Daire dilimi ve yay uzunluğu

Yağmurlu bir günde bir otobüsün ön camına bakın. Silecek kolu bir uçtan öbür uca dönerken lastiği camda bir şerit temizler; şeridin biçimi tam bir daireden alınmış bir parçadır. Kolun dönme merkezi dairenin merkezi, kolun uzunluğu yarıçap, kolun taradığı açı ise merkez açıdır. Lastik kolun ucunda değil de bir bölümünde durduğu için temizlenen bölge bir dilimden küçük bir dilimin çıkarılmasıyla kalan parçadır. Silecek yarım tur dönseydi temizlenen alan yarım halka olurdu; dörtte bir tur dönerse dörtte biri. Önceki derste tam dairenin çevresini ve alanını bulduk. Bu derste dairenin bir merkez açıyla ayrılan parçalarına geçiyoruz: yay uzunluğu, daire dilimi, dilimin çevresi, kiriş ile yay arasında kalan daire parçası ve halka dilimi.

• Merkez açısı ve yarıçapı bilinen bir yayın uzunluğunu orantıyla hesaplarsın.
• Daire diliminin alanını açıyla ya da yay uzunluğuyla bulursun.
• Kiriş ile yay arasında kalan daire parçasının alanını dilimden üçgen çıkararak hesaplarsın.
• Kare ve üçgenle birlikte çizilen dilimlerde boyalı bölgeleri toplama ve çıkarma ile bulursun.

Açı ile orantı

Merkezde 360 derecelik tam bir dönüş vardır. Merkez açısı α olan bir yay tam çemberin α/360'ı, aynı açıyla ayrılan dilim de dairenin α/360'ıdır. Bu derslerdeki bütün formüller bu tek orantıdan doğar ve ezberlemek yerine her soruda orantıyı yeniden kurmak hatayı azaltır. 90° çeyrek, 180° yarım, 120° üçte bir, 60° altıda bir, 45° sekizde bir, 72° beşte bir, 30° on ikide birdir. Açının 360'ı tam bölmediği durumlarda kesir sadeleştirilerek ilerlenir: 80° dokuzda iki, 108° onda üç eder.

Yay uzunluğu

Merkez açısı α, yarıçapı r olan yayın uzunluğu çevrenin α/360'ıdır:

ℓ = 2πr · α/360

Örneğin yarıçapı 25 olan çemberde 36 derecelik merkez açının gördüğü yay 50π'nin onda biri, yani 5π uzunluğundadır. Burada iki kavram birbirinden ayrılmalıdır. Yayın derecesi merkez açıya eşittir ve çemberin büyüklüğünden bağımsızdır; yayın uzunluğu ise bir uzunluk birimiyle ölçülür ve yarıçapla orantılı büyür. İki farklı çemberde 50 derecelik iki yay aynı ölçüdedir ama uzunlukları farklıdır. Çevre açılarla çalışırken önce merkez açıya geçilir: bir çevre açı, gördüğü yayın derecesinin yarısıdır; yay uzunluğu hesaplanırken çevre açısının iki katı kullanılır.

Daire dilimi

İki yarıçap ile aralarındaki yayın sınırladığı bölgeye daire dilimi denir. Alanı dairenin alanının α/360'ıdır:

A = πr² · α/360

Bu formül yay uzunluğu cinsinden de yazılabilir. ℓ = 2πr · α/360 olduğundan πr² · α/360 = ℓ · r/2 elde edilir:

A = ℓ · r / 2

Bu biçim, açının verilmediği sorularda çok kullanışlıdır. Dilimin alanı ve yayı biliniyorsa yarıçap doğrudan bulunur; yarıçap ve yay biliniyorsa açıya hiç gerek kalmadan alan yazılır. Formül, dilimin taban yerine yayı, yükseklik yerine yarıçapı olan bir üçgen gibi davrandığını söyler. Çok ince bir dilim gerçekten de ince bir üçgene benzer.

Dilimin çevresi

Dilimin sınırı iki yarıçap ve bir yaydan oluşur; bu yüzden çevresi

Ç = 2r + ℓ

olur. En sık hata, iki yarıçapı unutup yalnızca yayı yazmaktır. Çevre ile yay birlikte verilirse yarıçap hemen çıkar: çevre eksi yay, iki yarıçapın toplamıdır. Sonra alan ℓ · r/2 ile hesaplanır ve π'ye hiç başvurmadan sonuç bulunabilir.

Daire parçası

Bir kiriş ile onun gördüğü yayın arasında kalan bölgeye daire parçası denir. Bu bölge, dilimden merkez ile kirişin oluşturduğu üçgen çıkarılarak bulunur. Üçgenin iki kenarı yarıçaptır ve aralarındaki açı merkez açıdır; üçgende alan dersindeki sinüslü formülle

Parça = πr² · α/360 − (1/2) · r² · sin α

yazılır. Açı 90° ise üçgen ikizkenar dik üçgendir ve alanı r²/2'dir. Açı 60° ise üçgen eşkenardır ve alanı r²√3/4'tür. Açı 120° ise sin 120° = sin 60° olduğundan üçgenin alanı r²√3/4 çıkar. Açı 180°'yi aşarsa büyük parça, tam daireden küçük parça çıkarılarak bulunur.

