nokta dersindeki «noktaya göre simetri» bu kuralın kendisidir; M, parçanın orta noktasıdır. M(2, −1) noktasına göre (5, 3) noktasının görüntüsü (−1, −5)'tir. a = b = 0 alınınca orijine göre yansıma geri gelir.

Neler korunur, ne tersine döner?

Yansıma da öteleme gibi izometridir: iki nokta arasındaki uzaklık görüntülerde aynıdır. Kenarlar korunduğu için açılar, alan ve çevre de korunur. Değişen şey şeklin duruşudur. K(−1, 2), L(4, 2), N(1, 6) üçgeninde K'dan L'ye sağa gidilir, N bu yolun solunda, yukarıda kalır: köşeler saat yönünün tersine dolaşılır. x eksenine göre yansıma K'(−1, −2), L'(4, −2), N'(1, −6) verir; K'dan L'ye yine sağa gidilir ama N' artık aşağıda, yolun sağındadır ve dolaşım saat yönüne döner. Bir doğruya göre yapılan her yansıma şekli ters yüz eder, tıpkı aynadaki yazının tersten okunması gibi.

Orijine ya da herhangi bir noktaya göre yansıma ise iki doğru yansımasının bileşkesidir. İki kez ters yüz edilen şekil eski duruşuna kavuşur; bu yüzden noktaya göre yansıma dolaşım yönünü korur. Sınavda «yansıma yönü değiştirir» yargısı ancak ayna bir doğruysa doğrudur.

Doğrunun ve çemberin yansıması

Ötelemede denklemi değiştirirken noktanın kuralını ters çevirmemiz gerekmişti. Yansıma kendi tersi olduğu için burada böyle bir tuzak yoktur: denklemde x ve y yerine noktanın kuralı aynen yazılır. x eksenine göre y yerine −y, y eksenine göre x yerine −x, y = x'e göre x ile y'nin yerleri değiştirilir.

y = 2x + 1 doğrusunu x eksenine göre yansıtırsak −y = 2x + 1, yani y = −2x − 1 olur. y = x'e göre yansıtırsak x = 2y + 1 yazılır ve y = (x − 1)/2 bulunur; bu da y = 2x + 1'in ters fonksiyonudur. Grafik dönüşümleri dersinde çizdiğimiz −f(x) ile f(−x) grafikleri bu kuralın fonksiyon grafiğine uygulanmış hâliydi. Bu derste aynı işlemi nokta ve şekil üzerinde yapıyoruz.

Çemberde merkezi yansıtmak yeter; yarıçap izometri gereği değişmez. Merkezi (7, −2) olan (x − 7)² + (y + 2)² = 13 çemberini y = x aynasında yansıtalım. Merkez (−2, 7) noktasına geçer, denklem (x + 2)² + (y − 7)² = 13 biçimini alır. Ayna x = 1 doğrusu olsaydı merkez (2 − 7, −2) = (−5, −2) noktasına giderdi.

Art arda iki yansıma

Paralel iki aynayı düşünelim: x = 1 ile x = 4 doğruları. Bir nokta önce x = 1'e göre yansıtılınca apsisi 2 − x, ardından x = 4'e göre yansıtılınca 8 − (2 − x) = x + 6 olur. Ordinat hiç değişmez. İki yansımanın bileşkesi T(6, 0) ötelemesidir. Kayma, aynalar arasındaki 3 birimlik uzaklığın iki katıdır ve birinci aynadan ikinciye doğru yönelir. Sıra değişirse sonuç da değişir: önce x = 4, sonra x = 1 alınırsa apsis x − 6 olur ve kayma ters yönlüdür. İki ters yüz işlemi şeklin duruşunu geri getirdiği için ötelemede yönün korunması da bu hesapla uyumludur.

Aynalar paralel değil de kesişiyorsa bileşke bir ötelemeye değil, kesişim noktası çevresinde bir dönmeye karşılık gelir. x ekseni ile y ekseninin bileşkesi, orijin çevresindeki 180° dönmedir; yukarıda gördüğümüz orijine göre yansıma da zaten buydu.

En kısa yol: aynanın öbür yanından düz çizgi

Kancadaki soruya dönelim. A ve B, d doğrusunun aynı yanında olsun ve d üzerindeki bir P noktası için |AP| + |PB| en küçük istensin. B'nin d'ye göre yansıması B' ise d üzerindeki her P için |PB| = |PB'|'dür, çünkü d, BB' parçasının orta dikmesidir. Toplam |AP| + |PB'| olur. A ile B' arasındaki en kısa yol düz çizgidir, dolayısıyla en küçük toplam |AB'|'dür ve P, AB' doğru parçasının d'yi kestiği noktadır.

Kancada B(8, 5), dereye yani x eksenine göre B'(8, −5) olur. A(0, 3) ile B' arasındaki uzaklık √(64 + 64) = 8√2'dir. AB' doğrusu y = 3 − x olduğundan dereyi (3, 0) noktasında keser. A ve B d'nin farklı yanlarındaysa yansımaya gerek yoktur; AB doğru parçası d'yi zaten keser ve en kısa yol |AB|'dir. Işığın aynadan gelme açısına eşit açıyla sekmesi de bu en kısa yol ilkesinin fizikteki karşılığıdır.

