Piramit

Bir sınıfta öğretmen iki şeffaf kap getiriyor: biri kare tabanlı bir kutu, öteki aynı kare tabana ve aynı yüksekliğe sahip, tepesi sivri bir kap. Sivri kabı suyla doldurup kutuya boşaltıyor; kutu dolmuyor. İkinci kez dolduruyor, yine dolmuyor. Üçüncü boşaltmada su kutunun ağzına tam ulaşıyor. Deney kaç kez tekrarlanırsa tekrarlansın sonuç aynıdır: tabanı ve yüksekliği aynı olan bir piramit, prizmanın tam üçte biri kadar hacme sahiptir. Bu üçte bir, piramidin hacim formülündeki 1/3 çarpanının kaynağıdır. Önceki derslerde tabanları boyunca aynı kalan prizma ve silindiri inceledik. Bu derste tabandan tepeye doğru daralarak tek bir noktada biten piramide geçiyoruz: elemanlarını, yükseklik ile yan yüz yüksekliği arasındaki dik üçgenleri, alanını, hacmini ve tabana paralel kesitlerini işliyoruz.

• Piramidin tepe, taban, yan yüz, yan ayrıt elemanlarını tanır; n kenarlı tabanlı piramidin köşe, ayrıt ve yüz sayılarını yazarsın.
• Düzgün piramitte yükseklik, yan yüz yüksekliği ve yan ayrıt arasındaki dik üçgenleri kurarsın.
• Yanal alanı, tüm alanı ve hacmi hesaplarsın.
• Tabana paralel kesitlerde benzerlik oranını alana ve hacme uygularsın.

Piramit ve elemanları

Düzlemde bir çokgen ve bu düzlemin dışında bir nokta alalım. Noktayı çokgenin bütün noktalarına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme piramit denir. Çokgen piramidin tabanı, nokta tepesidir. Tepeyi taban köşelerine bağlayan parçalar yan ayrıtlar, tepe ile her taban kenarının oluşturduğu üçgenler yan yüzlerdir. Tepeden taban düzlemine inen dikmenin uzunluğu piramidin yüksekliğidir. Piramit de tabanına göre adlandırılır: üçgen piramit, kare piramit, altıgen piramit.

Tabanı n kenarlı olan piramitte tabanın n köşesine tepe eklenir; köşe sayısı n + 1'dir. Tabanda n, yanlarda n ayrıt bulunur; ayrıt sayısı 2n'dir. n yan yüz ile taban birlikte n + 1 yüz eder. Euler bağıntısı burada da sağlanır: (n + 1) + (n + 1) = 2n + 2.

Düzgün piramit ve üç dik üçgen

Tabanı düzgün çokgen olan ve tepesinin taban düzlemindeki dik izdüşümü tabanın merkezine düşen piramide düzgün piramit denir. Düzgün piramidin bütün yan ayrıtları birbirine, bütün yan yüzleri de birbirine eştir. Yan yüzlerin her biri ikizkenar üçgendir ve tepeden taban kenarına inen yüksekliğine yan yüz yüksekliği denir.

Düzgün kare piramitte hesapların çoğu üç dik üçgene dayanır. Birincisinde dik kenarlar yükseklik h ile tabanın merkezinden bir kenarın ortasına olan uzaklık, yani taban kenarının yarısıdır; hipotenüs yan yüz yüksekliğidir. İkincisinde dik kenarlar yine h ile merkezden bir köşeye olan uzaklık, yani taban köşegeninin yarısıdır; hipotenüs yan ayrıttır. Üçüncüsü yan yüzün içindedir: yan yüz yüksekliği ile taban kenarının yarısı dik kenarlar, yan ayrıt hipotenüstür. Bu üç üçgenden ikisi bilindiğinde üçüncü uzunluk Pisagor bağıntısıyla bulunur. Bir soruda hangi uzunluğun verildiğini ve hangi uzunluğun sorulduğunu belirleyip doğru üçgeni seçmek, piramit hesaplarının asıl işidir.

Alan

Yanal alan, eş yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Düzgün piramitte her yan yüzün alanı taban kenarı ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısıdır; n yüz toplanınca

Yan yüzlerin toplamı = (taban çevresi · yan yüz yüksekliği) / 2

bulunur. Bütün yüzeyi bulmak için bu toplama tabanın alanı katılır; prizmanın aksine piramidin yalnız bir tabanı vardır. Yan yüz yüksekliği verilmemişse önce kare piramitte yükseklik ve taban kenarının yarısından hesaplanır.

Hacim

Kancadaki deney piramidin hacmini verir:

V = (taban alanı · yükseklik) / 3

Bu sonuç deneye gerek kalmadan bir küp üzerinde de görülebilir: küpün merkezi ile altı yüzünün her biri, tabanı küpün yüzü ve yüksekliği ayrıtın yarısı olan birer piramit oluşturur. Altı eş piramit küpü tam doldurur; her birinin hacmi a³/6'dır ve bu, (a² · a/2)/3 ile aynıdır. Formül tabanın biçiminden bağımsızdır; üçgen, kare ya da altıgen tabanlı her piramitte taban alanı ile yükseklik çarpılıp üçe bölünür. Tepenin izdüşümünün tabanın içinde ya da dışında olması da sonucu değiştirmez; yalnızca dik yükseklik kullanılır.