Halka dilimi

Merkezdeş iki çember ile iki yarıçapın sınırladığı bölge, kancadaki silecek şeridi gibi, bir halka dilimidir. Alanı büyük dilimden küçük dilimin çıkarılmasıyla hesaplanır:

A = π(R² − r²) · α/360

Halkada olduğu gibi burada da yarıçap karelerinin farkı kullanılır; açı yalnızca halkanın hangi kesrinin alındığını belirler.

Radyanla ölçmek

Açı derece yerine radyanla da ölçülebilir. Bir radyan, yarıçapa eşit uzunluktaki yayı gören merkez açıdır. Tam çevre 2πr olduğundan tam dönüş 2π radyandır; 180° ise π radyana karşılık gelir. Bu birimde formüller sadeleşir: merkez açısı θ radyan olan yayın uzunluğu ℓ = r · θ, dilimin alanı ise r² · θ/2 olur. Derece ile radyan arasında geçiş için 180° = π eşitliği yeterlidir; 60° π/3, 45° π/4, 120° 2π/3 radyandır. TYT sorularında açı çoğunlukla derece cinsinden verilir, ancak radyanla verilen bir soruyla karşılaşıldığında derecelere dönmeye gerek yoktur.

Yarıçap değişince dilimler

Aynı merkez açılı iki dilimden birinin yarıçapı ötekinin k katıysa, yayı da k katı, alanı ise k² katıdır. Bu, önceki dersteki benzerlik ilkesinin dilimlere uzanmasıdır. Silecek örneğine dönersek, kolu iki katı uzun bir silecek aynı açıyla dönerken dört kat alan temizler.

Saat ve dönen kollar

Saat sorularında yelkovan bir saatte 360°, dakikada 6° döner. Yelkovanın ucunun aldığı yol, yelkovan uzunluğunu yarıçap kabul eden bir yaydır; yelkovanın taradığı bölge de bir dilimdir. Akrep saatte 30°, dakikada yarım derece döner. Bir kolun belirli sürede ne kadar döndüğü bulunduktan sonra soru yay ya da dilim sorusuna dönüşür.

Boyalı bölgelerde dilimler

Kare ve üçgenle birlikte çizilen dilimler soru setlerinin en sık görülen kurulumudur. Karenin bir köşesini merkez alan, kenarı yarıçap olan dilim çeyrek dairedir. Eşkenar üçgenin köşelerini merkez alan dilimlerin her biri 60 derecelik bir dilimdir ve üç dilimin açıları toplamı 180° olduğundan toplam alan bir yarım daire eder. Karenin iki karşı köşesinden çizilen iki çeyrek daire ortada yaprak biçimli bir bölgede çakışır; yaprak, iki daire parçasının birleşimidir ve her parça çeyrek daireden üçgen çıkarılarak bulunur. Yöntem her zaman aynıdır: bölge, bilinen dilimler, üçgenler ve dörtgenler toplanıp çıkarılarak kurulur. Çizim yoksa şekli kâğıda çizip merkezleri ve yarıçapları işaretlemek, hangi dilimin hangi şekle eklendiğini görmenin en kısa yoludur.

Örnek 1 — Yay uzunluğu

Soru: Yarıçapı 20 olan bir çemberde 54 derecelik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulunuz.

• A) 3π
• B) 12π
• C) 6π
• D) 54π
• E) 9π

Çözüm: Çevre 40π'dir ve 54/360 = 3/20 olduğundan yay 40π · 3/20 = 6π. Cevap: C.

Örnek 2 — Yaydan alana

Soru: Yarıçapı 10 olan bir daire diliminin yay uzunluğu 6π'dir. Dilimin alanını hesaplayınız.

• A) 30π
• B) 60π
• C) 15π
• D) 36π
• E) 100π

Çözüm: A = ℓ · r/2 formülüyle 6π · 10/2 = 30π bulunur. Cevap: A.

Örnek 3 — Daire parçası

Soru: Merkez açısı dik olan bir kiriş, yarıçapı 10 birim olan çemberden bir parça ayırıyor. Kiriş ile küçük yay arasındaki parçanın alanı ne kadardır?

• A) 25π
• B) 100π − 50
• C) 25π − 100
• D) 50π − 50
• E) 25π − 50

Çözüm: Çeyrek dilim 25π, merkez ile kirişin oluşturduğu ikizkenar dik üçgen 50 birim karedir; fark 25π − 50. Cevap: E.

Örnek 4 — Dilimin çevresi

Soru: Yarıçapı 5, merkez açısı 144° olan bir daire diliminin çevresini yazınız.

• A) 4π
• B) 5 + 4π
• C) 10 + 2π
• D) 10 + 4π
• E) 10π

Çözüm: Yay 10π · 144/360 = 4π, iki yarıçap 10 eder; çevre 10 + 4π. Cevap: D.

• Yayın derecesi ile uzunluğunu karıştırmak. Derece merkez açıdır, uzunluk ise yarıçapa bağlıdır.
• Çevre açısını merkez açı gibi kullanmak. Yay uzunluğunda çevre açısının iki katı alınır.
• Dilimin çevresinde yarıçapları unutmak. Çevre 2r + ℓ olarak yazılır.
• Daire parçasında üçgeni çıkarmayı unutmak. Parça, dilim eksi üçgendir.
• Halka diliminde yarıçap farkının karesini almak. R² − r² kullanılır.