Doğru denklemleri

Bir bahçe deposunda başlangıçta 25 litre su var ve bir hortum depoya her dakika 12 litre ekliyor. Dakikayı x, depodaki suyu y ile gösterirsek her an y = 12x + 25 eşitliği geçerlidir. Bu tek satır, depoyla ilgili sorulabilecek her soruyu cevaplar: 5 dakika sonra kaç litre olduğunu, 145 litreye ne zaman ulaşılacağını, hatta grafiğin dikey ekseni nerede keseceğini. Eşitliği koordinat düzleminde çizerseniz bir doğru elde edersiniz; 12 sayısı bu doğrunun eğimi, 25 ise grafiğin dikey eksene değdiği yüksekliktir. Önceki derste bir doğrunun dikliğini eğimle ölçtük. Bu derste doğrunun tamamını tek bir denklemle yazıyoruz: bir nokta ve eğimden, iki noktadan ve eksen kesimlerinden denklem kurmayı, denklemden eğimi ve kesim noktalarını okumayı, bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını sınamayı öğreniyoruz.

• Bir noktası ve eğimi ya da iki noktası bilinen doğrunun denklemini yazarsın.
• y = mx + n ve ax + by + c = 0 biçimlerinden eğimi ve eksen kesimlerini okursun.
• Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemini yazar, eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını bulursun.
• Bir noktanın doğru üzerinde olma koşulundan bilinmeyen katsayıyı ya da koordinatı hesaplarsın.

Doğrunun denklemi ne demek?

Bir doğrunun denklemi, x ve y arasındaki bir eşitliktir; doğru üzerindeki her noktanın koordinatları bu eşitliği sağlar, doğru üzerinde olmayan hiçbir nokta sağlamaz. Bu yüzden "nokta doğrunun üzerinde mi?" sorusunun cevabı tek bir yerine koymayla verilir: koordinatlar denklemde yazılır, eşitlik doğruysa nokta doğrunun üzerindedir. Aynı fikir ters yönde de işler: bir doğrunun belli bir noktadan geçtiği biliniyorsa o noktanın koordinatları denklemde yerine yazılır ve bilinmeyen bir katsayı bulunur.

Nokta ve eğimden denklem

Eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğruyu düşünelim. Doğru üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası ile verilen nokta arasındaki eğim m olmalıdır: (y − y₁)/(x − x₁) = m. Paydayı karşıya atınca

y − y₁ = m(x − x₁)

elde edilir. Bu, doğru denklemlerinin en temel biçimidir; öteki bütün biçimler buradan türetilir. Örneğin (−3, 4) noktasından geçen ve eğimi 1/3 olan doğru için y − 4 = (1/3)(x + 3) yazılır ve düzenlenince y = x/3 + 5 bulunur.

Eğim ve kesim biçimi

Nokta-eğim denkleminde verilen nokta y ekseni üzerindeyse, yani (0, n) ise, denklem y = mx + n biçimini alır. Bu biçimde iki sayı doğrudan okunur: x'in katsayısı m eğimdir, sabit terim n ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Kancadaki depo denkleminde eğim dakikadaki artış, n ise başlangıçtaki su miktarıydı. Doğrunun x eksenini kestiği nokta ise y = 0 yazılarak bulunur: mx + n = 0 ve x = −n/m.

Özel durumlar da bu biçimden okunur. n = 0 ise doğru başlangıç noktasından geçer ve y = mx olur; y = x ile y = −x birinci ve ikinci açıortay doğrularıdır. m = 0 ise doğru yataydır ve y = n biçimindedir. Dikey doğrular bu biçimde yazılamaz, çünkü eğimleri tanımsızdır; denklemleri x = k biçimindedir ve y'yi hiç içermez.

İki noktadan denklem

İki noktası bilinen doğru için önce önceki dersteki formülle eğim bulunur, sonra noktalardan biri seçilerek nokta-eğim denklemi yazılır. Hangi noktanın seçildiği sonucu değiştirmez; doğru aynı doğrudur. İşlemi kolaylaştırmak için koordinatları daha küçük ya da sıfır içeren nokta seçilir. Bulunan denklem öbür noktayla sınanarak yazım hatası hemen yakalanır.

Genel biçim

Her doğru denklemi ax + by + c = 0 biçiminde yazılabilir; buna genel biçim denir. b sıfırdan farklıysa y yalnız bırakılarak y = −(a/b)x − c/b bulunur. Böylece genel biçimde eğim m = −a/b, y eksenini kesen nokta −c/b'dir. Eğimi ezberlemek yerine her seferinde y'yi yalnız bırakmak da güvenli bir yoldur. b = 0 ise doğru dikeydir; a = 0 ise yataydır. Genel biçimin bir yararı, kesirli katsayılardan kurtulmaktır: y = (2/3)x − 4 denklemi her iki taraf 3 ile çarpılarak 2x − 3y − 12 = 0 olarak yazılabilir.

