Küre

Antik yazarların aktardığına göre Arşimet, mezar taşına bir silindirin içine tam oturan bir kürenin çizilmesini istemişti. Bu şekli bu kadar önemsemesinin nedeni, onunla ilgili bulduğu iki sonuçtur. Küre, kendisini saran silindirin hacminin tam üçte ikisini kaplar. Kürenin yüzeyi de silindirin yan yüzeyine eşittir. Bir topu, yüksekliği ve çapı topun çapına eşit bir kutuya koyduğunuzda kutunun boş kalan kısmı, topun kendisinin yarısı kadardır. Önceki derslerde düz yüzeyli cisimleri ve tek bir eğri yüzeyi olan silindir ile koniyi inceledik. Bu derste bütün yüzeyi eğri olan ve her yönden aynı görünen tek cisme, küreye geçiyoruz: yüzey alanını, hacmini, düzlemle kesitlerini, yarım küreyi, başka cisimlerin içine ve dışına yerleştirilen küreleri ve eritilip yeniden biçimlendirilen kürelerde hacmin korunmasını işliyoruz.

• Kürenin yüzey alanını 4πr², hacmini 4πr³/3 ile hesaplarsın.
• Küreyi kesen bir düzlemin oluşturduğu dairenin yarıçapını merkez uzaklığından bulursun.
• Küp, silindir ve koni ile birlikte verilen kürelerde ortak ölçüyü belirlersin.
• Yarım küre, ölçekleme ve eritme sorularında hacmin korunmasını kullanırsın.

Küre ve yarıçap

Merkez adı verilen bir noktadan aynı r uzaklığında bulunan bütün uzay noktaları küre yüzeyini oluşturur; bu yüzeyle birlikte içini de kapsayan cisim küredir ve r onun yarıçapıdır. Bir yarım daire, çapı üzerinde tam bir tur döndüğünde de küre ortaya çıkar. Kürenin her yönde aynı olması, ölçülerinin yalnızca yarıçapa bağlı olması demektir: bir kürenin yarıçapı biliniyorsa alanı, hacmi ve her kesiti bilinir. Bu yüzden küre sorularında ilk iş, verilen bilgiden yarıçapı bulmaktır.

Yüzey alanı ve hacim

Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı

A = 4πr²

olur. Bu, kürenin en büyük dairesinin, yani merkezden geçen bir düzlemle kesitinin alanının tam dört katıdır. Hacmi ise

V = 4πr³/3

ile verilir. Kancadaki Arşimet sonucu iki formülü birbirine bağlar. Küreyi saran silindirin yarıçapı r, yüksekliği 2r'dir; hacmi πr² · 2r = 2πr³ olur ve bunun üçte ikisi 4πr³/3, yani kürenin hacmidir. Aynı silindirin yan yüzeyi 2πr · 2r = 4πr² olup kürenin yüzey alanına eşittir.

Alan ile hacim arasında r = 3 için ilginç bir eşitlik vardır: 4π · 9 = 36π ve 4π · 27/3 = 36π. Bu sayısal rastlantı, birimleri farklı iki büyüklüğün eşit olduğu anlamına gelmez; yalnızca bu yarıçapta sayıların çakıştığını gösterir.

Alan ile hacim neden bağlı?

Kürenin yüzeyini çok küçük parçalara böldüğümüzü düşünelim. Her parçayı, tepesi kürenin merkezinde olan çok ince bir piramidin tabanı gibi görebiliriz; bu piramitlerin yüksekliği yarıçaptır. Bütün piramitler birlikte küreyi doldurur. Her birinin hacmi taban alanı ile r'nin çarpımının üçte biri olduğundan, hepsinin toplamı yüzey alanı ile r'nin çarpımının üçte biri eder. Böylece V = A · r/3 bağıntısı çıkar. Hacim 4πr³/3 olduğuna göre yüzey alanı 4πr² olmalıdır. Bu akıl yürütme kesin bir kanıt değildir, ama iki formülün birbirinden bağımsız ezberlenmesi gerekmediğini gösterir: biri bilinince öbürü bu bağıntıdan bulunur.

Yarım küre

Bir küre merkezinden geçen bir düzlemle ikiye ayrılırsa iki yarım küre oluşur. Yarım kürenin hacmi kürenin yarısı, yani 2πr³/3'tür. Yüzeyinde ise iki parça vardır: kürenin yarısı olan eğri yüzey 2πr² ve kesitteki düz daire πr². Bu yüzden yarım kürenin tüm alanı 3πr²'dir. Kâse, kubbe ve dondurma kepçesi gibi nesneler yarım küre biçimindedir; bir koninin tabanına yapıştırılmış yarım küre de dondurma külahı biçimini verir.

Düzlemle kesit

Bir küre herhangi bir düzlemle kesilirse kesit her zaman bir dairedir. Merkezden düzleme inen dikme kesit dairesinin merkezine düşer. Kesit dairesinin yarıçapı ρ, merkezin düzleme uzaklığı d ise kürenin yarıçapı, ρ ve d ile bir dik üçgen kurar:

r² = ρ² + d²

Düzlem merkezden geçtiğinde d = 0 olur ve kesit en büyük daireye dönüşür. Düzlem merkezden uzaklaştıkça kesit küçülür; d = r olduğunda düzlem küreye yalnız bir noktada değer, yani teğettir. Bu ilişki, çemberde kirişin merkeze uzaklığı ile yarı uzunluğu arasındaki bağıntının üç boyutlu karşılığıdır.

