Dönme

Funda kareli kâğıda A(4, 1) noktasını işaretliyor ve onu orijin etrafında saatin tersine 90° çevirmesi gerekiyor. Aklına ilk gelen, koordinatların yerini değiştirmek: (1, 4). Sonra pergelini orijine batırıp A'dan bir yay çiziyor. Yay A'dan başlayıp yukarı ve sola doğru kıvrılıyor, çeyrek tur sonra ikinci bölgede bitiyor. Oysa (1, 4) hâlâ birinci bölgede duruyor; Funda'nın bulduğu nokta dönmüş değil, y = x doğrusunun öbür yakasına aynalanmış. Yayın bittiği yer (−1, 4). Öyleyse çeyrek dönüşte yer değiştirmenin yanında bir de işaret değişiyor. Peki 30° ya da 135° gibi bir dönüşte koordinatlar nereye gider? Bu derste orijin etrafındaki dönmeyi önce özel açılarda, sonra her açı için kuruyoruz.

• Orijin etrafında 90°, 180°, 270° ve 360° dönmelerin koordinat kurallarını yazar, görüntüden geriye dönerek kaynağı da bulursun.
• Herhangi bir θ açısı için (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) kuralını birim çember ve toplam formülüyle gerekçelendirip uygularsın.
• Dönmenin uzunluğu, açıyı, alanı ve köşelerin dolaşım yönünü koruduğunu kullanarak dönmüş doğru parçası ve üçgen sorularını çözersin.
• Orijin çevresinde dönen bir doğrunun yeni denklemini, dönen bir çemberin yeni merkezini ve denklemini kurarsın.

Dönmeyi belirleyen üç şey

Bir dönmeyi tarif etmek için merkezi, açıyı ve yönü söylemek gerekir. Bu derste merkez hep orijindir. Yön için trigonometrideki yönlü açılarla aynı sözleşmeyi kullanıyoruz: saatin tersi pozitif, saat yönü negatif yön. Orijin etrafında θ kadar dönmeyi R(θ) ile göstereceğiz.

R(θ) bir P noktasını öyle bir P' noktasına götürür ki iki koşul birlikte sağlanır: |OP'| = |OP| ve POP' açısı θ'dır. Yani P, merkezi orijin olan ve kendisinden geçen çemberin üzerinde θ kadar yürür. Orijinin kendisi yerinde kalan tek noktadır (θ, 360°'nin katı olmadıkça). Öteleme ve yansımada olduğu gibi dönme de bir izometridir; şeklin kenarları, açıları ve alanı değişmez.

Çeyrek tur: 90°

Kancadaki A(4, 1) noktasını düşünelim. Orijinden A'ya giderken önce sağa 4, sonra yukarı 1 birim gidilir; bu iki adım bir dik üçgenin dik kenarlarıdır. Üçgeni bütünüyle 90° çevirince «sağa 4» adımı «yukarı 4» olur, «yukarı 1» adımı da «sola 1» olur. Varılan nokta (−1, 4)'tür. Aynı akıl yürütme her nokta için geçerlidir:

R(90°): (x, y) → (−y, x).

Kuralın iki parçası vardır: koordinatlar yer değiştirir ve yeni apsisin işareti ters çevrilir. Funda'nın unuttuğu ikinci parçaydı; yalnız yer değiştirmek y = x doğrusuna göre yansımadır. Bir denetim yolu, bölgeye bakmaktır: birinci bölgedeki nokta 90° dönünce ikinci bölgeye, ikinci bölgedeki üçüncüye geçer. Doğrular arası ilişkiler dersinde dik doğruların eğim çarpımının −1 olduğunu gerekçelendirirken bir adımı 90° döndürmüştük; orada kullandığımız şey tam bu kuraldır.

Yarım tur, üç çeyrek ve tam tur

180° dönme, 90° dönmeyi iki kez uygulamaktır: (x, y) önce (−y, x), sonra (−x, −y) olur. Bu, bir önceki derste gördüğümüz orijine göre yansımayla aynı sonuçtur; ikisi farklı adlarla anılan tek bir dönüşümdür. A(4, 1) için görüntü (−4, −1)'dir.

