Küp ve dikdörtgenler prizması

Kargoya 104 santimetrelik bir şemsiye verilecek, ama elde yalnızca boyutları 20, 25 ve 100 santimetre olan bir kutu var. Şemsiye kutunun en uzun kenarına yatırılınca sığmaz; en büyük yüzün köşegenine çapraz konduğunda da sığmaz, çünkü dik kenarları 25 ile 100 olan üçgende hipotenüs yaklaşık 103 santimetre tutar. Ama şemsiyeyi kutunun alt ön köşesinden üst arka köşesine, iç boşluğu boydan boya kesen çizgi boyunca yerleştirirseniz sığar; bu çizginin uzunluğu √(20² + 25² + 100²) = 105 santimetredir. Kutunun içindeki en uzun doğru parçası bu cisim köşegenidir. Önceki derste genel dik prizmaları inceledik. Bu derste tabanı dikdörtgen olan dik prizmaya, yani dikdörtgenler prizmasına ve onun en düzenli hâli olan küpe yoğunlaşıyoruz: hacim, alan, ayrıt toplamı ve köşegenler arasındaki bağıntıları, bir prizmayı küplere bölmeyi ve boyanan küplerin sayımını işliyoruz.

• Dikdörtgenler prizması ve küpün hacmini, tüm alanını ve ayrıtları toplamını hesaplarsın.
• Yüz köşegenini ve cisim köşegenini Pisagor bağıntısıyla bulursun.
• Boyutların toplamı, alan ve köşegen arasındaki özdeşliği ve yüz alanlarından hacmi kullanırsın.
• Bir prizmayı eş küplere bölme ve boyanmış küplerin sayımı sorularını çözersin.

Dikdörtgenler prizması

Tabanı dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir. Altı yüzünün hepsi dikdörtgendir ve karşılıklı yüzler eştir. Boyutlarına a, b ve c dersek, önceki dersin genel formülleri bu cisim için şu biçimi alır. Hacim, üç boyutun çarpımıdır: V = a · b · c. Tüm alan üç farklı yüz çiftinin toplamıdır: A = 2(ab + bc + ac). Prizmanın 12 ayrıtı vardır ve her boyuttan dörder tane bulunduğu için ayrıtlar toplamı 4(a + b + c)'dir.

Küp

Bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizması küptür. Ayrıtı a olan küpte hacim a³, tüm alan 6a², ayrıtlar toplamı 12a'dır. Küp sorularında verilen büyüklük ne olursa olsun önce ayrıt bulunur: hacimden küp kök, alandan altıya bölüp karekök, ayrıt toplamından on ikiye bölme. Örneğin tüm alanı 216 olan küpün bir yüzü 36, ayrıtı 6, hacmi 216'dır.

Köşegenler

Bir yüzün köşegeni, o yüzün iki kenarından kurulan dik üçgenin hipotenüsüdür; a ve b kenarlı yüzün köşegeni √(a² + b²) olur. Cisim köşegeni ise prizmanın bir köşesini, aynı yüz üzerinde olmayan karşı köşeye bağlar. Bu köşegen, bir yüz köşegeni ile ona dik olan üçüncü ayrıtın kurduğu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor bağıntısı iki kez uygulanınca

cisim köşegeni = √(a² + b² + c²)

bulunur. Küpte yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3'tür. Dikdörtgenler prizmasının dört cisim köşegeni vardır ve hepsi eşittir; bu köşegenler prizmanın merkezinde kesişir ve birbirini ortalar.

Toplam, alan ve köşegen

Boyutlar arasında kullanışlı bir özdeşlik vardır: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac). Sağ taraftaki ilk terim cisim köşegeninin karesi, ikinci terim tüm alandır. Bu yüzden

(a + b + c)² = (cisim köşegeni)² + tüm alan

yazılabilir. Boyutların toplamı ayrıt toplamından, tüm alan ise verilen bilgiden bilindiğinde köşegen tek tek boyutlar bulunmadan hesaplanır. Aynı eşitlik ters yönde de işler: toplam ve köşegen biliniyorsa tüm alan bulunur.

Yüz alanlarından hacim

Üç farklı yüzün alanları ab, bc ve ac olarak verilirse bu üç sayının çarpımı a²b²c² eder. Hacim abc olduğundan, hacim üç yüz alanının çarpımının kareköküdür. Tek tek boyutlar gerekirse hacim yüz alanlarına bölünür: c = abc/ab gibi. Bu yöntem, boyutları ayrı ayrı bulmak için üç bilinmeyenli bir sistem kurmaktan çok daha kısadır. Yüz alanları küçük tam sayılarsa çarpımın tam kare çıkması, verilerin tutarlı olduğunun da bir işaretidir.