Eksen parçaları biçimi

Kesim noktaları (0, b) ile (a, 0) olan, a ile b sıfırdan farklı bir doğrunun denklemi

x/a + y/b = 1

olarak yazılır. Bu biçim, iki kesim noktasının denklemi sağladığı görülerek kolayca doğrulanır. Tersine, genel biçimdeki bir denklemin eksen kesimleri x = 0 ve y = 0 yazılarak tek tek bulunur. Doğru eksenlerle bir dik üçgen oluşturur; dik kenarları |a| ve |b| olduğundan bu üçgenin alanı |a · b|/2'dir. Kesimlerin işaretleri, üçgenin hangi bölgede olduğunu da gösterir.

Çizmek ve grafikten okumak

Bir doğruyu çizmek için iki noktası yeterlidir. En pratik seçim, doğrunun eksenleri kestiği iki noktadır: x = 0 yazılarak dikey eksendeki, y = 0 yazılarak yatay eksendeki nokta bulunur ve ikisi bir cetvelle birleştirilir. Doğru başlangıç noktasından geçiyorsa bu iki nokta çakışır; o zaman x yerine 1 ya da 2 gibi kolay bir değer yazılarak ikinci nokta elde edilir. Tersine, grafiği verilmiş bir doğrunun denklemi de aynı iki bilgiden kurulur. Grafikte eksenleri kestiği yerler okunabiliyorsa eksen parçaları biçimi doğrudan yazılır; okunamıyorsa doğru üzerinde koordinatları tam sayı olan iki nokta aranır, eğim hesaplanır ve nokta-eğim biçimi kullanılır. Grafikteki her ızgara karesinin kaç birim olduğuna dikkat etmek, sık yapılan bir okuma hatasını önler.

Doğru ile bölgeler

Doğrular, eksenlerle ya da başka yatay ve dikey doğrularla birlikte çokgen bölgeler sınırlayabilir. Bu tür sorularda önce her doğrunun ötekileri hangi noktada kestiği bulunur; köşeler belli olunca alan üçgen ya da yamuk formülüyle hesaplanır. Örneğin bir doğru, x ekseni ve iki dikey doğru arasında kalan bölge çoğu zaman bir yamuktur; paralel kenarları, dikey doğruların doğruyu kestiği noktaların ordinatlarıdır.

Denklemi kurmak, denklemi okumak

Bu dersteki soruların hepsi iki yönden birine gider. Ya doğrunun iki bilgisi (bir nokta ve eğim, iki nokta, iki kesim) verilir ve denklem kurulur; ya da denklem verilir ve ondan eğim, kesim noktaları, bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığı okunur. Denklem kurarken nokta-eğim biçiminden başlamak her durumda işe yarar. Denklem okurken ise y'yi yalnız bırakmak eğimi ve y kesimini, x ya da y yerine sıfır yazmak eksen kesimlerini verir. Bir doğrunun iki ayrı doğruyla kesiştiği nokta, paralel ve dik doğrular ise sonraki dersin, doğrular arası ilişkilerin konusudur.

Örnek 1 — İki noktadan denklem

Soru: P(1, −1) ve R(4, 8) noktalarından geçen doğrunun denklemi hangisidir?

• A) y = 3x + 1
• B) y = x − 2
• C) y = 3x − 4
• D) y = 9x − 10
• E) y = −3x + 2

Çözüm: Eğim 9/3 = 3'tür; y + 1 = 3(x − 1) düzenlenince y = 3x − 4 bulunur. Cevap: C.

Örnek 2 — Eksenlerle üçgen

Soru: 4x − 3y + 12 = 0 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz.

• A) 6
• B) 12
• C) 7
• D) 24
• E) 3,5

Çözüm: y = 0 için x = −3, x = 0 için y = 4 olur; dik kenarlar 3 ve 4, alan 6. Cevap: A.

Örnek 3 — Eksen parçaları

Soru: x eksenini (−2, 0), y eksenini (0, 5) noktasında kesen doğrunun denklemi hangisidir?

• A) 2x − 5y + 10 = 0
• B) 5x + 2y − 10 = 0
• C) 5x − 2y − 10 = 0
• D) 2x + 5y + 10 = 0
• E) 5x − 2y + 10 = 0

Çözüm: x/(−2) + y/5 = 1 eşitliği 10 ile çarpılınca −5x + 2y = 10, yani 5x − 2y + 10 = 0. Cevap: E.

Örnek 4 — Katsayıyı bulmak

Soru: ax − 2y + 4 = 0 doğrusu (3, 5) noktasından geçiyorsa a kaçtır?

• A) 6
• B) 2
• C) −2
• D) 14/3
• E) 1

Çözüm: Noktanın koordinatları yazılınca 3a − 10 + 4 = 0 olur ve a = 2 bulunur. Cevap: B.

• Genel biçimde eğimi a/b yazmak. ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi −a/b'dir.
• y = mx + n'de n'yi x kesimi sanmak. n, y eksenini kesen noktanın ordinatıdır.
• Dikey doğruyu y = k diye yazmak. Dikey doğru x = k, yatay doğru y = k'dır.
• Eksen parçaları biçimini sağ tarafı 1 olmadan kullanmak. x/a + y/b = 1 olmalıdır.
• Üçgen alanında kesimlerin işaretini almak. Alan |a · b|/2 ile bulunur.