270° dönme üç çeyrek turdur ve saat yönünde 90° dönmeyle, yani R(−90°) ile aynı yere varır: (x, y) → (y, −x). A(4, 1) bu dönmede (1, −4) olur. 360° dönme her noktayı başladığı yere getirir; buna özdeşlik denir. Dört kural yan yana yazıldığında bir düzen görünür:

Her çeyrek tur, bir önceki satıra 90° kuralını bir kez daha uygular.

Her açı için kural

Özel açıların dışına çıkınca yer değiştirme hilesi işe yaramaz; 30° dönmede koordinatlar ne yer değiştirir ne de yalnız işaret değiştirir. Burada birim çember dersindeki tanım devreye girer. P noktasının orijine uzaklığı r, OP ışınının pozitif x ekseniyle yaptığı açı α olsun. Birim çemberde P(cos α, sin α) yazmıştık; yarıçap r olunca koordinatlar r katına çıkar:

x = r cos α, y = r sin α.

P'yi θ kadar döndürmek uzaklığı değiştirmez, yalnız açıya θ ekler. Görüntünün koordinatları bu yüzden r cos(α + θ) ve r sin(α + θ)'dır. Toplam-fark formülleri dersindeki açılımları kullanalım:

r cos(α + θ) = r cos α cos θ − r sin α sin θ = x cos θ − y sin θ,

r sin(α + θ) = r sin α cos θ + r cos α sin θ = x sin θ + y cos θ.

Sonuç, her açı için geçerli dönme kuralıdır:

R(θ): (x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ).

r ve α formülde kaybolur; hesap yalnız x, y ve θ ile yapılır. θ = 90° yazınca cos θ = 0, sin θ = 1 olur ve kural (−y, x)'e iner; çeyrek tur kuralı bu genel kuralın özel hâlidir. Bir örnek: (2, 0) noktası 60° dönünce (2 · 1/2, 2 · √3/2) = (1, √3) olur. (4, 2) noktası 30° dönünce x' = 4 · √3/2 − 2 · 1/2 = 2√3 − 1, y' = 4 · 1/2 + 2 · √3/2 = 2 + √3 çıkar. Kosinüslü terimler ilk koordinatın baş terimi ve ikinci koordinatın son terimidir; eksi işaret yalnız birinci satırdadır. Bu işareti ikinci satıra taşıyan öğrenci, noktayı saat yönünde döndürmüş olur.

Korunanlar ve yansımadan ayrılan yer

Dönme uzaklığı koruduğu için bir doğru parçası aynı uzunlukta bir parçaya, bir üçgen kendisine eş bir üçgene gider; iç açılar ve alan değişmez. Yansımadan ayrıldığı nokta dolaşım yönüdür. Önceki derste kesişen iki aynanın bileşkesinin bir dönme olduğunu görmüştük; şekil iki kez ters yüz edilince eski duruşuna kavuşur. Bir üçgenin köşeleri A → B → C sırasıyla saatin tersine dolaşılıyorsa dönmüş üçgende de A' → B' → C' saatin tersine dolaşılır; yansıma ise bu yönü tersine çevirir. Dönen şekil düzlemden kalkmaz, ters yüz olmaz.

Dönmeyle birlikte değişen şeyler konum bildirenlerdir: köşelerin koordinatları, ağırlık merkezi, bir doğrunun eğimi. Eğimin nasıl değiştiğini aşağıda doğrunun denkleminde göreceğiz.

Ardışık dönmeler ve geri dönüş

Aynı merkez etrafında önce α, sonra β kadar dönmek, tek seferde α + β kadar dönmektir; hangi dönmenin önce yapıldığı sonucu değiştirmez. Toplam 360°'yi aşarsa 360°'nin katları atılır: 200° ardından 250° toplam 450°'dir ve 90° dönmeyle aynıdır.

