Koni

Bir kâğıttan daire kesin, merkezden kenara bir yarık açın ve yarığın iki kenarını üst üste kaydırarak kâğıdı kıvırın. Elinizde bir külah oluşur. Kâğıdın bir kısmını keserek atar, kalan daire dilimini kıvırırsanız da bir külah elde edersiniz; dilim küçüldükçe külah daralır ve sivrilir. Külahın ağzındaki çemberin uzunluğu, dilimin yayının uzunluğudur; külahın kenarından tepesine olan uzaklık ise dilimin yarıçapıdır. Daire dilimi ve yay uzunluğu dersinde gördüğümüz iki büyüklük, böylece bir cismin iki ölçüsüne dönüşür. Bu cisim bir konidir. Önceki derslerde silindiri ve piramidi inceledik; koni bu ikisinin birleşimi gibidir: tabanı silindirdeki gibi bir daire, tepesi piramitteki gibi tek bir noktadır. Bu derste koninin ana doğrusunu ve açınımını, yüzey alanlarını, hacmini, dönel koniyi ve tabana paralel kesitleri işliyoruz.

• Yarıçap, yükseklik ve ana doğru arasındaki dik üçgeni kurarsın.
• Açınımdaki daire diliminin yarıçapını ve merkez açısını koninin ölçüleriyle ilişkilendirirsin.
• Yanal alanı πrℓ, tüm alanı πr(r + ℓ), hacmi πr²h/3 ile hesaplarsın.
• Dik üçgenin döndürülmesiyle oluşan konileri ve tabana paralel kesitleri yorumlarsın.

Koni ve ana doğru

Taban olarak bir daire seçelim ve dairenin düzleminde olmayan bir tepe noktası işaretleyelim. Tepeden dairenin her noktasına uzanan parçaların doldurduğu cisim konidir. Daire koninin tabanı, nokta tepesidir. Tepenin taban düzlemindeki dik izdüşümü dairenin merkezine düşüyorsa koni dik dairesel konidir; bu derste koni dendiğinde bunu kastediyoruz. Tepeyi taban çemberinin bir noktasına bağlayan doğru parçasına ana doğru denir ve ℓ ile gösterilir. Dik konide bütün ana doğrular eşittir.

Koninin yüksekliği h, tabanın yarıçapı r ve ana doğru ℓ bir dik üçgen oluşturur: yükseklik ile yarıçap dik kenarlar, ana doğru hipotenüstür. Bu yüzden

ℓ² = r² + h²

olur. Koni sorularının neredeyse hepsi bu üçgenden başlar; üç uzunluktan ikisi bilindiğinde üçüncüsü Pisagor bağıntısıyla bulunur. Tanıdık üçlüler burada da işi kısaltır: yarıçap 9 ve yükseklik 40 ise ana doğru 41'dir.

Açınım

Koninin yanal yüzeyi bir ana doğru boyunca kesilip düzleme serildiğinde bir daire dilimi olur. Kancadaki külahın tersidir bu. Dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu ℓ, dilimin yay uzunluğu ise taban çemberinin çevresi 2πr'dir. Dilimin merkez açısı α ise yay uzunluğu 2πℓ · α/360 olduğundan

α/360 = r/ℓ

bağıntısı elde edilir. Bu oran, dilimin tam dairenin hangi kesri olduğunu söyler. Ana doğru yarıçapın iki katıysa açınım yarım dairedir; beş katıysa merkez açı 72°'dir. Açınım verilip koni sorulduğunda bu eşitlik ters yönde kullanılır: dilimin yarıçapı ana doğru olur, yayından taban yarıçapı çıkar.

Alan

Yanal yüzeyin alanı, açınımdaki daire diliminin alanıdır. Dilim alanı dersinde dilimin alanını yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısı olarak bulmuştuk. Burada yay 2πr, yarıçap ℓ olduğundan

Yanal alan = (2πr · ℓ)/2 = πrℓ

olur. Koninin bütün yüzeyi, yanal yüzeye taban dairesi eklenerek bulunur:

Tüm alan = πrℓ + πr² = πr(r + ℓ)

Hacim

Koni, piramidin tabanı daire olan karşılığıdır ve hacmi de aynı üçte bir kuralına uyar:

V = πr²h/3

Aynı taban ve yükseklikteki silindirin hacmi πr²h olduğundan koni bu silindirin üçte biridir. Bir silindirin içinden aynı tabanlı ve aynı yükseklikli bir koni oyulursa geriye silindirin üçte ikisi kalır. Hacim hesaplanırken yüksekliğin kullanıldığına, ana doğrunun kullanılmadığına dikkat edilmelidir; soru ana doğruyu veriyorsa önce dik üçgenden yükseklik bulunur.

Eksen kesiti

Koni, eksenini içeren bir düzlemle kesildiğinde kesit bir ikizkenar üçgendir. Tabanı çap 2r, eşit kenarları ana doğru ℓ, yüksekliği h'dir. Eksen kesiti eşkenar üçgense ana doğru çapa eşittir: ℓ = 2r. Bu durumda açınımın merkez açısı 180° çıkar, yani yanal yüzey yarım daireye açılır. Örneğin eksen kesiti kenarı 6 olan eşkenar üçgense ana doğru 6, yarıçap 3 ve yükseklik 3√3'tür.

