Orta nokta ve bölen nokta

İki arkadaş, düz bir sahil yolunun iki ucunda oturuyor ve buluşmak istiyor. İkisi aynı hızda yürüyecekse en adil buluşma yeri yolun tam ortasıdır: ikisi de eşit yol alır. Ama biri bisikletle gelecek ve ötekinden iki kat hızlı ilerleyecekse, aynı anda varmak için buluşma noktası yürüyenin evine daha yakın seçilmelidir; yol üçe bölünür, bisikletli iki parça, yürüyen bir parça alır. İlk durumda yolu ortadan, ikincisinde 2'ye 1 oranında bölen noktayı arıyoruz. Haritayı koordinat düzlemine yerleştirirsek bu iki nokta, uç noktaların koordinatlarından birkaç toplama ve bölmeyle bulunur. Önceki derste iki nokta arasındaki uzaklığı hesapladık. Bu derste bir doğru parçasını ortadan ve verilen bir oranda bölen noktaları, bir noktaya göre simetriği, paralelkenarın eksik köşesini ve üçgenin ağırlık merkezini koordinatlarla buluyoruz.

• İki noktanın orta noktasını yazar, orta nokta ve bir uç verildiğinde öbür ucu bulursun.
• Bir noktanın başka bir noktaya göre simetriğini ve paralelkenarın dördüncü köşesini orta nokta fikriyle hesaplarsın.
• Bir doğru parçasını içten verilen oranda bölen noktayı ve parçayı eş parçalara ayıran noktaları bulursun.
• Doğru parçasını dıştan bölen noktayı adım yöntemiyle, üçgenin ağırlık merkezini ortalamayla yazarsın.

Orta nokta

Uçları A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) olan bir parçanın orta noktası M ise M'nin apsisi uçların apsislerinin, ordinatı uçların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Bunun nedeni basittir: A'dan B'ye giderken apsis x₂ − x₁ kadar, ordinat y₂ − y₁ kadar değişir. Orta noktaya ulaşmak için bu değişimlerin yarısı kadar ilerlemek yeterlidir; x₁ + (x₂ − x₁)/2 ifadesi sadeleşince ortalama elde edilir. Örneğin (−6, 1) ile (2, 9) noktalarının orta noktası (−2, 5)'tir.

Orta nokta ve bir uç verilmişse öbür uç ters yönde düşünülerek bulunur. M orta nokta olduğundan A'dan M'ye ne kadar gidiliyorsa M'den B'ye de o kadar gidilir. Bu yüzden B = 2M − A yazılabilir: B'nin apsisi 2 · M'nin apsisi eksi A'nın apsisi, ordinatı da benzer biçimdedir. Bu adımda en sık yapılan hata, orta noktayı uç sanıp uçlarla ortalamasını almaktır.

Noktaya göre simetri

Bir A noktasının M noktasına göre simetriği, M'nin tam ortada kaldığı A' noktasıdır. Yani M, AA' parçasının orta noktasıdır ve simetrik nokta A' = 2M − A ile bulunur. Önceki dersteki başlangıç noktasına göre simetri bunun özel hâlidir: M = (0, 0) alınınca A' = (−a, −b) olur. Simetri soruları çoğu zaman bir uzaklık ya da alan sorusunun ilk adımıdır.

Paralelkenarın dördüncü köşesi

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. ABCD paralelkenarında AC ve BD köşegenlerinin orta noktası aynı noktadır; bu da A + C = B + D eşitliğini verir, yani karşılıklı köşelerin koordinat toplamları eşittir. Üç köşe verilmişse dördüncü köşe D = A + C − B ile tek adımda yazılır. Dikkat: köşelerin sırası verilmediyse, yalnızca üç noktadan söz ediliyorsa, dördüncü köşe için üç farklı konum vardır, çünkü verilen üç noktadan hangisinin dördüncü köşenin karşısına düşeceği belli değildir. Sırası belli olan ABCD paralelkenarında ise yalnız bir çözüm vardır.

İçten bölen nokta

P noktası AB parçasının üzerinde ve AP/PB = m/n ise P, parçayı m'ye n oranında içten böler. P'ye A'dan başlayarak ulaşmak için toplam değişimin m/(m + n)'si kadar ilerlemek gerekir:

P = A + (m/(m + n)) · (B − A)

Aynı sonuç ağırlıklı ortalama biçiminde de yazılabilir: P = (n · A + m · B)/(m + n). Burada ağırlıkların çapraz yerleştiğine dikkat edilmelidir; P, kısa parçanın ucuna daha yakındır. AP/PB = 1/3 ise P, A'ya yakındır ve A'nın ağırlığı 3, B'nin ağırlığı 1 olur. Orta nokta bu formülün m = n durumudur.

Hesabı kolaylaştırmanın yolu, önce A'dan B'ye apsis ve ordinat değişimlerini yazmak, sonra bunları m + n eş adıma bölmektir. Örneğin A(0, 5) ile B(15, −10) arasında değişimler 15 ve −15'tir; parçayı 2'ye 3 oranında bölmek için beş adımın ikisi alınır ve P = (6, −1) bulunur. Aynı yöntem bir parçayı n eş parçaya bölen bütün noktaları da verir: değişimler n'ye bölünür ve A'dan başlanarak adım adım ilerlenir.