Görüntüsü verilen noktanın kaynağı ters yönde dönerek bulunur: R(θ)'nın geri alınışı R(−θ)'dır. 90° dönmede görüntüsü (3, −8) olan noktayı bulmak için (3, −8) noktasına −90° kuralı uygulanır ve (−8, −3) elde edilir. Denetim: (−8, −3) noktası 90° dönünce (3, −8) olur.

Doğrunun ve çemberin dönmesi

Bir doğrunun görüntüsünü bulmanın iki yolu vardır. İlki, doğru üzerinden iki nokta seçip onları döndürmek ve yeni iki noktadan geçen doğruyu yazmaktır. İkincisi ötelemede yaptığımız gibi denklemi dönüştürmektir: görüntü üzerindeki (x, y) noktasının kaynağı eski doğrunun üzerinde olmalıdır. 90° dönmede (x, y) noktasının kaynağı (y, −x)'tir; eski denklemdeki x'in yerine y, y'nin yerine −x konur.

y = 2x + 4 doğrusunda bu değişiklik −x = 2y + 4 verir, yani y = −x/2 − 2. Denetim: eski doğrunun (0, 4) noktası (−4, 0) olur ve −(−4)/2 − 2 = 0 sağlanır. Eğim 2'den −1/2'ye geçti. Genel olarak eğimi m olan (m ≠ 0) bir doğru 90° dönünce eğimi −1/m olan doğruya gider: görüntü, kaynağa diktir. 180° dönmede ise eğim aynı kalır ve doğru kendine paralel bir doğruya gider.

Çember merkezi ve yarıçapıyla belirlenir. Dönme yarıçapı korur, bu yüzden yalnız merkezi döndürmek yeter. (x − 6)² + (y + 4)² = 7 çemberinin merkezi (6, −4) noktasıdır; 90° dönmede bu merkez (4, 6) noktasına gelir, dönmüş çemberin denklemi de (x − 4)² + (y − 6)² = 7 olur. Merkezi orijin olan bir çember her dönmede kendi üzerine gider.

Müfredatın istediği dönmeler orijin merkezlidir. Merkez başka bir M noktası olduğunda üç adım yeter: M'yi orijine taşıyan öteleme, orijin etrafında dönme ve ötelemenin geri alınması; ilk ve son adım öteleme dersindeki T(a, b) kuralıdır.

Öteleme, yansıma ve dönme ile AYT matematiğinin konu dersleri burada tamamlanıyor. Bir sonraki ders yeni bir kavram açmıyor; limit, türev ve integral ünitelerinden 200 soruluk bir AYT kampı kuruyor. Fonksiyon, türev ve integral sınavda birlikte yaklaşık 12 soru tuttuğu için orada çalışılan beceri, bu üç ünitenin soruları karışık geldiğinde bir sorunun hangi yöntemi istediğini kökünden seçmek ve yanlışları kayıt altına alıp yeniden çözmek olacak.

Örnek 1 — Çeyrek turda görüntü

Soru: Orijin çevresinde saatin tersine 90° çevrilen A(−6, 1) noktası nereye gelir?

• A) A' = (1, 6)
• B) A' = (−1, −6)
• C) A' = (6, −1)
• D) A' = (1, −6)
• E) A' = (−6, −1)

Çözüm: Kural (x, y) → (−y, x) olduğundan A' = (−1, −6) bulunur. A ikinci bölgededir; 90° dönmeyle üçüncü bölgeye geçmesi beklenir ve (−1, −6) üçüncü bölgededir. A seçeneği saat yönünde dönmekten, C seçeneği 180° dönmekten, D seçeneği yalnız koordinatların yerini değiştirmekten gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Özel olmayan açı

Soru: P(2√3, 2) noktası orijin etrafında pozitif yönde 60° döndürülürse görüntüsü ne olur?

