Silindir

Bir konserve kutusunun kâğıt etiketini dikkatle sökün ve masaya serin. Ortaya bir dikdörtgen çıkar. Bu dikdörtgenin bir kenarı kutunun boyudur, öbür kenarı ise kutuyu bir kez saran şeridin uzunluğu, yani tabandaki dairenin çevresidir. Kutunun yarıçapı 4 santimetre ve boyu 11 santimetreyse etiket, kenarları 8π ve 11 olan bir dikdörtgendir; alanı 88π santimetrekaredir. Etiketin üstüne ve altına birer daire kapak eklenince kutunun bütün yüzeyi elde edilir. Kutunun içine ne kadar yiyecek sığdığını ise tabandaki dairenin alanı ile boyun çarpımı söyler. Önceki derslerde tabanı çokgen olan prizmaları inceledik. Bu derste tabanı daire olan silindire geçiyoruz: açınımını, yanal ve tüm alanını, hacmini, eksen kesitini, bir dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan silindiri ve içi boş boruları işliyoruz.

• Dik silindirin açınımını çizer, yanal alanını ve tüm alanını hesaplarsın.
• Hacmi πr²h ile hesaplar, verilen büyüklükten yarıçapı ya da yüksekliği çözersin.
• Eksen kesitini ve bir dikdörtgenin kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan silindiri yorumlarsın.
• Boru hacmini ve kaplar arasında aktarılan sıvının yüksekliğini hesaplarsın.

Silindir nedir?

Bir daire, düzlemine dik doğrultuda kaydırıldığında taradığı cisme dik dairesel silindir denir; kısaca silindir diyeceğiz. İki eş daire tabanları, aradaki eğri yüzey yanal yüzeyi oluşturur. Tabanların merkezlerini birleştiren doğru parçasına eksen, uzunluğuna yükseklik denir; dik silindirde eksen tabanlara diktir. Silindiri prizmanın bir sınır hâli olarak düşünmek yararlıdır: tabanı çok kenarlı bir düzgün çokgen olan bir prizma, kenar sayısı arttıkça silindire yaklaşır. Bu yüzden prizmanın alan ve hacim fikirleri silindirde de geçerlidir; yalnızca taban çevresi yerine dairenin çevresi, taban alanı yerine dairenin alanı yazılır.

Açınım ve alan

Silindirin yanal yüzeyi bir doğru boyunca kesilip açıldığında bir dikdörtgen olur. Kancadaki etiket gibi bu dikdörtgenin bir kenarı yükseklik h, öbür kenarı taban çevresi 2πr'dir. Bu yüzden

Yanal alan = 2πr · h

olur. Tüm yüzey için etiketin alanına iki kapağın alanı katılır:

Tüm alan = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)

Açınım sorularında bu ilişki ters yönde de kullanılır: yanal yüzeyin açınımı olan dikdörtgenin bir kenarı verilirse, o kenar taban çevresiyse 2π'ye bölünerek yarıçap bulunur.

Hacim

Prizmadaki gibi silindirde de hacim, tabanın kapladığı alanın yükseklikle çarpılmasıyla bulunur:

V = πr² · h

Tabana paralel her kesit tabanla eş bir dairedir; silindiri bu ince dairesel dilimlerin üst üste yığılması olarak düşünmek formülün nedenini açıklar. Eğik bir silindirde de dik yükseklik ve taban alanı aynı kaldıkça hacim değişmez. Hacim verilip yarıçap ya da yükseklik sorulduğunda formül bir denkleme dönüşür; π iki tarafta da bulunduğundan çoğu zaman sadeleşir.

Eksen kesiti

Silindir, eksenini içeren bir düzlemle kesilirse kesit bir dikdörtgendir; buna eksen kesiti denir. Dikdörtgenin kenarları taban çapı 2r ve yükseklik h'dir, alanı 2rh olur. Eksen kesiti kareyse yükseklik çapa eşittir: h = 2r. Eksen kesitinin köşegeni, silindirin içine konabilecek en uzun doğru parçasıdır ve Pisagor bağıntısıyla √((2r)² + h²) olarak bulunur. Örneğin yarıçapı 6, yüksekliği 5 olan bir silindirde bu köşegen √(144 + 25) = 13 birimdir; silindirin içine 13 birimden uzun bir çubuk eğik olarak bile sığmaz.

Dönel silindir

Kenarları a ve b olan bir dikdörtgen, a kenarı etrafında 360° döndürülürse bir silindir oluşur. Dönme ekseni olan kenar silindirin yüksekliği, öbür kenar ise yarıçapıdır: h = a, r = b. Aynı dikdörtgen öbür kenarı etrafında döndürülürse yarıçap ve yükseklik yer değiştirir ve farklı bir silindir çıkar. Hacimler oranı r²h ifadelerinin oranıdır; bu yüzden uzun kenar etrafında döndürmek daha küçük hacim verir.

Aynı dikdörtgen bir kâğıt olarak düşünülüp kenarları birleştirilerek silindir yüzeyine sarılabilir. Bu kez bir kenar taban çevresi, öbür kenar yükseklik olur. Hangi kenarın çevre olacağı soruda belirtilmelidir, çünkü iki sarma iki farklı silindir verir. Döndürmede kenar yarıçap olur, sarmada çevre olur; bu ayrımı karıştırmamak gerekir.

