Doğrunun eğimi

Dağ yollarında üçgen biçimli bir trafik levhası görürsünüz: üzerinde bir yokuş çizimi ve yanında "%10" yazar. Bu sayı yolun ne kadar dik olduğunu söyler: yatayda 100 metre ilerlediğinizde 10 metre yükselirsiniz. Aynı levha "%10" yerine "1/10" ya da "0,1" de yazabilirdi; üçü de dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Bir yokuşun dikliğini tek bir sayıyla anlatmak, yolun ne kadar uzun olduğundan bağımsızdır: kısa ya da uzun, eğimi %10 olan her yokuş aynı açıyla tırmanır. Koordinat düzleminde bir doğrunun dikliği de böyle tek bir sayıyla, eğimle ölçülür. Önceki iki derste noktalar arasındaki uzaklığı ve bölen noktaları bulduk. Bu derste doğrunun eğimini iki noktadan ve eğim açısından hesaplıyor, eğimin işaretini yorumluyor ve üç noktanın aynı doğru üzerinde olup olmadığını eğimle sınıyoruz.

• İki noktası bilinen bir doğrunun eğimini dikey değişimin yatay değişime oranı olarak hesaplarsın.
• Eğimin işaretinden doğrunun artan, azalan, yatay ya da dikey olduğunu söylersin.
• Eğim ile eğim açısı arasında özel açılar için geçiş yaparsın.
• Üç noktanın doğrusal olup olmadığını eğimle sınar, bilinmeyen koordinatı eğimden bulursun.

Eğim nedir?

Bir doğru üzerinde iki nokta seçip birinden ötekine gidelim. Yatayda ne kadar ilerlediğimize yatay değişim, dikeyde ne kadar yükseldiğimize ya da alçaldığımıza dikey değişim denir. Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır ve genellikle m harfiyle gösterilir. (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

olur. Doğru üzerinde hangi iki nokta seçilirse seçilsin bu oran değişmez; çünkü iki farklı nokta çiftinin oluşturduğu dik üçgenler benzerdir ve benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı aynıdır. Bu yüzden eğim doğrunun kendisine ait bir sayıdır, seçilen noktalara değil. Kancadaki levha da tam olarak bunu söyler: yolun hangi parçasına bakılırsa bakılsın, her 100 metrelik yatay ilerleyişte 10 metre yükselme vardır.

Formülde dikkat edilmesi gereken tek şey, iki farkın aynı sırayla alınmasıdır. Pay ikinci noktanın ordinatından birincininkini çıkarıyorsa, payda da ikinci noktanın apsisinden birincininkini çıkarmalıdır. Sıra iki farkta birden değiştirilirse pay ve payda birlikte işaret değiştirir ve oran aynı kalır; yalnızca birinde değiştirilirse eğimin işareti yanlış çıkar.

Eğimin işareti

Eğim pozitifse doğru soldan sağa doğru yükselir; apsis arttıkça ordinat da artar. Eğim negatifse doğru soldan sağa doğru alçalır. Eğim sıfırsa iki noktanın ordinatları eşittir ve doğru yataydır, yani x eksenine paraleldir. İki noktanın apsisleri eşitse payda sıfır olur; bu durumda eğim tanımsızdır ve doğru dikeydir, y eksenine paraleldir. "Eğim sıfır" ile "eğim tanımsız" sık karıştırılır: yatay bir yolda hiç tırmanma yoktur, eğimi sıfırdır; dik bir duvara ise yürüyerek tırmanılamaz, eğimi bir sayı olarak yazılamaz.

Eğimin büyüklüğü dikliği gösterir. Mutlak değeri büyük olan doğru daha diktir: eğimi 5 olan doğru, eğimi 1/2 olan doğrudan çok daha dik yükselir; eğimi −5 olan doğru da aynı diklikte alçalır.

Eğim açısı

Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle saat yönünün tersine yaptığı açıya eğim açısı denir ve 0° ile 180° arasında bir değer alır. Eğim açısını eğime bağlamak için dik üçgende yeni bir oran tanımlıyoruz: bir dar açının karşısındaki dik kenarın komşu dik kenara oranına o açının tanjantı denir ve tan ile gösterilir. Eğimi oluşturan dik üçgende karşı kenar dikey değişim, komşu kenar yatay değişim olduğundan eğim, eğim açısının tanjantıdır: m = tan α.

Özel açılar için tanjant değerleri, daha önce gördüğümüz özel dik üçgenlerden okunur. İkizkenar dik üçgende dik kenarlar eşit olduğundan tan 45° = 1'dir. 30-60-90 üçgeninde kenarlar 1, √3 ve 2 olduğundan tan 30° = 1/√3 = √3/3 ve tan 60° = √3 bulunur. Eğim açısı 90°'yi aşarsa doğru azalır ve eğim negatiftir; bu durumda açının bütünleri alınır ve işaret eksi yapılır: tan(180° − α) = −tan α. Örneğin eğim açısı 135° olan doğrunun eğimi −tan 45°, yani −1'dir. Eğim açısı 0° ise doğru yatay, 90° ise dikeydir.

