Noktanın doğruya uzaklığı

Düz bir sahil şeridinin açığında bir tekne demirlemiş. Tekneden kıyıya bir halat uzatılacak ve halatın olabildiğince kısa olması isteniyor. Halatı kıyının herhangi bir noktasına çekmek mümkündür, ama en kısa halat kıyıya dik olarak inen halattır; eğik çekilen her halat, dik halatı bir dik kenar kabul eden bir dik üçgenin hipotenüsü olur ve ondan uzundur. Bir noktanın bir doğruya uzaklığı tam olarak bu en kısa mesafedir: noktadan doğruya inen dikmenin uzunluğu. Önceki derste bir noktadan doğruya inen dikmenin ayağını iki adımda bulmuştuk: önce dik doğruyu yazıp sonra kesişimi hesaplayarak. Bu derste aynı uzunluğu tek bir formülle hesaplıyor, bu formülü paralel doğrular arasındaki uzaklığa, üçgen alanına ve çembere teğet doğrulara uyguluyoruz.

• Bir noktanın genel biçimde verilen doğruya uzaklığını formülle hesaplarsın.
• Yatay, dikey ve başlangıç noktasından geçen özel durumlarda uzaklığı kısa yoldan bulursun.
• Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı katsayıları eşitleyerek hesaplarsın.
• Uzaklıktan üçgen alanını, bilinmeyen katsayıyı ve çembere teğetliği bulursun.

En kısa yol diktir

Bir nokta ile bir doğru arasındaki uzaklık, noktadan doğruya çizilebilecek bütün doğru parçalarının en kısasıdır. Bu parça doğruya diktir. Nedeni kancadaki halattadır: noktadan doğruya eğik inen her parça, dikmeyi bir dik kenar olarak içeren bir dik üçgenin hipotenüsüdür ve hipotenüs her zaman dik kenarlardan uzundur. Bu yüzden bir noktanın doğruya uzaklığı, dik izdüşümüne olan uzaklığıdır. Nokta doğrunun üzerindeyse uzaklık sıfırdır.

Özel durumlar

Bazı doğrulara uzaklık hesap gerektirmez. Bir noktanın yatay y = k doğrusuna uzaklığı, ordinatı ile k arasındaki farkın mutlak değeridir; dikey x = k doğrusuna uzaklığı ise apsisi ile k arasındaki farkın mutlak değeridir. Eksenler bunun özel hâlidir: x ekseni y = 0, y ekseni x = 0 doğrusudur ve ilk derste gördüğümüz |b| ile |a| sonuçlarına ulaşılır. Bu durumlarda dikme zaten yatay ya da dikeydir ve uzunluğu koordinat farkından okunur.

Genel formül

Doğru ax + by + c = 0 ile, nokta (x₀, y₀) ile verilsin. Noktanın doğruya uzaklığı

d = |a · x₀ + b · y₀ + c| / √(a² + b²)

formülüyle bulunur. Formülün pay kısmı, noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazılınca elde edilen sayının mutlak değeridir. Nokta doğru üzerindeyse bu sayı sıfırdır ve uzaklık da sıfır çıkar; nokta doğrudan uzaklaştıkça sayı büyür. Payda ise denklemin ölçeğini düzeltir: aynı doğru 2ax + 2by + 2c = 0 olarak da yazılabilir; pay ve payda birlikte iki katına çıktığından sonuç değişmez.

Formülün nereden geldiği şöyle görülebilir. Noktadan doğruya dikey olarak, yani y eksenine paralel inen parçanın uzunluğu |a · x₀ + b · y₀ + c|/|b|'dir, çünkü doğrunun x₀ apsisindeki noktasının ordinatı ile y₀ arasındaki fark budur. Bu dikey parça ile dikme, aynı dik üçgenin iki kenarıdır ve aralarındaki açı doğrunun eğimine bağlıdır. Bu dik üçgende dikme, dikey parçanın |b|/√(a² + b²) katıdır; iki oran çarpılınca formül çıkar. Sınavda formülün kendisi yeterlidir, ama a² + b² altında tanıdık bir Pisagor üçlüsü aramak hesabı hızlandırır: 3 ile 4 için 5, 5 ile 12 için 13, 6 ile 8 için 10, 8 ile 15 için 17.

Formülü uygulamadan önce doğrunun genel biçimde yazılması gerekir. y = mx + n biçiminde verilmiş bir doğru önce mx − y + n = 0 olarak düzenlenir. Başlangıç noktasının uzaklığı ise x₀ = y₀ = 0 yazılarak |c|/√(a² + b²) olur.

Paralel doğrular arasındaki uzaklık

İki paralel doğru arasındaki uzaklık, birinin üzerindeki herhangi bir noktanın ötekine uzaklığıdır; doğrular paralel olduğu için hangi noktanın seçildiği önemli değildir. Daha kısa bir yol vardır: doğrular ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 biçiminde, yani x ve y katsayıları aynı olacak şekilde yazılırsa uzaklık

d = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)

olur. Katsayılar aynı değilse önce biri ortak bir sayıyla çarpılarak ya da bölünerek eşitlenir. Bu adım atlanırsa sonuç yanlış çıkar; 2x + y + 3 = 0 ile 4x + 2y − 1 = 0 doğrularında ilk denklem ikiyle çarpılmadan c'ler çıkarılamaz.

