Çemberin analitik incelenmesi

Şeyma, belediyenin park planını kareli kâğıda geçiriyor. Çim sulama başlığı (3, 2) noktasında ve suyu 5 metreye kadar atıyor; bank ise (7, 5) noktasında. Bank ıslanır mı? Şeyma iki nokta arası uzaklığı hesaplıyor: √(4² + 3²) = 5. Bank, ıslak bölgenin tam sınırında duruyor. Sonra asıl soruyu soruyor: sınırdaki bütün noktalar hangi kurala uyar? Her biri başlığa 5 birim uzaklıktadır, yani (x − 3)² + (y − 2)² = 25 eşitliğini sağlar. İntegralle eğrilerin arasında kalan bölgeleri ölçtükten sonra burada yönü çeviriyoruz: bir eğriyi, geometrik tanımından yola çıkıp tek bir denkleme yazıyoruz. Çemberin denklemini kuracak, genel biçimden merkezi ve yarıçapı okuyacak, noktaların, doğruların ve başka çemberlerin bir çembere göre nerede durduğunu hesapla ayıracağız.

• Merkezi ve yarıçapı verilen çemberin denklemini yazar, genel denklemden merkezi ve yarıçapı bulursun.
• Bir noktanın ve bir doğrunun çembere göre konumunu hem merkez uzaklığıyla hem diskriminantla belirlersin.
• Çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin denklemini yazar, kiriş ve teğet uzunluklarını hesaplarsın.
• İki çemberin birbirine göre durumunu merkezler arası uzaklıkla sınıflandırırsın.

Uzaklıktan denkleme

Çember, düzlemde sabit bir M noktasına sabit r uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Koordinat düzlemi ve iki nokta arası uzaklık dersindeki formül bu tanımı doğrudan denkleme çevirir. Merkez M(a, b) ve çember üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y) olsun. |MP| = r demek √((x − a)² + (y − b)²) = r demektir; iki taraf da negatif olmadığından kare alınabilir:

(x − a)² + (y − b)² = r².

Buna çemberin merkezil (standart) denklemi denir. Merkez orijindeyse a = b = 0 olur ve denklem x² + y² = r²'ye iner. Denklemdeki işaretlere dikkat: (x + 4)² + (y − 1)² = 9 çemberinin merkezi (−4, 1)'dir, çünkü x + 4 = x − (−4) biçiminde okunur. Sağ taraf yarıçapın kendisi değil karesidir; bu çemberin yarıçapı 3'tür.

Bu denklem y'yi x'in bir fonksiyonu olarak vermez. Merkezin tam altındaki ve üstündeki iki nokta, örneğin (a, b − r) ile (a, b + r), aynı apsisi paylaşır; bir apsise iki ordinat düşmesi fonksiyon tanımına aykırıdır. Denklem y için çözülürse y = b ± √(r² − (x − a)²) gelir ve artı işaret üst yarım çemberi, eksi işaret alt yarım çemberi verir. Bu yüzden çemberle çalışırken x ile y'yi tek bir eşitlikte birlikte tutan biçim kullanılır; bir yarısının altındaki alan sorulduğunda ise yarım çemberin fonksiyon biçimine geçilir.

Genel denklemden merkez ve yarıçap

Merkezil denklemdeki kareler açılırsa x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0 elde edilir. Katsayılara D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r² denirse çemberin genel denklemi

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

olur. Ters yönden okununca merkez M(−D/2, −E/2) ve r² = D²/4 + E²/4 − F bulunur. Örneğin x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 için D = −6, E = 4, F = −12'dir; merkez (3, −2) ve r² = 9 + 4 + 12 = 25, yani r = 5. Formülü ezberlemek istemeyen tam kareye tamamlar: x² − 6x = (x − 3)² − 9 ve y² + 4y = (y + 2)² − 4 yazılınca (x − 3)² + (y + 2)² = 25 çıkar.

Bir ikinci derece denklemin çember belirtmesi için iki şekil şartı vardır: x² ile y²'nin katsayıları eşit olmalı ve xy terimi bulunmamalıdır. Katsayılar 1 değilse önce bütün denklem o sayıya bölünür; 2x² + 2y² − 8x + ... gibi bir denklemde D, E, F bölmeden sonra okunur.

Üçüncü şart sayısaldır ve D²/4 + E²/4 − F ifadesinin işaretine bakar. Bu ifade pozitifse denklem gerçek bir çemberdir. Sıfırsa kümede yalnız merkez kalır: x² + y² + 2x − 4y + 5 = 0 için 1 + 4 − 5 = 0'dır ve denklem (x + 1)² + (y − 2)² = 0'a, yani tek bir (−1, 2) noktasına karşılık gelir; buna nokta çember denir. Negatifse iki karenin toplamı negatif bir sayıya eşitlenmiş olur ve denklemi sağlayan nokta yoktur: x² + y² − 4x + 10 = 0 için 4 − 10 = −6 bulunur, çözüm kümesi boştur. Parametreli sorularda "çember belirtir" ifadesi bu yüzden D²/4 + E²/4 − F > 0 eşitsizliğine çevrilir.

