Koordinat düzlemi ve iki nokta arası uzaklık

Sokakları dik açılarla kesişen bir mahallede oturuyorsunuz. Eczane evinizden üç sokak doğuda, dört sokak kuzeyde. Yürüyerek gidecekseniz binaların arasından kestiremezsiniz; önce üç blok doğuya, sonra dört blok kuzeye ilerler, toplam yedi blok yürürsünüz. Bir kuş ise evinizin çatısından eczanenin çatısına dümdüz uçar ve beş blokluk bir yol alır. İki yol arasındaki fark, yatay ve dikey uzaklıkların dik üçgenin dik kenarları, kuş uçuşu uzaklığın ise hipotenüs olmasından gelir. Mahallenin haritası bir koordinat düzlemidir; ev ve eczane birer nokta, sokak sayıları da bu noktaların koordinatlarıdır. Bu derste geometriyi sayılarla yapmanın ilk adımını atıyoruz: düzlemde noktaları konumlarıyla tanımlamak, eksenlere ve birbirlerine olan uzaklıklarını hesaplamak, bu uzaklıklarla üçgenlerin türünü ve alanını belirlemek.

• Bir noktanın koordinatlarını okur, işaretlerinden hangi bölgede olduğunu belirlersin.
• Noktanın eksenlere ve başlangıç noktasına uzaklığını, eksenlere ve başlangıç noktasına göre simetriğini yazarsın.
• İki nokta arasındaki uzaklığı Pisagor bağıntısından hesaplar, bilinmeyen koordinatı bu uzaklıktan bulursun.
• Koordinatları verilen üçgenin türünü kenar uzunluklarıyla, alanını taban-yükseklik ya da dikdörtgene tamamlama yöntemiyle bulursun.

Düzlem, eksenler ve bölgeler

Koordinat düzlemi, başlangıç noktası adı verilen O noktasında birbirine dik kesişen iki sayı doğrusundan oluşur. Yatay doğru x ekseni, dikey doğru y eksenidir. Düzlemdeki her nokta bir sıralı ikiliyle gösterilir: P(a, b) yazıldığında a apsis, yani noktanın yatay konumu; b ordinat, yani dikey konumudur. Sıra önemlidir; (2, 5) ile (5, 2) farklı noktalardır. Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır ve bölgeler saat yönünün tersine numaralanır. Birinci bölgede iki koordinat da pozitif, ikinci bölgede apsis negatif ve ordinat pozitif, üçüncü bölgede ikisi de negatif, dördüncü bölgede apsis pozitif ve ordinat negatiftir. Eksenlerin üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir: x ekseni üzerindeki noktanın ordinatı, y ekseni üzerindekinin apsisi sıfırdır.

Bölge sorularında koordinatların kendisi değil işaretleri önemlidir. a pozitif, b negatif verilmişse a − b pozitif, a · b negatif, b − a negatif olur; nokta bu işaretlerin hangi bölgeye karşılık geldiğine bakılarak yerleştirilir. İşaret tablosunu zihinde değil kâğıtta kurmak, özellikle iki bilinmeyenin farkı ya da bölümü sorulduğunda hatayı önler.

Eksenlere ve başlangıç noktasına uzaklık

P(a, b) noktasından x eksenine inen dikmenin uzunluğu ordinatın mutlak değeri |b|'dir; y eksenine olan uzaklık ise apsisin mutlak değeri |a|'dır. Burada en sık hata uzaklıkları ters eşlemektir: x eksenine uzaklık y koordinatına bağlıdır, çünkü x eksenine dik olan yön dikey yöndür. Başlangıç noktasına uzaklık için iki dikme bir dik üçgen kurar ve Pisagor bağıntısıyla |OP| = √(a² + b²) bulunur. Uzaklık her zaman pozitiftir; koordinatlar negatif olsa bile kareleri alındığı için işaret sonucu etkilemez.

Simetri

Bir noktanın x eksenine göre simetriği, eksenin öbür yanında aynı uzaklıkta duran noktadır; apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir: P(a, b) için (a, −b). y eksenine göre simetrikte apsis işaret değiştirir: (−a, b). Başlangıç noktasına göre simetrikte iki koordinat birden işaret değiştirir: (−a, −b). Bu durumda O noktası, P ile simetriğini birleştiren parçanın tam ortasındadır ve iki nokta arasındaki uzaklık |OP|'nin iki katıdır. y = x doğrusuna göre simetrikte ise koordinatlar yer değiştirir: (b, a). Simetri soruları çoğunlukla bir uzaklık sorusunun ilk adımı olarak gelir; önce simetrik nokta yazılır, sonra uzaklık hesaplanır.

İki nokta arasındaki uzaklık

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren parça, yatay kenarı |x₂ − x₁|, dikey kenarı |y₂ − y₁| olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor dersinde bu fikri bir kez görmüştük; genel biçimi

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

şeklindedir. Farkların hangi sırayla alındığı önemli değildir, çünkü kareleri eşittir. İki nokta aynı yatay doğru üzerindeyse ordinatlar eşittir ve uzaklık apsis farkının mutlak değeridir; aynı dikey doğru üzerindeyse ordinat farkının mutlak değeridir. Hesabı hızlandırmak için farklar önce ayrı ayrı bulunur ve tanıdık üçlülerle karşılaştırılır: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları. Farklar 10 ve 24 ise uzaklık hemen 26 yazılır.