Açınım

Bir piramidin yüzeyi düzleme serildiğinde tabanın her kenarına bir yan yüz üçgeni yapışık olarak görünür. Düzgün kare piramidin açınımı bir kare ile bu karenin dört kenarına oturan dört eş ikizkenar üçgenden oluşur; katlandığında üçgenlerin tepeleri bir noktada buluşur. Bir açınımın gerçekten piramide katlanabilmesi için tepede birleşen yan yüz açılarının toplamı 360°'den küçük olmalıdır. Toplam tam 360° olsaydı yüzler düz bir düzlemde kalır, tepe oluşmazdı. Örneğin dört eşkenar üçgen yan yüzü olan kare piramitte tepedeki açılar toplamı 240°'dir ve piramit kurulabilir; altı eşkenar üçgen ise bir noktada 360° eder ve altıgen tabanlı bir piramit eşkenar üçgen yan yüzlerle kurulamaz. Açınım soruları çoğunlukla yan yüz yüksekliğini ya da yan ayrıtı açınım üzerinde okumayı ister; bu uzunluklar katlama sırasında değişmez.

Düzgün dörtyüzlü

Bütün yüzleri eş eşkenar üçgen olan üçgen piramide düzgün dörtyüzlü denir. Ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün dört yüzü vardır ve tüm alanı dört eşkenar üçgenin toplamı olan a²√3'tür. Tepenin izdüşümü taban üçgeninin ağırlık merkezidir; merkezin köşeye uzaklığı a√3/3 olduğundan yükseklik √(a² − a²/3) = a√6/3 bulunur. Hacim (a²√3/4) · (a√6/3)/3 = a³√2/12'dir.

Tabana paralel kesit

Bir piramidi tabanına paralel bir düzlem ikiye ayırdığında tepede küçük bir piramit ayrılır ve bu piramit büyüğüne benzerdir. Benzerlik oranı, tepeden kesite olan yüksekliğin tüm yüksekliğe oranıdır. Oran k ise kesitin alanı tabanın k² katı, küçük piramidin hacmi büyüğün k³ katıdır. Örneğin tepeden yüksekliğin dörtte biri kadar aşağıda alınan kesitte küçük piramidin hacmi büyüğün 1/64'üdür. Tabanla kesit arasında kalan cisme kesik piramit denir ve hacmi iki piramidin hacimleri farkıdır. Kesik piramidin hacmini doğrudan veren bir formül de vardır, ama iki piramidin farkını almak hem daha kısa hem daha az hataya açıktır.

Prizmanın içindeki piramit

Bir prizma ya da küp içinde, tabanı prizmanın bir yüzü ve tepesi karşı yüz üzerinde olan bir piramit çizildiğinde piramidin hacmi prizmanın üçte biridir; geriye üçte iki kalır. Küpün bir köşesinde birleşen üç ayrıtın öbür uçlarından geçen düzlem ise küpten küçük bir üçgen piramit ayırır; bu piramidin tabanı dik kenarları a olan dik üçgendir, yüksekliği de a'dır.

Örnek 1 — Sayılar

Soru: Sekizgen piramidin ayrıt sayısı kaçtır?

• A) 24
• B) 9
• C) 16
• D) 10
• E) 18

Çözüm: n = 8 için ayrıt sayısı 2n = 16'dır; köşe 9, yüz 9 olur. Cevap: C.

Örnek 2 — Tüm alan

Soru: Taban kenarı 8, yüksekliği 3 olan düzgün kare piramidin tüm alanı kaçtır?

• A) 144
• B) 80
• C) 112
• D) 128
• E) 160

Çözüm: Yan yüz yüksekliği √(9 + 16) = 5'tir; yanal alan 32 · 5/2 = 80, taban 64, tüm alan 144. Cevap: A.

Örnek 3 — Hacim

Soru: Taban kenarı 12 ve yan yüz yüksekliği 10 olan düzgün kare piramidin hacmini hesaplayınız.

• A) 480
• B) 1152
• C) 576
• D) 240
• E) 384

Çözüm: Dik üçgende h² = 100 − 36 = 64, yani h = 8; hacim 144 · 8/3 = 384. Cevap: E.

Örnek 4 — Dörtyüzlünün yüksekliği

Soru: Ayrıtı 9 olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaçtır?

• A) 9√2
• B) 3√6
• C) 9√3/2
• D) 2√6
• E) 3√2

Çözüm: Yükseklik a√6/3 formülüyle 9√6/3 = 3√6 bulunur. Cevap: B.

• Hacimde 1/3 çarpanını unutmak. Piramit, aynı taban ve yükseklikteki prizmanın üçte biridir.
• Yükseklik ile yan yüz yüksekliğini karıştırmak. Yükseklik taban düzlemine dik iner; yan yüz yüksekliği yan yüzün içindedir.
• Tüm alanda iki taban saymak. Piramidin bir tabanı vardır.
• Kesitte hacim oranını k² almak. Alan k², hacim k³ ile değişir.
• Yan ayrıtı taban kenarının yarısıyla kurmak. Yan ayrıtın üçgeninde taban köşegeninin yarısı kullanılır.