Öteleme

Ömer'in ödevinde iki adım var. İlkinde kareli kâğıttaki bir üçgenin her köşesini 3 birim sağa, 2 birim aşağı taşıyor; yeni üçgen eskisinin tıpatıp kopyası, sadece yeri farklı. İkinci adımda aynı kaydırmayı y = 2x + 1 doğrusuna uygulaması isteniyor. Ömer «sağa 3» için x'in yanına + 3, «aşağı 2» için sona − 2 yazıyor ve y = 2x + 5 buluyor. Sonra kontrol ediyor: doğrunun üstündeki (0, 1) noktası kaydırılınca (3, −1) olmalı. Oysa onun denkleminde x = 3 konunca y = 11 çıkıyor. Noktaları doğru taşıyan biri, denklemi neden ters yöne taşıdı? Bu derste düzlemdeki her noktayı aynı miktarda kaydıran dönüşümü, ötelemeyi, önce noktalar üzerinde kuracağız, sonra denklemlere taşıyacağız.

• T(a, b) ötelemesinde bir noktanın görüntüsünü ve görüntüsü verilen noktanın kaynağını bulursun.
• Ötelenen doğru parçasının, üçgenin ve çokgenin uzunluk, açı ve alan gibi korunan ölçülerini görüntüden ya da kaynaktan hesaplarsın.
• Art arda yapılan ötelemeleri tek ötelemeye indirir, bir ötelemeyi geri alan ötelemeyi yazarsın.
• Bir doğrunun ve bir çemberin ötelenmiş denklemini x yerine x − a, y yerine y − b koyarak kurarsın.

Dönüşüm nedir?

Düzlemin her noktasını yine düzlemde bir noktaya götüren kurala dönüşüm denir. Kurala giren noktaya kaynak, kuraldan çıkan noktaya görüntü diyeceğiz; A noktasının görüntüsünü A' ile göstereceğiz. Fonksiyonlarda bir sayıyı bir sayıya götüren kuralla çalışmıştık; dönüşüm aynı fikrin bir sıralı ikiliyi bir sıralı ikiliye götüren biçimidir. Bir şeklin görüntüsü, şeklin bütün noktalarının görüntülerinden oluşur.

Bazı dönüşümler şekli büyütür, basık hâle getirir ya da çarpıtır. Bu modülde inceleyeceğimiz üç dönüşüm, öteleme, yansıma ve dönme, şekli bozmaz: herhangi iki noktanın arasındaki uzaklık, görüntüleri arasındaki uzaklığa eşit kalır. Uzaklığı koruyan dönüşüme izometri denir. İzometri altında bir üçgenin kenarları değişmediği için üçgen kendine eş bir üçgene gider; açıları, alanı ve çevresi de aynı kalır.

Öteleme kuralı

Öteleme, düzlemin bütün noktalarını aynı yönde ve aynı miktarda kaydırır. Her noktayı yatayda a, düşeyde b birim taşıyan ötelemeyi T(a, b) ile gösteririz:

T(a, b): (x, y) → (x + a, y + b).

a pozitifse sağa, negatifse sola; b pozitifse yukarı, negatifse aşağı gidilir. Kancadaki kaydırma T(3, −2)'dir. Bu ötelemede (2, 5) noktası (5, 3) olur, (−4, 1) noktası (−1, −1) olur. Kuralın en önemli özelliği, kayma miktarının noktaya bağlı olmamasıdır: hangi noktadan başlanırsa başlansın aynı (a, b) eklenir.

Görüntü verilip kaynak sorulduğunda kural geriye işletilir. T(3, −2) altında görüntüsü (7, 0) olan noktanın koordinatları (7 − 3, 0 + 2) = (4, 2)'dir. Bir ötelemeyi geri almak için ters yönlü öteleme kullanılır: T(a, b)'nin tersi T(−a, −b)'dir.

Öteleme vektörü

Bir ötelemeyi tanımlamak için yalnız bir noktanın nereye gittiğini bilmek yeter. A(−1, 4) noktası A'(3, 1) noktasına gidiyorsa yatay kayma 3 − (−1) = 4, düşey kayma 1 − 4 = −3'tür; öteleme T(4, −3)'tür ve B(2, −2) noktası B'(6, −5) noktasına gider. A'dan A''ne çizilen ok bu ötelemenin öteleme vektörüdür; (4, −3) biçiminde yazılır. Vektörün yönü kaymanın yönünü, uzunluğu da her noktanın ne kadar yol aldığını gösterir. Uzunluk, iki nokta arası uzaklık formülünden gelir: √(a² + b²). T(4, −3) altında her nokta √(16 + 9) = 5 birim yer değiştirir. Vektörlerin işlemlerine bu derste girmiyoruz; bize gereken, okun bir yön ve bir uzunluk taşıdığını bilmek.