• A) P' = (−2, 2√3)
• B) P' = (2√3, −2)
• C) P' = (2, 2√3)
• D) P' = (0, 4)
• E) P' = (4, 0)

Çözüm: cos 60° = 1/2 ve sin 60° = √3/2 ile x' = 2√3 · 1/2 − 2 · √3/2 = 0, y' = 2√3 · √3/2 + 2 · 1/2 = 3 + 1 = 4 bulunur. Başka bir yoldan: |OP| = √(12 + 4) = 4 ve OP ışını x ekseniyle 30° yapar; 60° daha dönünce ışın 90°'ye, yani pozitif y eksenine gelir. B seçeneği formüldeki eksi işaretini ikinci satıra taşıyıp noktayı −60° döndürür, A seçeneği 90° dönmedir. Cevap: D.

Örnek 3 — Dönen doğru

Soru: d: 4x − 3y + 12 = 0 doğrusu orijin çevresinde pozitif yönde 90° çevrilerek d' doğrusu elde ediliyor. d' hangi denklemle yazılır?

• A) d': 3x + 4y + 12 = 0
• B) d': 3x + 4y − 12 = 0
• C) d': 4x + 3y + 12 = 0
• D) d': 3x − 4y + 12 = 0
• E) d': 4x − 3y − 12 = 0

Çözüm: d' üzerindeki (x, y) noktasının kaynağı (y, −x)'tir ve bu kaynak d'yi sağlamalıdır: 4y − 3(−x) + 12 = 0, düzenlenince 3x + 4y + 12 = 0. Denetim: d'nin (0, 4) noktası (−4, 0) olur ve 3 · (−4) + 0 + 12 = 0; d'nin (−3, 0) noktası (0, −3) olur ve 0 − 12 + 12 = 0. B seçeneği noktanın kuralını, x'in yerine −y ve y'nin yerine x koyarak doğrudan denkleme uygular; bu, doğruyu −90° çevirmek demektir. E seçeneği 180° dönmenin sonucudur. Cevap: A.

Örnek 4 — İki dönmeden geriye

Soru: Bir nokta orijin etrafında önce 150°, ardından 300° döndürülüyor ve (2, −6) noktasına varıyor. Başlangıç noktası hangisidir?

• A) (6, 2)
• B) (−2, 6)
• C) (−6, −2)
• D) (6, −2)
• E) (2, 6)

Çözüm: İki dönme birleşince 150° + 300° = 450° olur; 360° atılınca bu 90° dönmedir. Kaynak, (2, −6) noktasına −90° kuralı (x, y) → (y, −x) uygulanarak bulunur: (−6, −2). Denetim: (−6, −2) noktası 90° dönünce (2, −6) olur. A seçeneği görüntüyü geri değil, bir kez daha ileri döndürmekten, B seçeneği toplam açıyı 180° sanmaktan gelir. Cevap: C.

• Çeyrek turu yalnız yer değiştirme sanmak. (x, y) → (y, x) dönme değil, y = x doğrusuna göre yansımadır; 90° dönmede yeni apsisin işareti de değişir. Görüntünün bölgesine bakmak hatayı hemen gösterir.
• Genel formülde eksiyi yanlış satıra koymak. Eksi işaret x cos θ − y sin θ satırındadır. İkinci satıra taşınırsa nokta saat yönünde döner ve seçeneklerde bu hata hazır bekler.
• Kaynak sorulurken ileri dönmek. Görüntüden kaynağa R(−θ) ile gidilir; R(θ)'yı ikinci kez uygulamak toplam 2θ döndürmektir.
• Doğru denklemine noktanın kuralını yazmak. 90° dönmede noktanın kuralı (−y, x) iken denklemde x'in yerini y, y'nin yerini −x alır; ters yön ötelemedeki gibidir. Bir noktayla denetlemek iki saniye sürer.
• 180° dönme ile orijine göre yansımayı ayrı dönüşümler sanmak. İkisi aynı (−x, −y) kuralıdır; 90° dönme ise hiçbir eksene göre yansımaya eşit değildir.