Büyük daireler

Merkezden geçen düzlemlerin küreden ayırdığı daireler en büyük kesitlerdir ve büyük daire adını alır; yarıçapları kürenin yarıçapına eşittir. Küre yüzeyi üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, bu iki noktadan ve merkezden geçen büyük dairenin daha kısa yayıdır. Uçakların haritada eğri gibi görünen rotalar izlemesinin nedeni budur: düz bir haritada kısa görünen çizgi, küre üzerinde aslında daha uzundur. Merkezden geçmeyen düzlemlerin oluşturduğu daireler ise küçük dairelerdir ve yarıçapları kesit formülüyle bulunur. Bir küre yüzeyinde iki büyük daire her zaman iki noktada kesişir; bu noktalar birbirinin tam karşısındadır ve aralarındaki doğru parça bir çaptır.

Başka cisimlerle birlikte

Küre başka bir cisimle birlikte verildiğinde iki cismin paylaştığı ölçü bulunur. Küpün içine sığan en büyük küre küpün altı yüzüne de değer; çapı ayrıta eşittir. Köşeleri bir küre üzerinde bulunan küpte ise küpün cisim köşegeni kürenin çapıdır: a√3 = 2r. Bir silindirin içine tam oturan kürede silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına, yüksekliği çapa eşittir. Dikdörtgenler prizmasının köşelerinden geçen kürenin çapı da prizmanın cisim köşegenidir. Bu ilişkiler bir kez kurulunca soru, bilinen formüllere iner.

Hacmin korunması

Bir kürenin malzemesi eritilip başka biçimlere dökülürse toplam hacim değişmez. Büyük bir küreden yarıçapı daha küçük eş küreler yapılıyorsa küre sayısı hacimler oranıdır ve 4π/3 çarpanı sadeleştiği için yarıçapların küplerinin oranına eşittir. Bir kaptan ötekine aktarılan sıvı ya da bir kaba batırılan küre için de aynı ilke geçerlidir: silindir biçimli bir kaba tamamen batan küre, suyu kendi hacmini kabın taban alanına bölünce bulunan miktar kadar yükseltir.

Ölçekleme

Bütün küreler birbirine benzerdir. Yarıçaplar oranı k ise yüzey alanları oranı k², hacimler oranı k³'tür. Tersine, yüzey alanları oranı verilirse önce karekök alınarak yarıçap oranı bulunur, sonra küpü alınarak hacim oranına geçilir. Yarıçapı üç katına çıkan bir balonun yüzeyi dokuz katına, içindeki hava yirmi yedi katına çıkar.

Örnek 1 — Hacim

Soru: Yarıçapı 4 olan kürenin hacmini bulunuz.

• A) 64π
• B) 256π
• C) 256π/3
• D) 64π/3
• E) 128π/3

Çözüm: V = 4π · 64/3 = 256π/3. Cevap: C.

Örnek 2 — Arşimet oranı

Soru: Yarıçapı 5 ve yüksekliği 10 olan silindirin içine tam oturan kürenin hacmi kaçtır?

• A) 500π/3
• B) 250π
• C) 100π
• D) 1000π/3
• E) 125π

Çözüm: Silindirin hacmi 250π'dir; küre bunun üçte ikisi olan 500π/3'ü kaplar. Cevap: A.

Örnek 3 — Kesit

Soru: Yarıçapı 17 olan bir küre, merkezinden 8 birim uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Düzlemin küreden ayırdığı dairenin alanını bulunuz.

• A) 289π
• B) 64π
• C) 81π
• D) 15π
• E) 225π

Çözüm: Kesitin yarıçapı √(289 − 64) = 15'tir; alanı 225π. Cevap: E.

Örnek 4 — Eritme

Soru: Yarıçapı 4 olan metal bir küre eritilerek yarıçapı 1 olan eş küreler yapılıyor. Kaç küre elde edilir?

• A) 16
• B) 64
• C) 4
• D) 32
• E) 12

Çözüm: Küre sayısı yarıçapların küplerinin oranıdır: 4³/1³ = 64. Cevap: B.

• Hacimde 4/3 yerine 1/3 kullanmak. Kürenin hacmi 4πr³/3'tür.
• Yarım kürenin tüm alanında düz daireyi unutmak. Tüm alan 2πr² + πr² = 3πr²'dir.
• Kesitte merkez uzaklığını yarıçaptan çıkarmak. Kesit yarıçapı √(r² − d²) ile bulunur.
• Küp içindeki ve dışındaki küreyi karıştırmak. İçteki kürenin çapı ayrıt, dıştakinin çapı cisim köşegenidir.
• Eritmede yarıçap oranını küre sayısı sanmak. Sayı, yarıçapların küplerinin oranıdır.