Yansımada her nokta bir aynanın karşısına geçiyor ve şekil ters yüz oluyordu; iki aynanın kesiştiği yerde ise bileşkenin bir dönme olduğunu gördük. Dönme dersinde ayna yerine bir merkez ve bir açı olacak: orijin çevresinde 90°, 180° ve 270° döndürülen noktanın koordinatları nasıl yazılır, 90°'lik dönme y = x yansımasından hangi işaretle ayrılır ve dönen şekil neden duruşunu korur, bunları kuracağız.

Örnek 1 — İki yansımayı sırayla uygulamak

Soru: A(−3, 5) noktası önce y = x doğrusuna göre yansıtılarak B, sonra B noktası x eksenine göre yansıtılarak C elde ediliyor. C noktası nedir?

• A) C = (−5, 3)
• B) C = (3, −5)
• C) C = (5, 3)
• D) C = (5, −3)
• E) C = (−3, −5)

Çözüm: y = x'e göre koordinatlar yer değiştirir: B = (5, −3). x eksenine göre ordinat işaret değiştirir: C = (5, 3). D seçeneği ikinci adımı unutmaktan, E seçeneği y = x adımını atlayıp yalnız x eksenine göre yansıtmaktır. Cevap: C.

Örnek 2 — Görüntüden kaynağa, noktaya göre

Soru: Bir A noktasının M(2, −3) noktasına göre simetriği A'(−1, 4) noktasıdır. A noktası hangisidir?

• A) A = (1/2, 1/2)
• B) A = (−4, 11)
• C) A = (3, −7)
• D) A = (5, −10)
• E) A = (1, 1)

Çözüm: M, AA' parçasının orta noktasıdır. A = 2M − A' = (4 + 1, −6 − 4) = (5, −10). Denetim: (5 + (−1))/2 = 2 ve (−10 + 4)/2 = −3. A seçeneği orta noktayı cevap sanmaktan, B seçeneği 2A' − M yazarak rolleri karıştırmaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 3 — Doğrunun y = −x'e göre görüntüsü

Soru: 2x − 3y + 6 = 0 doğrusunun y = −x doğrusuna göre yansıması hangisidir?

• A) 3x − 2y + 6 = 0
• B) 3x − 2y − 6 = 0
• C) 2x + 3y + 6 = 0
• D) 2x + 3y − 6 = 0
• E) 3x + 2y + 6 = 0

Çözüm: x yerine −y, y yerine −x yazılır: 2(−y) − 3(−x) + 6 = 0, yani 3x − 2y + 6 = 0. Denetim: kaynak doğrudaki (0, 2) noktası (−2, 0) olur ve 3 · (−2) − 0 + 6 = 0 sağlanır. B seçeneği y = x'e göre yansıtmaktan, C seçeneği x eksenine göre yansıtmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Eksene uğrayan en kısa yol

Soru: A(1, 4) ve B(7, 2) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki bir P noktası için |AP| + |PB| toplamının en küçük değeri ve bu değeri veren P noktası nedir?

• A) en küçük 2√10, P(4, 0)
• B) en küçük 6√2, P(4, 0)
• C) en küçük 6√2, P(−5, 0)
• D) en küçük 10, P(5, 0)
• E) en küçük 6√2, P(5, 0)

Çözüm: İki nokta da x ekseninin üstündedir. B'nin yansıması B'(7, −2) alınır: |AB'| = √(36 + 36) = 6√2. AB' doğrusunun eğimi (−2 − 4)/6 = −1, denklemi y = 5 − x'tir ve x eksenini (5, 0)'da keser. A seçeneğindeki 2√10, A ile B arasındaki düz uzaklıktır ve eksene hiç uğramayan bir yolu ölçer; B seçeneğindeki orta nokta denemesi yaklaşık 8,61 verir. Cevap: E.

• x eksenine göre yansımada x'i değiştirmek. Aynaya dik olan koordinat değişir; x ekseni yatay olduğu için değişen ordinattır.
• İki açıortay kuralını karıştırmak. y = x'te yalnız yer değiştirme, y = −x'te yer değiştirme ve iki işaret değişimi birlikte yapılır.
• x = a doğrusuna göre görüntüyü a − x diye yazmak. Doğru kural 2a − x'tir; ayna, eski ve yeni apsisin ortalamasıdır.
• Noktaya göre yansımanın da dolaşım yönünü ters çevirdiğini sanmak. Noktaya göre yansıma iki doğru yansımasının bileşkesidir ve yönü korur; yönü ters çeviren yalnız doğruya göre yansımadır.
• En kısa yol sorusunda noktalar farklı yanlardayken yansıtmak. Aynı yandaysalar bir nokta yansıtılır; farklı yandaysalar AB doğru parçası zaten en kısa yoldur.
• Paralel iki yansımanın kaymasını aynalar arası uzaklık sanmak. Kayma bu uzaklığın iki katıdır ve sırayla yönü değişir.