Doğru parçası, üçgen ve korunan ölçüler

Bir doğru parçasını ötelemek için uçlarını ötelemek yeter. A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları aynı (a, b) kadar kaydığında koordinat farkları değişmez: x₂ − x₁ ile y₂ − y₁ olduğu gibi kalır. Uzunluk bu farklardan hesaplandığı için |A'B'| = |AB| olur; eğim de aynı farkların oranı olduğundan A'B' doğru parçası AB'ye paraleldir ya da onunla aynı doğru üzerindedir. Öteleme her doğru parçasını kendine paralel ve aynı yönlü bir doğru parçasına götürür.

Bir üçgen köşeleri ötelenerek taşınır. A(1, 2), B(5, 2), C(2, 6) üçgenine T(3, −1) uygulanınca A'(4, 1), B'(8, 1), C'(5, 5) bulunur. İki üçgende de AB tabanı 4, C'nin tabana uzaklığı 4'tür ve alan 8'dir. Kenarlar korunduğu için açılar da korunur. Ötelemenin yansımadan ayrıldığı bir özellik daha vardır: köşeler A → B → C sırasıyla saat yönünün tersine dolaşılıyorsa A' → B' → C' sırası da saat yönünün tersinedir. Öteleme şekli kaydırır ama ters yüz etmez; şeklin duruşu, yani yönü korunur.

Değişen tek şey konumdur: köşelerin koordinatları, ağırlık merkezi, çevrel çemberin merkezi gibi yer bildiren her nokta (a, b) kadar kayar. Sıfırdan farklı bir öteleme hiçbir noktayı yerinde bırakmaz; ama öteleme vektörüne paralel bir doğru, noktaları kaysa da bütün olarak kendi üzerine gider.

Art arda ötelemeler

Önce T(2, −5), sonra T(−7, 3) uygulanırsa bir nokta yatayda 2 − 7 = −5, düşeyde −5 + 3 = −2 birim kayar. Art arda iki öteleme tek bir ötelemedir ve kaymalar toplanır: T(a₁, b₁) ardından T(a₂, b₂), T(a₁ + a₂, b₁ + b₂)'ye eşittir. Toplama sıra gözetmediği için ötelemelerin hangisinin önce yapıldığı sonucu değiştirmez. T(a, b) ardından T(−a, −b) uygulanırsa her nokta yerine döner; ters öteleme bu birleşmenin özel durumudur.

Denklemi ötelemek: x yerine x − a

Kancadaki çelişkinin kaynağı, noktayı dönüştürmekle denklemi dönüştürmenin ters yönlü işlemler olmasıdır. Görüntü doğrusu üzerindeki bir (x, y) noktası, kaynağı (x − a, y − b) eski doğrunun üzerindeyse görüntüye aittir. Bu yüzden görüntünün denklemi, eski denklemde x yerine x − a, y yerine y − b yazılarak bulunur.

y = 2x + 1 doğrusuna T(3, −2) uygulanırsa y yerine y + 2, x yerine x − 3 gelir: y + 2 = 2(x − 3) + 1, yani y = 2x − 7. Denetim: (0, 1) noktasının görüntüsü (3, −1)'dir ve 2 · 3 − 7 = −1 sağlanır. Eğim 2 olarak kalmıştır; öteleme doğruyu kendine paralel bir doğruya taşır.

Fonksiyon grafiklerinde y = f(x − h) + k kuralının grafiği h birim sağa, k birim yukarı taşıdığını görmüştük. Aynı sonuç burada dönüşüm diliyle okunur: y = f(x) grafiğini T(h, k) ile ötelemek, grafiğin her (x, y) noktasını (x + h, y + k) noktasına taşımaktır; y yerine y − k, x yerine x − h yazınca y − k = f(x − h) gelir. Parantezin içindeki eksinin «sağa» anlamına gelmesi, denklemin noktadan ters yönde değiştirilmesinin sonucudur.

Çemberi ötelemek

Merkezi (p, q), yarıçapı r olan çemberin denklemi (x − p)² + (y − q)² = r² biçimindedir. Ötelemede merkez (p + a, q + b) noktasına kayar, yarıçap izometri gereği aynı kalır. Görüntünün denklemi bu yüzden (x − p − a)² + (y − q − b)² = r²'dir. (x − 6)² + (y + 1)² = 16 çemberine T(−4, 5) uygulanırsa merkez (2, 4) olur ve görüntü (x − 2)² + (y − 4)² = 16'dır. Çember açılmış hâlde verilmişse önce tam kareye tamamlayarak merkezi ve yarıçapı bulmak, sonra merkezi kaydırmak en kısa yoldur.

Ötelemede bir şeklin her parçası aynı ok boyunca kayıyordu, bu yüzden şeklin hiçbir parçası ötekine göre yer değiştirmedi. Bir sonraki derste noktalar bir doğrunun iki yakasına geçecek: x eksenine, y eksenine ve y = x doğrusuna göre yansımada her nokta aynaya eşit uzaklıkta karşı tarafa düşüyor ve köşelerin dolaşım yönü, ötelemenin koruduğu o yön, bu kez tersine dönüyor.