Uzaklıktan alan

Köşeleri bilinen bir üçgende bir kenar taban seçilir, karşı köşenin bu kenarın bulunduğu doğruya uzaklığı yükseklik olur. Taban uzunluğu iki nokta arası uzaklıkla, yükseklik bu dersin formülüyle bulunur ve alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bu yöntem, dikdörtgene tamamlama yönteminin yerine kullanılabilir ve özellikle bir kenarın doğrusu zaten verilmişse işi kısaltır. Benzer biçimde iki paralel doğru arasına yerleştirilen bir karenin ya da paralelkenarın yüksekliği de bu doğrular arasındaki uzaklıktır.

Bilinmeyen katsayı ve iki çözüm

Uzaklık verilip noktanın bir koordinatı ya da doğrunun bir katsayısı sorulduğunda formül bir mutlak değer denklemine dönüşür. Mutlak değerin içi verilen sayının artısına ya da eksisine eşit olabileceğinden çoğu zaman iki çözüm çıkar. Geometrik olarak bu, doğrunun iki yanında, ona aynı uzaklıkta duran iki konumun bulunmasıdır. Sorudaki ek koşul, örneğin koordinatın pozitif olması, çözümlerden birini seçer.

İki doğruya eşit uzaklık

Kesişen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktalar, bu doğruların oluşturduğu açıların açıortayları üzerindedir. Kesişen iki doğru dört açı oluşturduğundan iki açıortay doğrusu vardır ve bunlar birbirine diktir. Açıortayların denklemleri, iki uzaklık formülü eşitlenerek yazılır: bir noktanın birinci doğruya uzaklığı ikinci doğruya uzaklığına eşit tutulur. Mutlak değer bu kez de iki durum verir; birinde paylar aynı işaretle, ötekinde ters işaretle eşitlenir ve her biri bir açıortay doğrusu çıkarır. Örneğin x ekseni ile y ekseni arasındaki açıortaylar y = x ve y = −x doğrularıdır; bu doğrular üzerindeki her noktanın iki eksene uzaklığı eşittir. Paralel iki doğruya eşit uzaklıktaki noktalar ise tam ortalarından geçen ve onlara paralel olan tek bir doğru üzerinde toplanır.

Çembere teğet doğru

Merkez ile doğru arasındaki uzaklık r'ye eşitse doğru çembere teğettir; r'den kısaysa doğru çemberden bir kiriş ayırır, r'den uzunsa çemberle ortak noktası yoktur. Bu ilişki, merkezi bilinen ve bir doğruya teğet olan çemberin yarıçapını tek adımda verir. Çemberin denklemini analitik olarak yazmayı AYT kapsamındaki çemberin analitik incelenmesi dersinde göreceğiz; bu karşılaştırma orada da çemberle doğrunun durumunu belirlemenin en kısa yolu olacak.

Örnek 1 — Formülü uygulamak

Soru: (5, −2) noktasının 4x − 3y + 4 = 0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.

• A) 30
• B) 26/5
• C) 6
• D) 14/5
• E) 5

Çözüm: Pay |20 + 6 + 4| = 30, payda √(16 + 9) = 5'tir; uzaklık 30/5 = 6. Cevap: C.

Örnek 2 — Paralel doğrular

Soru: 2x + y − 3 = 0 ile 4x + 2y + 9 = 0 doğruları arasındaki uzaklık nedir?

• A) 3√5/2
• B) 7/2
• C) 6/√5
• D) 5/2
• E) 3√5

Çözüm: İkinci denklem ikiye bölünür: 2x + y + 9/2 = 0. Uzaklık |−3 − 9/2|/√5 = (15/2)/√5 = 3√5/2. Cevap: A.

Örnek 3 — İki çözüm

Soru: (a, 1) noktasının 5x + 12y − 2 = 0 doğrusuna uzaklığı 2 birimdir. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) 16/5
• B) 4
• C) −36/5
• D) 2
• E) −4

Çözüm: |5a + 10|/13 = 2 eşitliğinden 5a + 10 = 26 ya da −26; a = 16/5 ya da −36/5 ve toplam −4. Cevap: E.

Örnek 4 — Uzaklıktan alan

Soru: Köşeleri T(−2, 0), U(2, 3) ve V(5, −1) olan üçgenin alanı kaç birim karedir?

• A) 25
• B) 25/2
• C) 10
• D) 15
• E) 12

Çözüm: TU = 5 ve TU doğrusu 3x − 4y + 6 = 0'dır. V'nin bu doğruya uzaklığı 25/5 = 5 olduğundan alan 5 · 5/2 = 25/2. Cevap: B.

• y = mx + n biçiminde formülü doğrudan uygulamak. Önce doğru ax + by + c = 0 biçimine getirilir.
• Paydadaki karekökü unutmak. Pay √(a² + b²)'ye bölünür, a + b'ye değil.
• Paralel doğrularda katsayıları eşitlemeden c'leri çıkarmak. x ve y katsayıları önce aynı yapılır.
• Mutlak değerin eksi çözümünü atlamak. Doğrunun iki yanında birer çözüm vardır.
• Uzaklığı dikme yerine eğik bir parçayla ölçmek. Uzaklık her zaman dik parçanın uzunluğudur.