Üç noktadan geçen çember

Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta tek bir çember belirler. Genel denklemde üç bilinmeyen (D, E, F) olduğundan her nokta denkleme yazılır ve üç doğrusal denklem çözülür. Çember (0, 0), (6, 0) ve (0, 8)'den geçsin: ilk nokta F = 0'ı, ikincisi 36 + 6D = 0'dan D = −6'yı, üçüncüsü 64 + 8E = 0'dan E = −8'i verir. Merkez (3, 4), r = 5'tir. Başka bir yol da doğrular arası ilişkiler dersindeki orta dikmedir: merkez, herhangi iki kirişin orta dikmelerinin kesişimidir. Bu örnekte üç nokta bir dik üçgen kurduğu için merkez hipotenüsün orta noktasına düştü.

Eksenlere teğet çember

Merkezi M(a, b) olan çember x eksenine teğetse yarıçap, merkezin x eksenine uzaklığıdır: r = |b|. y eksenine teğetse r = |a| olur. İki eksene birden teğet çemberde |a| = |b| = r'dir ve birinci bölgedeki böyle bir çemberin denklemi (x − r)² + (y − r)² = r² biçimindedir. Merkezi (−4, 3) olan ve x eksenine teğet çember (x + 4)² + (y − 3)² = 9'dur; aynı merkezle y eksenine teğet olsaydı yarıçap 4 olurdu.

Noktanın çembere göre konumu

Bir P noktası için |MP| ile r karşılaştırılır: |MP| < r ise P içeride, |MP| = r ise üzerinde, |MP| > r ise dışarıdadır. Kök almadan da karar verilir: noktanın koordinatları genel denklemin sol tarafına yazılır ve çıkan sayının işaretine bakılır, çünkü bu sayı |MP|² − r²'ye eşittir. x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 çemberinde (6, 1) için sonuç −7 (içeride), (7, 1) için 0 (üzerinde), (0, 3) için 9 (dışarıda) çıkar.

Bu sayı, çemberde uzunluk ve kuvvet dersindeki noktanın kuvvetidir. Dış noktada pozitiftir ve teğet özellikleri dersindeki teğet uzunluğunun karesine eşittir: (0, 3)'ten çembere çizilen teğet parçası √9 = 3 birimdir.

Doğru ile çemberin durumu

Doğru çemberi keser, ona teğet olur ya da hiç değmez; hangisinin gerçekleştiği iki hesapla anlaşılır. Birinci hesap noktanın doğruya uzaklığı dersindeki formüldür: merkezin doğruya uzaklığı d bulunur. d < r ise doğru çemberi iki noktada keser, d = r ise teğettir, d > r ise ortak nokta yoktur.

İkincisi parabol ile doğrunun durumu dersindeki ortak denklemdir. Doğru denkleminden y (ya da x) çekilip çember denklemine yazılır; ikinci dereceden bir denklem çıkar ve diskriminantı Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 olarak aynı üç durumu verir. x² + y² = 25 ile 3x + 4y = 25 için uzaklık yolu d = 25/5 = 5 = r verir. Diskriminant yolunda y = (25 − 3x)/4 yazılır, denklem 25x² − 150x + 225 = 0'a, sadeleşince x² − 6x + 9 = 0'a döner; Δ = 0'dır ve değme noktası (3, 4)'tür. Uzaklık yolu hızlıdır ama değme noktasını vermez; ortak denklem ise noktaları da üretir.

Doğru çemberi kesiyorsa ayırdığı kirişin yarısı, merkezden kirişe inen dikme ile yarıçapın oluşturduğu dik üçgende ikinci dik kenardır. Bu yüzden kiriş uzunluğu 2√(r² − d²)'dir. Merkezden kirişe inen dikmenin kirişi ortaladığını çapa dik kiriş başlığından biliyoruz.

Çember üzerindeki noktadan teğet

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. P(x₀, y₀) çember üzerindeyse önce MP yarıçapının eğimi hesaplanır, teğetin eğimi bunun negatif tersi alınır (eğimler çarpımı −1) ve P'den geçen doğru yazılır. Merkezi orijinde olan x² + y² = r² çemberinde bu işlem kısa bir kurala varır: teğet x₀ · x + y₀ · y = r² doğrusudur. Merkez M(a, b) ise aynı kural (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r² biçimini alır. Kuralı kullanmadan önce noktanın gerçekten çember üzerinde olduğu denetlenmelidir; dışarıdaki bir noktaya uygulanınca bir doğru yine çıkar, ama teğet değildir.