Küpün açınımları ve karşılıklı yüzler

Bir küpün yüzeyi altı eş kareden oluşan bir açınıma serilebilir ve bu altı kare birbirinden farklı 11 biçimde dizilebilir. Altı karelik her dizilim bir küp açınımı değildir; katlandığında iki kare üst üste geliyorsa ya da bir yüz boş kalıyorsa dizilim küp oluşturmaz. Açınım sorularında en çok sorulan şey, hangi yüzlerin karşı karşıya geleceğidir. Bir sıra hâlinde dizilmiş karelerde, aralarında tam bir kare bulunan iki kare katlanınca karşılıklı yüz olur; yan yana duran iki kare ise her zaman komşu yüzlerdir ve karşılıklı olamaz. Oyun zarları bu bilgiyle kontrol edilir: standart bir zarda karşılıklı yüzlerin toplamı 7'dir, bu yüzden 1 ile 6, 2 ile 5, 3 ile 4 açınımda arada bir kare kalacak biçimde yerleştirilir.

Küplere bölmek ve küplerden kurmak

Boyutları a, b, c olan bir prizmayı boşluk bırakmadan eş küplere bölmek için küpün ayrıtı üç boyutun ortak böleni olmalıdır; en az sayıda küp için en büyük ortak bölen seçilir. Küp sayısı, her boyuttaki küp sayılarının çarpımıdır. Tersine, eş tuğlalar aynı yönde dizilerek en küçük küp kurulacaksa küpün ayrıtı tuğla boyutlarının en küçük ortak katıdır. Bu iki kalıbı EBOB-EKOK problemleri dersinde sayılarla görmüştük; burada aynı fikrin hacim tarafına bakıyoruz.

Boyanan küpler

Ayrıtı n birim olan bir küpün bütün dış yüzleri boyanıp küp 1 birimlik küplere kesilirse küçük küplerin boyalı yüz sayıları konumlarına göre değişir. Sekiz köşedeki küplerin üç yüzü boyalıdır. Ayrıtların üzerinde, köşeler dışında kalan küplerin iki yüzü boyalıdır; her ayrıtta n − 2 tane, toplam 12(n − 2) tane vardır. Yüzlerin içinde kalan küplerin yalnız bir yüzü boyalıdır; her yüzde (n − 2)², toplam 6(n − 2)² tane vardır. İçerideki (n − 2)³ küpün hiç boyası yoktur. Bu dört sayının toplamı n³ etmelidir; bu, hesabı denetlemenin kolay bir yoludur. Örneğin ayrıtı 10 olan bir küpte boyasız küplerin sayısı 8³ = 512, tek yüzü boyalı olanların sayısı 6 · 64 = 384'tür; büyük küplerde boyasız küpler çoğunluğu oluşturur.

Yüzey üzerinde en kısa yol

Bir karınca prizmanın bir köşesinden karşı köşesine yüzey üzerinden yürüyecekse cisim köşegenini kullanamaz. En kısa yolu bulmak için karıncanın geçtiği iki yüz düzleme açılır ve açınımda iki nokta düz bir çizgiyle birleştirilir. İki yüzün hangi ayrıt üzerinden açıldığına göre üç farklı uzunluk çıkar: √((a + b)² + c²), √((a + c)² + b²) ve √((b + c)² + a²). En kısası, en uzun boyutun tek başına kaldığı açılımdır.

Örnek 1 — Cisim köşegeni

Soru: Boyutları 3, 4 ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaç santimetredir?

• A) 19
• B) 5
• C) 15
• D) 12√2
• E) 13

Çözüm: √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm. Cevap: E.

Örnek 2 — Küpün hacmi

Soru: Cisim köşegeni 4√3 birim olan küpün hacmi kaçtır?

• A) 64
• B) 48
• C) 96
• D) 192√3
• E) 16√3

Çözüm: a√3 = 4√3 olduğundan ayrıt 4'tür; hacim 4³ = 64. Cevap: A.

Örnek 3 — Yüz alanlarından hacim

Soru: Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün alanları 6, 8 ve 12 birim karedir. Hacmini hesaplayınız.

• A) 26
• B) 48
• C) 24
• D) 576
• E) 72

Çözüm: Yüz alanlarının çarpımı 576 = (abc)² olduğundan hacim √576 = 24. Cevap: C.

Örnek 4 — Boyanan küp

Soru: Ayrıtı 3 birim olan bir küpün dış yüzleri boyanıp 1 birimlik küplere kesiliyor. Tam iki yüzü boyalı küçük küp sayısı kaçtır?

• A) 8
• B) 12
• C) 6
• D) 1
• E) 24

Çözüm: İki yüzü boyalı küpler ayrıtların ortasındadır; her ayrıtta 3 − 2 = 1 tane, toplam 12. Cevap: B.

• Cisim köşegenini yüz köşegeniyle karıştırmak. Cisim köşegeni üç boyutun karelerini içerir.
• Tüm alanda yalnız üç yüzü toplamak. Her yüzün bir eşi vardır; toplam ikiyle çarpılır.
• Ayrıtlar toplamında a + b + c yazmak. On iki ayrıt vardır; toplam 4(a + b + c)'dir.
• Küplere bölmede EKOK, küp kurmada EBOB almak. Bölerken ortak bölen, kurarken ortak kat aranır.
• Boyanan küplerde köşeleri ayrıt sayımına katmak. Ayrıt başına n − 2 küp sayılır.