Çemberde uzunluk ve kuvvet

Bir fener, yuvarlak bir havuzun kenarından içeri ışık tutuyor. Fenerden çıkan bir ışın havuzun kenarını iki noktada kesiyor; fenere yakın noktaya uzaklık ile uzak noktaya uzaklığın çarpımı ölçülüyor. Fener başka bir doğrultuda tutulduğunda ışın kenarı başka iki noktada kesiyor ve uzaklıklar değişiyor; ama çarpım değişmiyor. Işın havuzun kenarına yalnızca değip geçecek biçimde tutulduğunda iki kesim noktası birleşiyor ve bu teğet uzunluğunun karesi, yine aynı çarpımı veriyor. Fenerin yeri değişmediği sürece bu sayı sabittir; ona fenerin havuza göre kuvveti denir. Önceki derslerde çemberin kirişlerini, açılarını ve teğetlerini gördük. Bu derste bir noktadan geçen doğruların çemberi kestiği parçalar arasındaki çarpım eşitliklerini işliyoruz: içeride kesişen kirişler, dışarıda kesişen kesenler, teğet ile kesen ve bütün bu eşitlikleri birleştiren nokta kuvveti kavramı.

• Kirişler çemberin içinde kesiştiğinde parçalar için PA · PB = PC · PD eşitliğini kullanırsın.
• Dışarıdaki bir noktadan çıkan kesenler için PA · PB = PC · PD, teğet ve kesen için PT² = PA · PB eşitliğini uygularsın.
• Bir noktanın çembere göre kuvvetini merkeze uzaklık ve yarıçapla hesaplarsın.
• Çapa dik kirişte ve merkezden geçen kesende kuvvet eşitliğini kullanarak yarıçapı ya da uzunlukları bulursun.

İçeride kesişen kirişler

AB ve CD kirişleri çemberin içinde bir P noktasında kesişsin. PAC ve PDB üçgenlerinde P'deki açılar karşılıklı durdukları için eşittir; A ve D'deki açılar ise aynı CB yayını gören çevre açılar olarak eşittir. AA kuralına göre bu üçgenler benzerdir ve PA/PD = PC/PB orantısından

PA · PB = PC · PD

bulunur. Her kiriş, kesişim noktası tarafından iki parçaya ayrılır ve iki kirişin parça çarpımları eşittir. Bir kirişin parçaları biliniyorsa, öteki kirişin bir parçasından diğeri bulunur.

Dışarıda kesişen kesenler

P noktası çemberin dışında olsun ve ondan iki kesen çıksın; birinci kesen çemberi önce A, sonra B noktasında, ikinci kesen önce C, sonra D noktasında kessin. Burada PA ve PC dış parçalar, PB ve PD kesenlerin bütün uzunluklarıdır. Yine benzer üçgenler kurulur ve

PA · PB = PC · PD

eşitliği elde edilir: her kesen için dış parça ile bütün kesenin çarpımı aynıdır. En sık hata, bütün kesen yerine çember içindeki kiriş parçasını kullanmaktır; çarpımda P'den uzak kesim noktasına kadar olan uzunluk yer alır.

Teğet ve kesen

Dış P noktasından bir teğet ve bir kesen çizilirse teğet, kesenin iki kesim noktasının birleştiği sınır durumudur. Değme noktası T ise

PT² = PA · PB

olur. Kanıt için PTA ve PBT üçgenleri karşılaştırılır: P açısı ortaktır ve teğet-kiriş açısı ile çevre açı aynı yayı gördüğü için eşittir; benzerlik PT/PB = PA/PT verir. Bu eşitlik, teğet uzunluğundan kesenin bir parçasını ya da kesenden teğeti bulmanın en kısa yoludur.

Noktanın kuvveti

Bu üç eşitlik tek bir fikirde birleşir. Bir P noktasından geçen ve çemberi kesen her doğru için, P'den iki kesim noktasına olan uzaklıkların çarpımı doğrudan bağımsızdır. Bu sabit sayıya P noktasının çembere göre kuvveti denir. Merkezden geçen kesen düşünülerek kuvvet merkez uzaklığı d ve yarıçap r ile yazılır: P dışarıdaysa uzaklıklar d − r ve d + r'dir ve çarpım d² − r²'dir; bu, teğet uzunluğunun karesiyle aynıdır. P içerideyse çaptaki parçalar r − d ve r + d'dir ve çarpım r² − d² olur. P çemberin üzerindeyse kuvvet sıfırdır. Kancadaki fenerin sabit sayısı bu kuvvettir.

Çapa dik kiriş

Bir çapa dik olan kiriş, çapı H noktasında kessin. Kiriş, merkezden geçen çapa dik olduğu için H noktasında ortalanır; kirişin yarısı CH ise kirişler kuralı CH · CH = AH · HB verir. Yani yarım kiriş, çap üzerindeki iki parçanın geometrik ortasıdır: CH² = AH · HB. Bu sonuç, Öklid bağıntılarındaki h² = p · k eşitliğinin çember içindeki karşılığıdır; çapı gören çevre açı dik olduğu için iki bağıntı aslında aynı dik üçgenden gelir.

