Doğrular arası ilişkiler

Bir kâğıda iki nokta işaretleyin ve kâğıdı, bu iki nokta tam üst üste gelecek biçimde katlayın. Kâğıdı açtığınızda ortaya çıkan kat izi iki özellik taşır: iki noktayı birleştiren parçanın tam ortasından geçer ve bu parçaya diktir. Kat izinin üzerindeki her nokta, işaretlediğiniz iki noktaya eşit uzaklıktadır. Bu çizgiye orta dikme denir ve onu koordinatlarla bulmak için iki şey bilmek gerekir: bir parçanın orta noktası ve bir doğruya dik olan doğrunun eğimi. Önceki derslerde tek bir doğrunun eğimini ve denklemini yazdık. Bu derste iki doğrunun birbirine göre durumlarına bakıyoruz: ne zaman kesiştiklerini ve kesişim noktalarını, ne zaman paralel ya da çakışık olduklarını, ne zaman dik kesiştiklerini; bunları kullanarak bir noktadan geçen paralel ve dik doğruları, orta dikmeyi ve bir noktanın doğru üzerindeki dik izdüşümünü buluyoruz.

• İki doğrunun kesişim noktasını denklem sistemiyle bulursun.
• Eğimlerden ya da katsayı oranlarından doğruların paralel, çakışık ya da kesişen olduğunu belirlersin.
• Dik doğruların eğimleri çarpımının −1 olduğunu kullanır, bir noktadan geçen dik ve paralel doğruları yazarsın.
• Orta dikmeyi, dik izdüşümü ve bir noktanın doğruya göre simetriğini hesaplarsın.

Kesişim noktası

İki doğrunun ortak noktası, iki denklemi birlikte sağlayan noktadır. Bu yüzden kesişim noktası, iki denklemin oluşturduğu sistemin çözümüdür. Denklem sistemleri dersinde gördüğümüz yok etme ya da yerine koyma yöntemlerinden biri kullanılır. Doğrular y = mx + n biçiminde verilmişse sağ taraflar eşitlenir ve önce apsis, sonra ordinat bulunur. Örneğin y = 4x − 5 ile y = x + 1 doğruları için 4x − 5 = x + 1 yazılır; x = 2 ve y = 3, yani doğrular (2, 3) noktasında kesişir. Bulunan nokta her iki denklemde de denetlenmelidir; biri sağlanıp öteki sağlanmıyorsa hesapta bir hata vardır.

Paralel ve çakışık doğrular

İki doğrunun eğimleri farklıysa doğrular tek bir noktada kesişir. Eğimler eşitse iki durum vardır. Kesim noktaları da eşitse iki denklem aynı doğruyu gösterir; doğrular çakışıktır ve sonsuz sayıda ortak noktaları vardır. Kesim noktaları farklıysa doğrular hiç kesişmez; paraleldir. Denklem sistemleri dersinde bu üç durumu çözüm sayısıyla görmüştük: tek çözüm kesişen, çözümsüz sistem paralel, sonsuz çözüm çakışık doğrulara karşılık gelir.

Doğrular genel biçimde verilmişse aynı ayrım katsayı oranlarıyla yapılır. a₁x + b₁y + c₁ = 0 ve a₂x + b₂y + c₂ = 0 için a₁/a₂ ile b₁/b₂ farklıysa doğrular kesişir. Bu iki oran eşit fakat c₁/c₂'den farklıysa paraleldir. Üç oran birden eşitse çakışıktır. Parametreli sorularda paralellik koşulundan bir denklem kurulur; ancak bulunan değerlerin c oranını da eşitlemediği, yani doğruları çakıştırmadığı ayrıca denetlenmelidir.

Dik doğrular

Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğru dik kesişiyorsa eğimlerinin çarpımı −1'dir: m₁ · m₂ = −1. Bunun nedeni şöyle görülebilir: eğimi m olan bir doğru üzerinde yatayda 1, dikeyde m ilerleyen bir adım düşünelim. Bu adımı 90° döndürdüğümüzde yatay ve dikey bileşenler yer değiştirir ve biri işaret değiştirir; yeni adım yatayda −m, dikeyde 1 olur, yani eğimi −1/m'dir. Bu yüzden bir doğruya dik doğrunun eğimi, verilen eğimin ters işaretli tersidir: eğimi 2/5 olan doğruya dik doğrunun eğimi −5/2'dir.

İki özel durum bu kuralın dışında kalır: yatay bir doğruya dik olan doğru düşeydir ve eğimi bir sayıyla yazılamaz; dikey bir doğruya dik olan doğru ise yataydır. Genel biçimde verilen iki doğru için diklik koşulu a₁a₂ + b₁b₂ = 0 olarak da yazılabilir; bu biçim, eğimlerden biri tanımsız olduğunda bile geçerlidir.

Bir noktadan geçen paralel ve dik doğru

Bir noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun eğimi, verilen doğrunun eğimidir; dik olanın eğimi ise ters işaretli tersidir. Eğim belli olunca nokta-eğim biçimiyle denklem tek adımda yazılır. Genel biçimde bir kısa yol daha vardır: ax + by + c = 0 doğrusuna paralel bütün doğrular ax + by + k = 0 biçimindedir ve k, verilen noktanın koordinatları yazılarak bulunur. Dik doğrular için ise katsayılar yer değiştirir ve biri işaret değiştirir: bx − ay + k = 0.

