Dik prizmalar

Kamp alanında kurulan klasik bir çadırı önden düşünün: ön yüzü bir üçgen, arka yüzü aynı üçgen, aradaki her şey bu üçgenin ileri doğru kaydırılmasıyla oluşmuş. Çadırın içine kaç kişinin sığacağını bilmek için önce ön yüzdeki üçgenin alanına, sonra çadırın ne kadar uzun olduğuna bakarsınız. Üçgenin alanı 2 metrekare, çadır 3 metre uzunsa içerideki hava 6 metreküptür. Çadırın kumaşını hesaplamak için ise yan yüzleri açıp düz bir şerit gibi serersiniz: şeridin bir kenarı üçgenin çevresi, öbür kenarı çadırın uzunluğudur. Bu çadır bir dik üçgen prizmadır ve bütün dik prizmalar aynı iki fikirle ölçülür: taban çarpı yükseklik hacmi, çevre çarpı yükseklik yan yüzleri verir. Önceki ünitelerde düzlemde alan ve uzunluk hesapladık. Bu ünitede üçüncü boyuta geçiyoruz ve ilk cisim olarak dik prizmaların yüzlerini, ayrıtlarını, açınımlarını, alanlarını ve hacimlerini inceliyoruz.

• Dik prizmanın taban, yan yüz, ayrıt ve köşelerini tanır; n kenarlı tabanlı prizmanın yüz, ayrıt ve köşe sayılarını yazarsın.
• Açınımdan yararlanarak yanal alanı ve tüm alanı hesaplarsın.
• Hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak bulur, birim dönüşümlerini yaparsın.
• Kaba konan sıvının yüksekliğini ve batırılan cismin yükselttiği sıvıyı hacmin korunmasıyla hesaplarsın.

Prizma nedir?

Bir çokgen, düzleminin dışına doğru kendine paralel kalacak biçimde kaydırıldığında taradığı cisme prizma denir. Başlangıçtaki ve son konumdaki iki eş çokgen prizmanın tabanlarıdır; tabanların karşılıklı kenarlarını birleştiren paralelkenarlar yan yüzleri oluşturur. Kaydırma tabana dik doğrultuda yapılmışsa yan yüzler dikdörtgendir ve cisme dik prizma denir. Tabanlar arasındaki dik uzaklık prizmanın yüksekliğidir; dik prizmada bu, her yan ayrıtın uzunluğuna eşittir. Prizma adını tabanından alır: tabanı üçgen olan üçgen prizma, beşgen olan beşgen prizma diye anılır. Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma denir.

Yüz, ayrıt ve köşe sayıları

Tabanı n kenarlı bir çokgen olan prizmanın iki tabanında n'er köşe vardır; toplam köşe sayısı 2n'dir. Her tabanda n ayrıt, tabanları birleştiren n yan ayrıt bulunur; toplam ayrıt sayısı 3n'dir. Yüzler, n yan yüz ile iki tabandır; toplam yüz sayısı n + 2'dir. Bu sayılar arasında Euler bağıntısı denen bir ilişki vardır: köşe sayısı ile yüz sayısının toplamı, ayrıt sayısından 2 fazladır. Gerçekten 2n + (n + 2) = 3n + 2 olur. Bu bağıntı yalnız prizmalar için değil, içinde boşluk olmayan bütün çokyüzlüler için geçerlidir ve sayılardan birini doğrulamak için kullanışlı bir denetimdir.

Açınım ve yanal alan

Bir prizmanın yüzeyini kesip düzleme sermek açınım çıkarmaktır. Dik prizmanın yan yüzleri açıldığında yan yana dizilmiş dikdörtgenler, birlikte tek bir büyük dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin bir kenarı tabanın çevresi, öbür kenarı prizmanın yüksekliğidir. Bu yüzden yanal alan

Yanal alan = taban çevresi · yükseklik

olarak bulunur. Tüm alan, yanal alana iki tabanın alanı eklenerek elde edilir:

Tüm alan = taban çevresi · h + 2 · taban alanı

Taban bir dik üçgense çevre için önce hipotenüs Pisagor bağıntısıyla bulunur. Taban eşkenar üçgen ya da düzgün altıgen ise alan hesabında önceki ünitelerdeki formüller kullanılır: kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı a²√3/4, düzgün altıgenin alanı ise altı eşkenar üçgenin toplamı olan 6 · a²√3/4'tür.

Hacim

Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V = A_taban · h. Bunun nedeni, prizmayı tabana paralel ince dilimlere ayırdığımızda her dilimin tabanla aynı alana sahip olmasıdır; dilimlerin kalınlıkları toplamı yükseklik olduğundan hacim, taban alanının yükseklik kadar üst üste yığılmasıdır. Aynı akıl yürütme, yan yüzleri eğik olan prizmalar için de geçerlidir: taban alanı ve dik yükseklik aynı kaldıkça hacim değişmez. Bu derste dik prizmalarla çalışıyoruz, ama hacim formülünün yalnız taban alanına ve dik yüksekliğe bağlı olduğunu akılda tutmak işe yarar.