Eksenleri kesen doğru

Bir doğru x eksenini (a, 0), y eksenini (0, b) noktasında kesiyorsa bu iki nokta doğrudan eğimi verir: m = (b − 0)/(0 − a) = −b/a. Kesim noktalarının ikisi de pozitifse doğru, birinci bölgede eksenlerle bir üçgen oluşturur ve eğimi negatiftir. Biri pozitif biri negatifse eğim pozitif çıkar. Bu küçük kural, şekilli sorularda işareti hızlı denetlemeyi sağlar.

Doğrusallık

Üç noktanın aynı doğru üzerinde olup olmadığı, ilk derste uzaklıklar toplanarak sınanmıştı. Eğimle bu iş çok daha kısadır: A, B ve C doğrusalsa AB ile BC doğrularının eğimleri eşittir; eşit değilse üç nokta bir üçgen oluşturur. Köklü uzaklıklarla uğraşmak yerine iki kesir karşılaştırılır. Bu fikir bilinmeyen koordinatı bulmak için de kullanılır: üçüncü noktanın bir koordinatı bilinmiyorsa iki eğim eşitlenir ve birinci dereceden bir denklem çözülür. Bir doğru üzerinde, apsisi bilinen yeni bir noktanın ordinatı da aynı yolla bulunur: eğim bir adımda ne kadar yükseldiğini söyler, adım sayısıyla çarpılıp başlangıç ordinatına eklenir.

Eğim bir değişim hızıdır

Eğimin geometrik anlamının yanında bir de günlük anlamı vardır: yatay eksendeki büyüklük bir birim arttığında dikey eksendeki büyüklüğün ne kadar değiştiğini söyler. Grafik ve tablo problemlerinde yol-zaman grafiğinin eğiminin hız olduğunu görmüştük; saatte 80 kilometre giden bir aracın grafiği, eğimi 80 olan bir doğrudur. Bir depodan sabit hızla su boşaltılıyorsa hacim-zaman grafiğinin eğimi negatiftir ve mutlak değeri dakikada boşalan litreyi verir. Bir taksimetrenin ücret-kilometre grafiğinde eğim, kilometre başına ücrettir; açılış ücreti ise doğrunun dikey ekseni kestiği yerde okunur. Bu yorum, eğimin birimini de açıklar: eğim, dikey eksenin biriminin yatay eksenin birimine bölümüdür. Grafikle verilen bir soruda eğimi hesaplamak, çoğu zaman bu değişim hızını bulmak demektir.

Yüzde eğim

Gündelik hayatta eğim çoğunlukla yüzdeyle verilir. Yüzde 6 eğimli bir yol, eğimi 6/100 olan bir doğrudur: yatayda 50 metre ilerlendiğinde 3 metre yükselir. Rampalarda, çatılarda ve yollarda bu oran, ne kadar yatay mesafe gerektiğini hesaplamak için kullanılır; yükseklik bilindiğinde gereken yatay uzunluk, yüksekliğin eğime bölünmesiyle bulunur. Paralel ve dik doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi ise doğru denklemlerinden sonra, doğrular arası ilişkiler dersinde işleyeceğiz.

Örnek 1 — İki noktadan eğim

Soru: K(−1, 3) ve L(5, −1) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

• A) −4/3
• B) 5/4
• C) −2/3
• D) 3/4
• E) −6

Çözüm: Dikey değişim −1 − 3 = −4, yatay değişim 5 + 1 = 6'dır; eğim −4/6 = −2/3. Cevap: C.

Örnek 2 — Eğimden açıya

Soru: Başlangıç noktasından ve P(−1, √3) noktasından geçen doğrunun eğim açısı kaç derecedir?

• A) 120
• B) 150
• C) 45
• D) 30
• E) 135

Çözüm: Eğim √3/(−1) = −√3'tür; tanjantı √3 olan dar açı 60° olduğundan eğim açısı 180° − 60° = 120°. Cevap: A.

Örnek 3 — Doğrusallık

Soru: K(−2, 1), L(1, 3) ve M(7, k) noktaları aynı doğru üzerindedir. k değerini hesaplayınız.

• A) 5
• B) 9
• C) 4
• D) 11
• E) 7

Çözüm: KL'nin eğimi 2/3'tür. L'den M'ye yatay değişim 6 olduğundan dikey değişim 4; k = 3 + 4 = 7. Cevap: E.

Örnek 4 — Yüzde eğim

Soru: Yüzde 12 eğimli bir yol, yatayda 75 metre ilerlediğinde kaç metre yükselir?

• A) 12
• B) 9
• C) 0,9
• D) 6,25
• E) 15

Çözüm: Eğim 12/100'dür; 75 · 12/100 = 9 metre yükselme olur. Cevap: B.

• Farkları farklı sırayla almak. Pay ve payda aynı noktadan başlayarak yazılır.
• Eğimi yatay bölü dikey yazmak. Eğim dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
• Dikey doğruya eğim sıfır demek. Dikey doğrunun eğimi tanımsızdır; sıfır olan yatay doğrudur.
• Geniş eğim açısında işareti unutmak. 90°'den büyük açılarda eğim negatiftir.
• Eğimin mutlak değeri ile işaretini karıştırmak. Diklik mutlak değere, artma-azalma işarete bağlıdır.