İki çemberin durumu

Merkezleri arasındaki uzaklık d, yarıçapları r₁ ≥ r₂ olan iki çember için karşılaştırma şöyledir:

x² + y² = 9 ile (x − 3)² + (y − 4)² = 4 çemberlerinde d = 5 ve r₁ + r₂ = 5 olduğundan iki çember dıştan teğettir. Merkezler çakışırsa (d = 0) çemberler eş merkezlidir; yarıçaplar da eşitse iki denklem aynı çemberi gösterir.

Merkezi kaydırmak

Merkezil denklem başka bir okumaya da izin verir: (x − a)² + (y − b)² = r² çemberi, x² + y² = r² çemberinin her noktasını a birim sağa ve b birim yukarı taşıyınca elde edilir; denklemde x'in yerine x − a, y'nin yerine y − b gelmesi bu taşımanın izidir. Şeklin boyu ve biçimi değişmez, yalnız yeri değişir. Bir noktayı, bir doğruyu ya da bir grafiği bu biçimde kaydırmanın kuralı, yani koordinatlara sabit bir vektör eklemek ve bunun denklemi nasıl değiştirdiği, dönüşümlerin ilki olan ötelemenin konusudur.

Örnek 1 — Katsayıları bölerek okumak

Soru: 2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 denklemiyle verilen çemberin yarıçapı kaç birimdir?

• A) r = 2
• B) r = 4
• C) r = 16
• D) r = √58
• E) r = 8

Çözüm: Denklem 2'ye bölünür: x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Merkez (2, −3), r² = 4 + 9 + 3 = 16 ve r = 4. Bölmeden okuyan, r² = 16 + 36 + 6 = 58 gibi anlamsız bir değere ulaşır; 16'yı yarıçap sanan da kareyi unutur. Cevap: B.

Örnek 2 — Teğetlikten bilinmeyen

Soru: 3x − 4y + k = 0 doğrusu x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 çemberine teğettir. k > 0 olduğuna göre k değeri nedir?

• A) k = 26
• B) k = 11
• C) k = 15
• D) k = 2
• E) k = 4

Çözüm: Merkez (1, −2), r² = 1 + 4 + 4 = 9, r = 3. Uzaklık yolu: |3 + 8 + k|/5 = 3 eşitliğinden |11 + k| = 15; k = 4 ya da k = −26. Diskriminant yoluyla denetlenir: k = 4 için y = (3x + 4)/4 çembere yazılınca çıkan denklemin diskriminantı sıfırdır ve değme apsisi −4/5'tir. Pozitif değer 4. Cevap: E.

Örnek 3 — Üzerindeki noktadan teğet

Soru: (x − 1)² + (y + 2)² = 25 çemberine P(4, 2) noktasında çizilen teğet doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 3x + 4y − 20 = 0
• B) 4x − 3y − 10 = 0
• C) 3x − 4y − 4 = 0
• D) 4x + 3y − 22 = 0
• E) 3x + 4y + 5 = 0

Çözüm: Önce P'nin çember üzerinde olduğu denetlenir: 3² + 4² = 25. MP'nin eğimi (2 + 2)/(4 − 1) = 4/3, teğetin eğimi −3/4'tür. y − 2 = −(3/4)(x − 4) düzenlenince 3x + 4y − 20 = 0 çıkar. Kural da aynı sonucu verir: 3(x − 1) + 4(y + 2) = 25. B seçeneği MP yarıçapının kendi doğrusudur. Cevap: A.

Örnek 4 — Kiriş uzunluğu

Soru: x − y + 1 = 0 doğrusunun x² + y² = 25 çemberinden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir?

• A) 7
• B) 10
• C) √98/2
• D) 2√24
• E) 7√2

Çözüm: Merkezin doğruya uzaklığı d = 1/√2, kiriş 2√(25 − 1/2) = 2√(49/2) = 7√2. Ortak denklemle denetim: y = x + 1 yazılınca x² + x − 12 = 0, kökler 3 ve −4; noktalar (3, 4) ve (−4, −3), aralarındaki uzaklık √(49 + 49) = 7√2. Cevap: E.

• Merkezin işaretini denklemden olduğu gibi almak. (x + 4)² terimi merkezin apsisinin −4 olduğunu söyler; genel biçimde merkez (−D/2, −E/2)'dir.
• r² yerine r yazmak ya da tersini yapmak. Denklemin sağ tarafı yarıçapın karesidir.
• x² ve y² katsayısı 1 değilken D, E, F'yi okumak. Önce bütün denklem bu katsayıya bölünür.
• "Çember belirtir" şartını unutmak. D²/4 + E²/4 − F sıfırsa nokta çember, negatifse boş küme çıkar.
• Teğet kuralını çember dışındaki bir noktaya uygulamak. x₀ · x + y₀ · y = r² yalnız çember üzerindeki nokta için teğettir.
• İki çemberde yalnız r₁ + r₂'ye bakmak. İçten teğet ve iç içe durumları r₁ − r₂ ile ayrılır.