Merkezden geçen kesen

Dış noktadan çizilen kesen merkezden geçiyorsa bütün kesen, dış parça ile çapın toplamıdır. Teğet uzunluğu ve dış parça verildiğinde PT² = PA · (PA + 2r) denkleminden yarıçap bulunur. Bu yol, bir çemberin yarıçapını çember dışından yapılan iki ölçümle belirlemeyi sağlar.

Doğru parçayı seçmek

Kuvvet sorularında en önemli adım, çarpıma hangi uzunlukların gireceğine karar vermektir. Her zaman P noktasından başlanır ve P'den iki kesim noktasına olan uzaklıklar alınır. İçerideki noktada bu iki uzunluk kirişin iki parçasıdır; dışarıdaki noktada dış parça ve bütün kesendir. Şekilde verilen uzunluk bir kiriş parçasıysa önce dış parçaya eklenerek bütün kesen bulunur.

Kuvvetin işareti

Kuvvet tanımı d² − r² olarak genişletilirse, işareti noktanın yerini gösterir. Nokta dışarıdaysa d > r'dir ve kuvvet pozitiftir; bu durumda kuvvet teğet uzunluğunun karesidir. Nokta çemberin üzerindeyse kuvvet sıfırdır, çünkü kesim noktalarından biri noktanın kendisidir. Nokta içerideyse d < r'dir ve d² − r² negatif çıkar; bu sayının mutlak değeri, noktadan geçen her kirişin iki parçasının çarpımıdır. Bu yüzden içerideki bir noktadan geçen bütün kirişler arasında parça çarpımı aynıdır ve bu çarpım, noktanın merkeze uzaklığı arttıkça küçülür. Merkezde ise çarpım r²'ye, yani en büyük değerine ulaşır. Örneğin r = 5 iken merkezden 3 birim ötedeki bir noktadan geçen her kirişin parça çarpımı 25 − 9 = 16'dır; merkezden geçen kiriş 2 ve 8 birimlik parçalara ayrılır, buna dik kiriş ise 4 ve 4 birimlik parçalara.

Hangi eşitlik?

Bir kuvvet sorusunda ilk iş, kesişim noktasının çemberin içinde mi dışında mı olduğunu belirlemektir. İçerideyse iki kirişin parça çarpımları eşitlenir. Dışarıdaysa her kesen için dış parça ile bütün kesen çarpılır; teğet varsa teğetin karesi aynı sayıya eşitlenir. Merkezin yeri ve yarıçap biliniyorsa bu ortak sayı doğrudan d ve r ile hesaplanabilir ve kesenlere ya da kirişlere uygulanır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kesişen kirişlerde, kesenlerde ya da teğet ile kesende eksik parçayı; bir noktanın kuvvetini ya da teğet uzunluğunu; çapa dik kirişin uzunluğunu; merkezden geçen kesenle yarıçapı ve iç noktanın merkeze uzaklığını ister.

Örnek 1 — Kesişen kirişler

Soru: İçeride bir noktada kesişen iki kirişin parçaları PA = 6, PB = 10 ve PC = 4'tür. PD uzunluğunu bulunuz.

• A) 12
• B) 7,5
• C) 15
• D) 24
• E) 2,4

Çözüm: PA · PB = PC · PD eşitliğinden 60 = 4 · PD ve PD = 15. Cevap: C.

Örnek 2 — Teğet ve kesen

Soru: Dış bir noktadan çizilen kesenin dış parçası 4, bütün uzunluğu 16 birimdir. Teğetin uzunluğunu bulunuz.

• A) 8
• B) 16
• C) 10
• D) 64
• E) 4√3

Çözüm: PT² = 4 · 16 = 64 olduğundan PT = 8. Cevap: A.

Örnek 3 — Kesenler

Soru: P'den çıkan iki kesenden birinin dış parçası 2, bütün uzunluğu 12; ötekinin dış parçası 3'tür. İkinci kesenin bütün uzunluğunu hesaplayınız.

• A) 6
• B) 16
• C) 4,5
• D) 8
• E) 9

Çözüm: 2 · 12 = 3 · PD eşitliğinden PD = 8. Cevap: D.

Örnek 4 — Kuvvet

Soru: Yarıçapı 8 olan bir çemberin merkezine 17 birim uzaklıktaki bir noktanın kuvveti ve teğet uzunluğu nedir? Teğet uzunluğunu seçiniz.

• A) 9
• B) 25
• C) 225
• D) 17
• E) 15

Çözüm: Kuvvet 289 − 64 = 225'tir; teğet uzunluğu bunun karekökü, 15. Cevap: E.

• Kesende bütün kesen yerine kiriş parçasını almak. Çarpımda P'den uzak kesim noktasına kadar olan uzunluk kullanılır.
• Teğet-kesen eşitliğinde teğetin karesini unutmak. PT² = PA · PB.
• İç noktanın kuvvetinde d² − r² yazmak. İçeride r² − d² alınır.
• Çapa dik kirişte bütün kirişi kareye koymak. Eşitlik yarım kiriş içindir.
• Parçaları farklı noktalardan ölçmek. Bütün uzunluklar aynı P noktasından ölçülür.