Dönel koni

Bir dik üçgen, dik kenarlarından biri etrafında 360° döndürüldüğünde bir koni oluşur. Dönme ekseni olan dik kenar yükseklik, öbür dik kenar yarıçap, hipotenüs ise ana doğrudur. Aynı üçgen öbür dik kenarı etrafında döndürülürse yarıçap ile yükseklik yer değiştirir ve başka bir koni çıkar. Üçgen hipotenüsü etrafında döndürülürse taban tabana yapışık iki koni oluşur; ortak taban yarıçapı, dik açıdan hipotenüse inen yüksekliktir ve iki koninin yükseklikleri toplamı hipotenüse eşittir. Bu yüzden toplam hacim, ortak taban alanı ile hipotenüsün çarpımının üçte biridir.

Koninin içindeki cisimler

Bir koninin içine, tabanı koninin tabanı üzerinde duran bir silindir yerleştirildiğinde silindirin üst çemberi koninin yan yüzeyine değer. Eksen kesitine bakıldığında bu durum, ikizkenar üçgenin içine oturan bir dikdörtgen olarak görünür. Dikdörtgenin üst kenarının üstünde kalan küçük üçgen, büyük üçgene benzerdir. Bu benzerlikten silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasında bir bağıntı kurulur: koninin yarıçapı R, yüksekliği H ise silindirin yarıçapı r ve yüksekliği h için r/R = (H − h)/H olur. Koni içine yerleştirilen küp ya da kare prizma sorularında da aynı eksen kesiti kurulur; yalnız prizmanın köşegen kesiti kullanılır. Bu soruların hepsinde üç boyutlu şekil, eksen kesiti sayesinde düzlemde benzer üçgenler sorusuna indirgenir.

Silindir, piramit ve koni

Üç cisim arasındaki ilişki hacim formüllerinde açıkça görülür. Silindir ve prizma tabanlarını yükseklik boyunca aynen korur; hacimleri taban ile yüksekliğin çarpımıdır. Piramit ve koni ise tabandan tepeye doğru düzgün biçimde daralır ve aynı taban ile yükseklikte bu çarpımın üçte birini kaplar. Yüzey alanlarında da benzer bir paralellik vardır: piramidin yan yüzlerinde yan yüz yüksekliği, koninin yan yüzeyinde ana doğru aynı rolü oynar.

Tabana paralel kesit

Koni tabanına paralel bir düzlemle ikiye ayrıldığında tepede küçük bir koni kalır ve büyüğüne benzerdir. Küçük koninin yüksekliği büyüğünkünün k katıysa kesitin yarıçapı k katına, alanı k² katına, küçük koninin hacmi k³ katına iner. Kesitin altında kalan cisme kesik koni denir; hacmi büyük ve küçük konilerin hacimleri farkıdır. Kova, saksı ve bardak gibi nesneler çoğunlukla kesik koni biçimindedir. Bunların hacmini bulmak için kesik koni, eksik kalan tepe parçasıyla tamamlanır ve iki koninin farkı alınır.

Örnek 1 — Yanal alan

Soru: Taban yarıçapı 7 ve yüksekliği 24 olan dik koninin yanal alanını bulunuz.

• A) 168π
• B) 49π
• C) 175π
• D) 224π
• E) 350π

Çözüm: Ana doğru √(49 + 576) = 25'tir; yanal alan π · 7 · 25 = 175π. Cevap: C.

Örnek 2 — Ana doğrudan hacim

Soru: Taban yarıçapı 8 ve ana doğrusu 10 olan koninin hacmi kaçtır?

• A) 128π
• B) 384π
• C) 640π/3
• D) 160π
• E) 64π

Çözüm: Yükseklik √(100 − 64) = 6'dır; hacim π · 64 · 6/3 = 128π. Cevap: A.

Örnek 3 — Açınımdan koniye

Soru: Bir koninin yanal yüzeyinin açınımı yarıçapı 15, merkez açısı 120° olan bir daire dilimidir. Koninin taban yarıçapı kaçtır?

• A) 10
• B) 7,5
• C) 3
• D) 15
• E) 5

Çözüm: r/ℓ = α/360 eşitliğinden r = 15 · 120/360 = 5. Cevap: E.

Örnek 4 — Dönel koni

Soru: Dik açıyı oluşturan kenarları 6 ile 8 olan bir üçgen, uzun dik kenarı eksen olacak biçimde tam tur döndürülüyor. Oluşan koninin hacmi kaçtır?

• A) 128π
• B) 96π
• C) 288π
• D) 48π
• E) 80π

Çözüm: Eksen olan kenar koninin boyu olur: h = 8, r = 6. Hacim π · 36 · 8/3 = 96π. Cevap: B.

• Hacimde ana doğruyu yükseklik yerine koymak. Hacim için dik yükseklik gerekir.
• Yanal alanda yükseklik kullanmak. Yanal alan πrℓ'dir; ana doğru kullanılır.
• Açınımda dilimin yarıçapını taban yarıçapı sanmak. Dilimin yarıçapı ana doğrudur.
• 1/3 çarpanını unutmak. Koni, aynı taban ve yükseklikteki silindirin üçte biridir.
• Küçük koninin hacmini kesit alanı oranıyla hesaplamak. Hacim k³ ile değişir.