Birimler

Uzunluk santimetre ise alan santimetrekare, hacim santimetreküp olur. Sıvı hacimleri çoğunlukla litreyle verilir; 1 litre 1 desimetreküp, yani 1000 santimetreküptür. 1 metreküp ise 1000 litredir. Bir soruda uzunluklar santimetre, cevap litre isteniyorsa hacim önce santimetreküp olarak hesaplanır, sonra 1000'e bölünür. Örneğin 2,5 litre su 2500 santimetreküp yer kaplar. Birim dönüşümünü işlemin sonuna bırakmak, ara adımlardaki karışıklığı önler.

Sıvı yüksekliği ve batırılan cisim

Dik prizma biçimindeki bir kaba konan sıvı da kabın tabanıyla aynı tabana sahip bir prizma oluşturur. Bu yüzden sıvının yüksekliği, hacminin kabın taban alanına bölünmesiyle bulunur. Kaba tamamen batan bir cisim konursa sıvı, cismin hacmi kadar yer değiştirir ve yükselme miktarı cismin hacminin taban alanına bölümüdür. Kaba dik olarak oturtulan ve sıvının üstüne taşan bir çubuk konursa durum farklıdır: sıvının hacmi değişmez, ama sıvının yayılabileceği taban alanı çubuğun taban alanı kadar azalır; yeni yükseklik, sıvı hacminin kalan taban alanına bölümüdür. Bu durumda bulunan yüksekliğin çubuğun boyundan küçük olduğu denetlenmelidir; değilse çubuk tamamen batmıştır ve ilk durum geçerlidir.

Kesitler ve bileşik cisimler

Bir dik prizma tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde ortaya çıkan kesit, tabanla eş bir çokgendir; prizmanın her yüksekliğinde aynı şekil görülür. Bu özellik, prizmayı öteki cisimlerden ayıran en belirgin işarettir ve hacim formülünün dayandığı ince dilim fikrinin temelidir. Yan yüzlere paralel kesitler ise dikdörtgendir.

Gündelik nesnelerin çoğu birkaç prizmanın birleşmesinden oluşur: basamaklı bir merdiven, L biçimli bir raf ya da üstüne üçgen çatı eklenmiş bir kutu. Böyle bir bileşik cismin hacmi, parçalarının hacimleri toplanarak bulunur. Yüzey alanında ise dikkat gerekir: iki parçanın birbirine yapıştığı yüzler artık dışarıda değildir ve her iki parçanın alanından da çıkarılmalıdır. Bir cismin içinden prizma biçimli bir boşluk oyulmuşsa hacim azalır, ama yüzey alanı çoğu zaman artar, çünkü boşluğun iç duvarları da yüzeye katılır.

Ölçekleme

Bir prizmanın bütün uzunlukları k katına çıkarılırsa alanları k², hacmi k³ katına çıkar. Yalnızca bazı boyutlar değişiyorsa hacim formülündeki her çarpanın nasıl değiştiğine ayrı ayrı bakılır. Örneğin yükseklik 3 katına çıkar, taban kenarları yarıya inerse taban alanı dörtte birine iner ve hacim 3/4 katına düşer. Bu tür sorularda gerçek sayılara ihtiyaç yoktur; oranlar üzerinden düşünmek yeterlidir.

Örnek 1 — Ayrıt sayısı

Soru: Beşgen dik prizmanın ayrıt sayısı kaçtır?

• A) 10
• B) 17
• C) 15
• D) 12
• E) 20

Çözüm: n = 5 için ayrıt sayısı 3n = 15'tir; köşe 10, yüz 7 olur ve 10 + 7 = 15 + 2 sağlanır. Cevap: C.

Örnek 2 — Tüm alan

Soru: Tabanı dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan dik prizmanın tüm alanı kaç cm²'dir?

• A) 132
• B) 120
• C) 126
• D) 144
• E) 70

Çözüm: Hipotenüs 5, çevre 12'dir; yanal alan 120, iki tabanın alanı 2 · 6 = 12 ve tüm alan 132. Cevap: A.

Örnek 3 — Eşkenar üçgen tabanlı hacim

Soru: Tabanı kenarı 6 birim olan eşkenar üçgen, yüksekliği 4√3 birim olan dik prizmanın hacmini bulunuz.

• A) 36√3
• B) 72
• C) 54
• D) 216
• E) 108

Çözüm: Taban alanı 36√3/4 = 9√3'tür; hacim 9√3 · 4√3 = 108. Cevap: E.

Örnek 4 — Sıvı yüksekliği

Soru: Taban alanı 80 cm² olan dik prizma biçimli bir kaba 2 litre su dökülüyor. Suyun yüksekliği kaç santimetre olur?

• A) 32
• B) 25
• C) 2,5
• D) 16
• E) 160

Çözüm: 2 litre 2000 cm³'tür; yükseklik 2000/80 = 25 cm. Cevap: B.

• Yanal alana tabanları da katmak. Yanal alan yalnız yan yüzlerdir; tabanlar tüm alana eklenir.
• Hacimde taban çevresini kullanmak. Hacim taban alanı ile yükseklik çarpılarak bulunur.
• Litreyi santimetreküp sanmak. 1 litre 1000 cm³'tür.
• Ölçeklemede hacmi k katı saymak. Bütün uzunluklar k katına çıkınca hacim k³ katına çıkar.
• Batan çubukta taban alanını azaltmayı unutmak. Taşan çubuk sıvının yayıldığı alanı küçültür.