Dairenin alanı ve çevresi

Bir fırın iki seçenek sunuyor: çapı 30 cm olan tek bir büyük pide ya da çapı 20 cm olan iki orta boy pide, aynı fiyata. İlk bakışta iki orta boy daha cömert görünür; çapların toplamı 40 cm eder. Oysa yiyeceğin miktarını çap değil yüzey belirler ve yüzey yarıçapın karesiyle büyür. Büyük pidenin yüzeyi 15 · 15 · π = 225π cm², iki orta boy pidenin toplam yüzeyi 2 · 10 · 10 · π = 200π cm²'dir; tek büyük pide daha çok yiyecek verir. Geçen dört derste kirişleri, çember açılarını, teğetleri ve nokta kuvvetini inceledik. Bu derste çemberin sınırladığı bölgeye, yani daireye geçiyoruz: çevresini, alanını, yarıçap değişince bu iki büyüklüğün nasıl değiştiğini ve daireyle çokgenlerin birlikte oluşturduğu bölgeleri hesaplıyoruz.

• Dairenin çevresini 2πr, alanını πr² ile hesaplar; birinden ötekine geçersin.
• Yarıçap k katına çıktığında çevrenin k, alanın k² katına çıktığını kullanırsın.
• Merkezdeş iki çemberin arasındaki halkanın alanını, gerekirse teğet kirişten bulursun.
• Kare, üçgen ve dikdörtgenle birlikte çizilen dairelerde boyalı bölgelerin alanını toplama ve çıkarma ile hesaplarsın.

π sayısı nereden gelir?

Hangi büyüklükte olursa olsun, her çemberin çevre uzunluğunu çapına bölmek aynı sayıyı verir. Bu sabit oranın adı π'dir ve değeri 3,14159… diye hiç tekrarlamadan süren irrasyonel bir sayıdır. Bütün çemberler birbirine benzer olduğundan bu oranın sabit kalması şaşırtıcı değildir: bir çemberi büyüttüğümüzde çevresi de çapı da aynı katla büyür, oranları değişmez. Sınav sorularında sonuç çoğu zaman π cinsinden bırakılır; 16π, 25π − 24 gibi. Soru metni "π = 3 alınız" ya da "π = 22/7 alınız" diyorsa bu bir yaklaşıklıktır ve yalnızca o soruda kullanılır. Hiçbir şey söylenmemişse π harf olarak kalır ve şıklar da π içerir.

Çevre

Çevre ile çap arasındaki oran π olduğuna göre çapı 2r olan bir çemberin uzunluğu

Ç = 2πr

olur. Bu uzunluk aynı zamanda dairenin çevresidir. Yarıçap yerine çap verilmişse doğrudan Ç = π · çap yazılabilir. Çevreden yarıçapa dönmek için çevre 2π'ye bölünür: çevresi 26π olan bir dairenin yarıçapı 13'tür. Tekerlek sorularında bir tam dönüşte alınan yol çevre kadardır; bu yüzden gidilen yol bir turluk yola bölünerek tur sayısı bulunur. Yol santimetreyle, sonuç metreyle istenebilir; birim dönüşümünü en sona bırakmak hatayı azaltır.

Alan

Bir daireyi merkezden geçen çok sayıda ince dilime ayırıp bu dilimleri sırayla bir yukarı, bir aşağı bakacak biçimde yan yana dizelim. Dilimler inceldikçe ortaya çıkan şekil bir dikdörtgene yaklaşır. Bu dikdörtgenin yüksekliği yarıçap kadardır; uzun kenarı ise çevrenin yarısıdır, çünkü çevrenin bir yarısı üstte, öteki yarısı altta kalmıştır. Böylece alan

A = πr · r = πr²

bulunur. Formülde yarıçap karesiyle girer; çap verilmişse önce ikiye bölmek gerekir. Çapı 16 olan bir dairenin alanı 256π değil 64π'dir. Alandan çevreye geçerken önce yarıçap bulunur: alanı 121π olan dairede r² = 121 ve r = 11, buradan çevre 22π.

Yarıçap değişince

Bütün daireler benzer olduğu için yarıçaplar oranı k ise çevreler oranı da k, alanlar oranı k²'dir. Yarıçap iki katına çıkarsa çevre iki katına, alan dört katına çıkar. Yüzde değişimlerde de aynı mantık işler: yarıçap yüzde 10 artarsa yeni yarıçap eskisinin 1,1 katıdır ve alan 1,21 katına, yani yüzde 21 artar. Bir de toplam değişim sorusu vardır: yarıçap sabit bir miktar artırılınca alan farkı (r + a)² − r² = 2ar + a² olarak yazılır ve yarıçap buradan çözülür. Kancadaki pide örneği de bu ilkeye dayanır; çapı 1,5 katına çıkan pidenin yüzeyi 2,25 katına çıkar, bu da iki küçük pideden fazladır.

Halka

Merkezleri aynı olan iki çemberin arasında kalan bölgeye halka denir. Alanı büyük dairenin alanından küçük dairenin alanı çıkarılarak bulunur:

A = π(R² − r²)

Burada yarıçapların farkının karesi değil, karelerinin farkı kullanılır. Halka sorularında sık görülen bir kurulum, büyük çemberin küçük çembere teğet olan kirişidir. Teğet derslerinden bildiğimiz gibi değme noktasındaki yarıçap kirişe diktir ve kirişi ortalar; yarım kirişin uzunluğu c ise Pisagor bağıntısıyla R² − r² = c² olur. Demek ki halkanın alanı yalnızca teğet kirişin uzunluğuna bağlıdır: πc². Yarıçapları ayrı ayrı bilmeden alan hesaplanabilir.