Dıştan bölen nokta

P noktası AB doğrusu üzerinde fakat parçanın dışında ve PA/PB = m/n ise P parçayı dıştan böler. Bu durumda formül ezberlemek yerine adım yöntemi güvenlidir. P hangi ucun ötesindeyse, o uç P'ye daha yakındır. Örneğin P, B'nin ötesindeyse PA uzun, PB kısa parçadır; PA = PB + AB eşitliği oranla birleştirilir ve AB'nin PB'nin kaç katı olduğu bulunur. Sonra B'den, A'dan B'ye giden yönde o kadar adım daha atılır. PA/PB = 3 ise PA = 3 · PB ve AB = 2 · PB olur; P, B'den AB'nin yarısı kadar ötededir.

Ağırlık merkezi

Kenarortay dersinde gördüğümüz gibi üçgenin ağırlık merkezi köşelerin ortalamasıdır: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3). Bu sonuç bölen nokta formülünden de çıkar: G, köşeden karşı kenarın orta noktasına giden kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında ayırır. Ağırlık merkezi ve iki köşe verilmişse üçüncü köşe C = 3G − A − B ile bulunur. Kenar orta noktalarının koordinat toplamı da köşelerinkine eşittir; bu yüzden orta noktaların oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezi asıl üçgeninkiyle aynıdır.

Orta nokta ile uzaklık birlikte

Orta nokta tek başına sorulduğu kadar başka bir hesabın ara adımı olarak da karşımıza çıkar. Kenarortay uzunluğu istendiğinde önce karşı kenarın orta noktası bulunur, sonra köşeyle bu nokta arasındaki uzaklık hesaplanır. Bir çemberin bir çapının uçları verildiğinde merkez bu iki ucun orta noktasıdır ve yarıçap merkezden uçlardan birine olan uzaklıktır. Bir dörtgenin paralelkenar olup olmadığı sorulduğunda iki köşegenin orta noktaları karşılaştırılır; aynı noktaya düşüyorlarsa köşegenler birbirini ortalar ve dörtgen paralelkenardır. Köşegenler ayrıca eşit uzunluktaysa dikdörtgen olduğu da anlaşılır. Böylece orta nokta, önceki dersin uzaklık formülüyle birleşince dörtgenleri sınıflandırmanın da aracı olur.

Hesap düzeni

Bu dersteki bütün soruların ortak bir iskeleti vardır: önce iki uç arasındaki değişim yazılır, sonra bu değişimin ne kadarının alınacağı oranla belirlenir. Apsis ve ordinat birbirinden bağımsız hesaplanır; birindeki işlem ötekini etkilemez. Bu yüzden çoğu soruda iki kısa hesap yeterlidir ve sonucu sınamak da kolaydır: bulunan noktanın uçlara uzaklıkları, istenen oranı vermelidir.

Örnek 1 — Uç noktayı bulmak

Soru: AB parçasının orta noktası M(−1, 4) ve A(3, −2) olduğuna göre B noktasını bulunuz.

• A) (1, 1)
• B) (2, 6)
• C) (−5, 10)
• D) (−4, 6)
• E) (5, −8)

Çözüm: B = 2M − A formülüyle apsis −2 − 3 = −5, ordinat 8 + 2 = 10 olur. Cevap: C.

Örnek 2 — İçten bölen nokta

Soru: A(−2, 1) ve B(10, 9) veriliyor. AB üzerinde AP/PB = 1/3 olacak biçimde alınan P noktası hangisidir?

• A) (1, 3)
• B) (7, 7)
• C) (4, 5)
• D) (2, 11/3)
• E) (4, 9)

Çözüm: Değişimler 12 ve 8'dir; dört adımın biri alınınca A'ya (3, 2) eklenir ve P = (1, 3). Cevap: A.

Örnek 3 — Paralelkenarın dördüncü köşesi

Soru: ABCD paralelkenarında A(2, −1), B(7, 1) ve C(9, 5) olduğuna göre D köşesi hangisidir?

• A) (14, 7)
• B) (0, −5)
• C) (5, 3)
• D) (6, 4)
• E) (4, 3)

Çözüm: A + C = B + D eşitliğinden D = (2 + 9 − 7, −1 + 5 − 1) = (4, 3). Cevap: E.

Örnek 4 — Dıştan bölen nokta

Soru: A(3, 1) ve B(7, 5) veriliyor. P noktası AB doğrusu üzerinde, B'nin ötesindedir ve PA = 3 · PB'dir. P hangisidir?

• A) (11, 9)
• B) (9, 7)
• C) (8, 6)
• D) (5, 3)
• E) (15, 13)

Çözüm: AB = 2 · PB olduğundan P, B'den AB'nin yarısı kadar ötededir; (4, 4)'ün yarısı (2, 2) eklenince P = (9, 7). Cevap: B.

• Orta noktayı uç sanmak. Orta nokta verilmişse öbür uç 2M − A ile bulunur, ortalamayla değil.
• Bölen noktada ağırlıkları düz yerleştirmek. AP/PB = m/n ise A'nın ağırlığı n, B'nin ağırlığı m'dir.
• Sırası verilmeyen üç noktadan tek dördüncü köşe çıkarmak. Sıra belli değilse üç olası köşe vardır.
• Dıştan bölmede P'yi yanlış ucun ötesine koymak. P, oranın küçük parçasının ucuna daha yakındır.
• Ağırlık merkezinde 2'ye bölmek. Üç köşenin ortalaması alınır.