Boru ve kaplar

İçi boş bir boru, iki silindirin farkıdır. Dış yarıçap R, iç yarıçap r ve uzunluk h ise borunun malzeme hacmi π(R² − r²)h'dir. Halkanın alanı ile uzunluğun çarpımı olarak da düşünülebilir.

Silindir biçimli bir kaba konan sıvının yüksekliği, sıvı hacminin taban alanına bölümüdür. Sıvı bir kaptan ötekine aktarıldığında hacim korunur: πr₁²h₁ = πr₂²h₂. Bu yüzden yarıçapı iki katı olan bir kaba aktarılan sıvının yüksekliği dörtte birine iner. Batırılan cisimlerde ve kaba dik oturtulan çubuklarda prizma dersindeki akıl yürütme aynen geçerlidir; yalnız taban alanı πr² olarak yazılır.

İç içe cisimler

Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük silindirin taban dairesi küpün bir yüzüne içten teğettir; yarıçapı ayrıtın yarısı, yüksekliği ayrıtın kendisidir. Tersine, bir silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük kare tabanlı prizmanın taban karesi, silindirin taban dairesine içten çizilir; karenin köşegeni çapa eşit olduğundan kenarı r√2'dir. Dikdörtgenler prizması biçimli bir kutuya yatırılan silindirler sorusunda ise silindirin çapının kutunun hangi iki boyutuyla karşılaştırılacağına dikkat edilir. Bu tür sorularda önce iki cismin hangi ölçüleri ortak paylaştığı belirlenir; geri kalan hesap bilinen formüllerdir.

Kutu tasarımı

Konserve kutuları neden genellikle boyu çapına yakın biçimde üretilir? Hacmi sabit tutulan silindirler arasında yüzey alanı, dolayısıyla harcanan malzeme, eksen kesiti kare olan silindirde, yani h = 2r olduğunda en azdır. Bu sonucun kanıtı ileride türevle yapılır; şimdilik iki örnekle sınanabilir. Hacmi 16π olan iki silindir düşünelim: biri r = 2, h = 4, öteki r = 1, h = 16 olsun. İlkinin tüm alanı 2π · 2 · 6 = 24π, ikincisinin 2π · 1 · 17 = 34π'dir. Aynı hacim için ince uzun kutu çok daha fazla malzeme ister.

Ölçekleme

Yarıçap k katına çıkıp yükseklik değişmezse yanal alan k katına, hacim k² katına çıkar. Yükseklik k katına çıkıp yarıçap değişmezse yanal alan da hacim de k katına çıkar. Bütün uzunluklar birlikte k katına çıkarsa alanlar k², hacim k³ katına çıkar. Oran sorularında sayıların kendisine gerek yoktur; her çarpanın nasıl değiştiği ayrı ayrı yazılır.

Örnek 1 — Hacim

Soru: Taban yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 7 cm tutan bir silindire kaç cm³ sıvı sığar?

• A) 14π
• B) 56π
• C) 28π
• D) 49π
• E) 18π

Çözüm: V = πr²h = π · 4 · 7 = 28π cm³. Cevap: C.

Örnek 2 — Açınımdan tüm alan

Soru: Bir silindirin yanal yüzeyinin açınımı, kenarları 10π ve 12 olan bir dikdörtgendir; 10π kenarı taban çevresidir. Silindirin tüm alanı kaçtır?

• A) 170π
• B) 120π
• C) 145π
• D) 220π
• E) 60π

Çözüm: 2πr = 10π olduğundan r = 5; yanal alan 120π, iki taban 50π, tüm alan 170π. Cevap: A.

Örnek 3 — Dönel silindir

Soru: Kenarları 3 ve 5 birim olan bir dikdörtgen, 5 birimlik kenarı etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaçtır?

• A) 75π
• B) 15π
• C) 30π
• D) 25π
• E) 45π

Çözüm: Dönme ekseni yükseklik olur: h = 5, r = 3. Hacim π · 9 · 5 = 45π. Cevap: E.

Örnek 4 — Boru

Soru: Dış yarıçapı 4, iç yarıçapı 2 ve uzunluğu 5 olan bir borunun malzeme hacmi kaçtır?

• A) 80π
• B) 60π
• C) 20π
• D) 10π
• E) 40π

Çözüm: π(16 − 4) · 5 = 60π. Cevap: B.

• Yanal alana tabanları katmak. Yanal alan 2πrh'dir; iki daire ancak tüm yüzeyde hesaba girer.
• Çapı yarıçap yerine koymak. Eksen kesitinin bir kenarı çaptır, yarıçap değil.
• Döndürmede kenarları karıştırmak. Dönme ekseni olan kenar yüksekliktir, öbür kenar yarıçap.
• Sarmada kenarı yarıçap sanmak. Sarılan kâğıtta kenar çevre olur.
• Boruda yarıçap farkının karesini almak. Malzeme hacmi π(R² − r²)h ile bulunur.