Çokgenle birlikte çizilen daireler

Kenarı a olan bir karenin içine çizilen dairenin çapı a'dır; yarıçap a/2 alınır. Karenin köşelerinden geçen dairenin çapı ise köşegen kadardır, yani a√2. Eşkenar üçgende iç teğet dairenin yarıçapı yüksekliğin üçte biri, çevrel dairenin yarıçapı yüksekliğin üçte ikisidir. Dik üçgende çevrel dairenin çapı hipotenüstür; çünkü dik açı, hipotenüsü gören bir çevre açıdır. Bu ilişkiler bilinince boyalı bölge soruları iki adıma iner: büyük şeklin alanı bulunur, içinden çıkarılan şekillerin alanı düşülür.

Birleşik bölgeler

Boyalı bölge soruları çoğu zaman alanı doğrudan hesaplanamayan bir parça gösterir. Çözüm, bu parçayı bilinen şekillerin toplamı ya da farkı olarak yazmaktır. Kare içindeki dairenin dışında kalan köşe bölgeleri kare eksi daireyle, yan yana teğet iki daireyi içine alan dikdörtgenin boş kısmı dikdörtgen eksi iki daireyle bulunur. Yarım daireler de bu yöntemle işlenir; yarım dairenin alanı tam dairenin yarısıdır. Eski Yunan matematikçisi Sakızlı Hipokrat'a atfedilen ayçık sonucu bunun en güzel örneğidir: dik üçgenin dik kenarları üzerine dışa doğru yarım daireler, hipotenüs üzerine de çevrel dairenin yarısı çizilirse, dışarıda kalan iki ayçığın alanları toplamı üçgenin alanına eşit çıkar. Pisagor bağıntısı yarım dairelerin alanlarını da bağladığı için π içeren terimler birbirini götürür.

Hesabı nereden başlatmalı?

Daire sorularında elde hangi büyüklük bulunursa bulunsun önce yarıçapa dönülür. Çap verilmişse ikiye bölünür, çevre verilmişse 2π'ye, alan verilmişse π'ye bölünüp karekök alınır. Yarıçap elde edildikten sonra istenen büyüklük tek adımda yazılır. Şekilli sorularda ise yarıçapı çokgenin bir uzunluğuna bağlayan ilişki aranır: karenin kenarı, köşegeni, üçgenin yüksekliği ya da hipotenüs. Açıyla belirlenen daire parçaları, yani daire dilimleri ve yay uzunlukları, sonraki dersin konusudur; bu derste yalnız tam daireler, yarım daireler ve halkalarla çalışıyoruz.

Örnek 1 — Çevreden alana

Soru: Çevresi 20π birim olan bir dairenin alanını bulunuz.

• A) 10π
• B) 100π
• C) 400π
• D) 20π
• E) 50π

Çözüm: 2πr = 20π eşitliğinden r = 10 bulunur; alan π · 10² = 100π. Cevap: B.

Örnek 2 — Halka

Soru: Merkezdeş iki çemberin yarıçapları 10 ve 6 birimdir. Aralarındaki halkanın alanını hesaplayınız.

• A) 16π
• B) 4π
• C) 136π
• D) 64π
• E) 32π

Çözüm: Halka alanı π(R² − r²) = π(100 − 36) = 64π. Yarıçap farkının karesi olan 16π yanlış sonuçtur. Cevap: D.

Örnek 3 — Karenin köşe bölgeleri

Soru: Kenarı 14 cm olan bir karenin içine kenarlarına teğet bir daire çiziliyor. π = 22/7 alınırsa karenin daire dışında kalan dört köşe bölgesinin toplam alanı kaç cm² olur?

• A) 42
• B) 154
• C) 49
• D) 98
• E) 147

Çözüm: Dairenin yarıçapı 7'dir ve alanı (22/7) · 49 = 154 olur. Karenin alanı 196 olduğundan köşe bölgeleri 196 − 154 = 42. Cevap: A.

Örnek 4 — Benzerlik oranı

Soru: İki dairenin çevreleri oranı 2/5'tir. Alanları oranı nedir?

• A) 5/2
• B) 4/5
• C) 8/125
• D) 2/5
• E) 4/25

Çözüm: Çevreler oranı yarıçaplar oranına eşittir; alanlar oranı bunun karesi olan 4/25'tir. Cevap: E.

• Çapı yarıçap yerine formüle koymak. Çap verilmişse önce ikiye bölünür; çapı 16 olan dairenin alanı 64π'dir.
• Halkada yarıçap farkının karesini almak. Halka alanı π(R² − r²) ile bulunur, π(R − r)² ile değil.
• Yarıçap k katına çıkınca alanı da k katı saymak. Alan k² katına çıkar.
• Yüzde artışları toplamak. Yarıçaptaki yüzde 30 artış alanı yüzde 60 değil, yüzde 69 artırır.
• Karenin çevrel dairesinde kenarı çap almak. Köşelerden geçen dairenin çapı köşegendir.