Orta dikme

Bir parçanın orta dikmesi, orta noktasından geçen ve parçaya dik olan doğrudur. Önce önceki dersteki gibi orta nokta bulunur, sonra parçanın eğimi hesaplanır ve ters işaretli tersi alınır. Orta dikme üzerindeki her nokta parçanın iki ucuna eşit uzaklıktadır; bu yüzden bir üçgenin üç kenarının orta dikmeleri tek bir noktada, çevrel çemberin merkezinde kesişir. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların hepsini aramak, aslında bu doğrunun denklemini yazmak demektir.

Dik izdüşüm ve simetri

Bir P noktasından bir doğruya inen dikmenin doğruyu kestiği noktaya P'nin o doğru üzerindeki dik izdüşümü denir. Bulmak için P'den geçen ve verilen doğruya dik olan doğru yazılır, sonra iki doğrunun kesişim noktası hesaplanır. P'nin doğruya göre simetriği ise doğrunun karşı tarafında, P ile eşit mesafede bulunan noktadır: izdüşüm H ise simetrik nokta 2H − P'dir. Bu, önceki dersteki noktaya göre simetri fikrinin bir doğruya uygulanmasıdır. y = x doğrusu özel bir durumdur; bu doğruya göre simetrikte koordinatlar yer değiştirir.

Kesişimden alana

Birden çok doğrunun sınırladığı bölgelerde köşeler, doğruların ikişer ikişer kesişim noktalarıdır. İki doğru ve bir eksenin oluşturduğu üçgende önce doğruların birbirini kestiği nokta, sonra her doğrunun eksenle buluştuğu nokta hesaplanır. Eksen üzerindeki iki köşe tabanı, doğruların kesişim noktasının o eksene uzaklığı yüksekliği verir. Üç doğrunun oluşturduğu bir üçgende ise üç kesişim noktası bulunur ve alan, önceki derslerde gördüğümüz dikdörtgene tamamlama yöntemiyle hesaplanır. Doğrular dik kesişiyorsa iş daha da kısalır: dik açının kolları dik kenarlardır ve alan, bu iki kenarın uzunluklarının çarpımının yarısıdır. Paralel iki doğru ise eksenlerle birlikte bir yamuk ya da paralelkenar oluşturabilir; bu durumda paralel kenarların uzunlukları eksen kesimlerinden okunur.

Üçgende doğrular

Köşeleri bilinen bir üçgenin kenarortay, yükseklik ve orta dikmeleri birer doğrudur ve denklemleri bu dersteki araçlarla yazılır. Yükseklik, köşeden geçen ve karşı kenara dik olan doğrudur. İki yüksekliğin kesişimi diklik merkezini, iki orta dikmenin kesişimi çevrel çemberin merkezini verir. Üç doğrunun bir noktada kesişip kesişmediği sorulduğunda iki doğrunun kesişimi bulunur ve üçüncüsünde denetlenir. Bir doğrunun bir noktadan uzaklığını hesaplamak ise sonraki dersin konusudur.

Örnek 1 — Kesişim noktası

Soru: 2x + y = 7 ve x − y = 2 doğrularının kesişim noktası hangisidir?

• A) (1, 5)
• B) (1, −1)
• C) (3, 1)
• D) (4, −1)
• E) (5, 3)

Çözüm: Denklemler taraf tarafa toplanınca 3x = 9 ve x = 3 olur; ikinci denklemden y = 1. Cevap: C.

Örnek 2 — Dik doğru

Soru: (3, −2) noktasından geçen ve y = 3x + 1 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi hangisidir?

• A) y = −x/3 − 1
• B) y = 3x − 11
• C) y = −3x + 7
• D) y = x/3 − 3
• E) y = −x/3 + 1

Çözüm: Dik eğim −1/3'tür; y + 2 = −(x − 3)/3 düzenlenince y = −x/3 − 1 bulunur. Cevap: A.

Örnek 3 — Paralellik koşulu

Soru: 2x + ay − 1 = 0 ve 4x − 6y + 5 = 0 doğruları paralel ise a kaçtır?

• A) 3
• B) −12
• C) 12
• D) −6
• E) −3

Çözüm: 2/4 = a/(−6) eşitliğinden a = −3 bulunur; c oranı −1/5 ile 1/2 farklı olduğundan doğrular çakışık değildir. Cevap: E.

Örnek 4 — Dik izdüşüm

Soru: P(1, 7) noktasının y = x + 2 doğrusu üzerindeki dik izdüşümü hangisidir?

• A) (2, 6)
• B) (3, 5)
• C) (0, 2)
• D) (5, 9)
• E) (4, 4)

Çözüm: P'den geçen dik doğru y = −x + 8'dir; x + 2 = −x + 8 eşitliğinden x = 3 ve izdüşüm (3, 5). Cevap: B.

• Dik eğimde yalnız işareti değiştirmek. Dik doğrunun eğimi ters işaretli terstir: 2/5 için −5/2.
• Paralelliği denetlerken çakışıklığı unutmak. Üç katsayı oranı da eşitse doğrular çakışıktır.
• Kesişim noktasını tek denklemde denetlemek. Nokta iki denklemi birden sağlamalıdır.
• Orta dikmede parçanın eğimini kullanmak. Orta dikmenin eğimi parçanın eğimine diktir.
• İzdüşümü simetrik nokta sanmak. Simetrik nokta 2H − P ile bulunur.