Örnek 1 — Görüntüden kaynağa

Soru: T(−4, 3) ötelemesi A noktasını A'(1, −2) noktasına götürüyor. A noktasının koordinatları nedir?

• A) A = (−3, 1)
• B) A = (5, −5)
• C) A = (−5, 5)
• D) A = (−3, −5)
• E) A = (5, 1)

Çözüm: A = (x, y) için x − 4 = 1 ve y + 3 = −2 yazılır; x = 5, y = −5 bulunur. Kısa yol: görüntüye ters ötelemeyi, T(4, −3)'ü uygulamak. A seçeneği ötelemeyi görüntüye bir kez daha uygulamaktan, yani yön karıştırmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Ötelenen üçgen

Soru: Köşeleri A(1, 2), B(5, 2) ve C(2, 6) olan üçgen T(3, −1) ile ötelenerek A'B'C' üçgeni elde ediliyor. C' noktası ve A'B'C' üçgeninin alanı nedir?

• A) C'(5, 5), alan 8
• B) C'(5, 5), alan 16
• C) C'(−1, 7), alan 8
• D) C'(5, 7), alan 8
• E) C'(6, 3), alan 12

Çözüm: C'(2 + 3, 6 − 1) = (5, 5). Öteleme alanı korur; ABC'de AB tabanı 5 − 1 = 4, C'nin bu tabana uzaklığı 6 − 2 = 4 olduğundan alan 4 · 4/2 = 8'dir. Aynı hesap A'(4, 1), B'(8, 1), C'(5, 5) ile de 8 verir. B seçeneği ikiye bölmeyi unutmaktan, C seçeneği kaymaları ters işaretle uygulamaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 3 — Doğrunun yeni denklemi

Soru: 3x − y + 4 = 0 doğrusu T(−2, 5) ile ötelendiğinde görüntü doğrusunun denklemi hangisidir?

• A) 3x − y − 7 = 0
• B) 3x − y + 3 = 0
• C) 3x − y − 5 = 0
• D) 3x − y + 15 = 0
• E) 3x + y + 15 = 0

Çözüm: x yerine x + 2, y yerine y − 5 yazılır: 3(x + 2) − (y − 5) + 4 = 0, yani 3x − y + 15 = 0. Denetim: kaynak doğrunun (0, 4) noktası (−2, 9) olur ve 3 · (−2) − 9 + 15 = 0. A seçeneği x yerine x − 2, y yerine y + 5 yazarak noktanın kuralını denkleme uygulamaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — Açık hâldeki çember

Soru: x² + y² − 8x + 2y − 8 = 0 çemberi T(−7, 4) ile öteleniyor. Görüntü çemberin denklemi hangisidir?

• A) x² + y² − 22x + 10y + 121 = 0
• B) x² + y² + 6x − 6y − 7 = 0
• C) x² + y² + 6x − 6y − 8 = 0
• D) x² + y² + 6x − 6y + 18 = 0
• E) x² + y² − 6x + 6y − 7 = 0

Çözüm: Tam kareye tamamlanınca merkezin (4, −1), yarıçapın 5 olduğu görülür, çünkü 16 + 1 + 8 = 25'tir. Yeni merkez (4 − 7, −1 + 4) = (−3, 3) olur, yarıçap değişmez: (x + 3)² + (y − 3)² = 25. Açılınca x² + y² + 6x − 6y + 18 − 25 = 0, yani x² + y² + 6x − 6y − 7 = 0. C seçeneği sabit terimi eski denklemden aynen taşıyan hatadır, D seçeneği yarıçapın karesini düşmeyi unutur, E seçeneği yeni merkezi (3, −3) almaktan gelir. Cevap: B.

• Denklemi noktanın yönünde değiştirmek. Nokta (x + a, y + b) olur, ama denklemde x yerine x − a, y yerine y − b yazılır; kancadaki y = 2x + 5 bu ters çevirmeden doğdu.
• Kaynak sorulurken ötelemeyi bir kez daha uygulamak. Görüntüden kaynağa T(−a, −b) ile dönülür.
• Ötelemeden sonra alanı ya da uzunluğu yeniden hesaplamaya çalışıp hata yapmak. Öteleme izometridir; kaynakta ölçülen uzunluk, açı ve alan görüntüde aynıdır.
• Çemberin açık denkleminde yalnız x ve y katsayılarını değiştirmek. Merkez değişince sabit terim de değişir; önce tam kare, sonra merkez kaydırılır.
• Ötelemenin doğrunun eğimini değiştirdiğini sanmak. Görüntü doğrusu her zaman kaynağa paraleldir ya da onunla çakışır.