Bilinmeyen koordinat

Uzaklık verilip bir koordinat sorulduğunda formül denkleme dönüşür. Bir farkın karesi bilinen bir sayıya eşit çıkar ve kare kökün iki işareti iki ayrı çözüm verir. Geometrik olarak bu, aranan noktanın verilen noktadan o uzaklıktaki iki konumundan birinde olabileceği anlamına gelir. Sorunun ek koşulu, örneğin noktanın hangi bölgede olduğu, çözümlerden birini eler. Bir de iki noktadan eşit uzaklıktaki nokta sorusu vardır: aranan nokta bir eksen üzerindeyse bir koordinatı sıfırdır, iki uzaklığın kareleri eşitlenir ve kareli terimler sadeleşip birinci dereceden bir denklem kalır.

Üç nokta aynı doğru üzerinde mi?

Uzaklıklar, üç noktanın bir üçgen kurup kurmadığını da söyler. Üçgen eşitsizliğine göre bir üçgende iki kenarın toplamı her zaman üçüncü kenardan büyüktür. Üç noktadan ikisinin arasındaki uzaklık, öbür iki uzaklığın toplamına tam olarak eşit çıkıyorsa üçgen kurulamaz: noktalar aynı doğru üzerindedir ve ortadaki nokta öbür ikisinin arasında yer alır. Örneğin (0, 0), (3, 4) ve (9, 12) noktalarında uzaklıklar 5, 10 ve 15'tir; 5 + 10 = 15 olduğundan üç nokta doğrusaldır. Bu sınama köklü uzaklıklarda zahmetli olabilir; eğim dersinde aynı soruyu çok daha kısa yoldan cevaplayacağız. Yine de uzaklıkla yapılan sınama, ortadaki noktanın hangisi olduğunu da gösterdiği için ayrı bir değer taşır.

Üçgenin türü ve alanı

Köşeleri verilen bir üçgenin üç kenarı uzaklık formülüyle bulunur. İki kenar eşitse üçgen ikizkenar, üçü eşitse eşkenardır. En uzun kenarın karesi diğer ikisinin kareleri toplamına eşitse üçgen diktir; büyükse geniş, küçükse dar açılıdır. Kökleri hesaplamak yerine kareleri karşılaştırmak işi kısaltır.

Alanda iki yol vardır. Kenarlardan biri eksenlere paralelse o kenar taban alınır ve karşı köşenin bu kenara uzaklığı yükseklik olur. Hiçbir kenar paralel değilse üçgen, kenarları eksenlere paralel en küçük dikdörtgenin içine yerleştirilir. Dikdörtgenden üçgenin dışında kalan dik üçgenler çıkarılır ve kalan, aranan alandır. Bu yöntem hiçbir yeni formül gerektirmez; yalnızca dik üçgenlerin alanlarını kullanır.

Örnek 1 — Uzaklık

Soru: A(−1, −2) ve B(8, 10) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

• A) 21
• B) 17
• C) √117
• D) 3√5
• E) 15

Çözüm: Apsis farkı 9, ordinat farkı 12'dir; 9-12-15 üçlüsünden uzaklık 15. Cevap: E.

Örnek 2 — Bilinmeyen ordinat

Soru: A(2, k) ile B(−1, 4) arasındaki uzaklık 5 birimdir. k'nin alabileceği değerlerin toplamını hesaplayınız.

• A) 8
• B) 0
• C) 4,5
• D) 16
• E) −8

Çözüm: 9 + (k − 4)² = 25 eşitliğinden k − 4 = ±4; k değerleri 8 ve 0 olduğundan toplam 8. Cevap: A.

Örnek 3 — Simetrik nokta

Soru: P(−2, 5) noktasının başlangıç noktasına göre simetriği P' olduğuna göre |PP'| ne kadardır?

• A) √29
• B) 14
• C) 2√29
• D) 10
• E) 4√5

Çözüm: P' = (2, −5) olur; farklar 4 ve 10 olduğundan |PP'| = √116 = 2√29. Cevap: C.

Örnek 4 — Eksen üzerinde eşit uzaklık

Soru: x ekseni üzerindeki bir nokta A(2, 3) ve B(6, 1) noktalarından eşit uzaklıktadır. Bu noktanın apsisi kaçtır?

• A) 4
• B) 3
• C) 2,5
• D) 5
• E) 1

Çözüm: (x − 2)² + 9 = (x − 6)² + 1 eşitliğinde kareli terimler sadeleşir ve 8x = 24 kalır; x = 3. Cevap: B.

• x eksenine uzaklığı apsisten almak. P(a, b)'nin x eksenine uzaklığı |b|'dir.
• Uzaklık formülünde farkların karesini almadan toplamak. Önce kareler, sonra karekök.
• Kare kökün negatif çözümünü atlamak. Bilinmeyen koordinat çoğu zaman iki değer alır.
• Eksen üzerindeki noktayı bir bölgeye yerleştirmek. Eksenler hiçbir bölgeye ait değildir.
• Simetrikte yanlış koordinatın işaretini değiştirmek. x eksenine göre ordinat, y eksenine göre apsis değişir.