Teğet özellikleri

Bir bisikletin zinciri iki dişli çarkın üzerinden geçer. Zincirin düz uzanan kısmı her iki çarka da yalnızca bir noktada değer ve o noktada çarkın merkezinden gelen yarıçapa diktir. Zincirin iki çark arasındaki düz kısmının uzunluğu, çarkların yarıçaplarından ve merkezleri arasındaki uzaklıktan hesaplanabilir; bir dik üçgen çizmek yeterlidir. Aynı fikir, bir noktadan bir çembere çizilen teğetlerin uzunluğunu, bir üçgenin içine yerleştirilen çemberin kenarlara değdiği noktaları ve bir dörtgenin içine çember çizilip çizilemeyeceğini de belirler. Önceki iki derste çemberin kirişlerini ve açılarını gördük. Bu derste teğetleri işliyoruz: teğet ile yarıçap arasındaki diklik, dış bir noktadan çizilen iki teğetin eşitliği, teğetler dörtgeni, üçgenin iç teğet çemberi ve iki çemberin ortak teğetleri.

• Teğet ile değme noktasına uzanan yarıçap arasındaki dikliği kullanarak teğet uzunluğunu bulursun.
• Dış bir noktadan çizilen iki teğetin eşit olduğunu ve teğetler arasındaki açı ile merkez açının bütünler olduğunu uygularsın.
• Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar toplamlarının eşitliğini ve üçgende iç teğet çemberin değme noktalarını kullanırsın.
• İki çemberin dış ve iç ortak teğet uzunluklarını hesaplarsın.

Teğet ve yarıçap

Çembere tek bir noktada değen doğruya teğet, bu noktaya değme noktası denir. Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Bunun nedeni, merkezin teğet doğruya en kısa uzaklığının dikme boyunca olması ve teğetin bütün noktalarının, değme noktası dışında, çemberin dışında kalmasıdır; bu en kısa uzaklık yarıçapın kendisidir. Bu diklik, teğet içeren her sorunun ilk adımıdır: merkez, değme noktası ve teğet üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur.

Dış noktadan çizilen teğetler

Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere iki teğet çizilebilir. Değme noktaları A ve B, merkez O olsun. OAP ve OBP dik üçgenlerinde OA = OB yarıçaptır ve OP ortak hipotenüstür; bu yüzden iki üçgen eştir ve PA = PB olur: dış bir noktadan çizilen iki teğet eşit uzunluktadır. Aynı eşlikten OP doğrusunun P'deki açıyı ve O'daki merkez açıyı ikiye böldüğü de çıkar. Teğet uzunluğu t, merkezin P'ye uzaklığı d ise

t = √(d² − r²)

olur. OAPB dörtgeninde A ve B'deki açılar dik olduğundan, P'deki teğetler arası açı ile O'daki merkez açının toplamı 180°'dir.

Teğetler dörtgeni

Dört kenarı da bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Her köşeden çizilen iki teğet parçası eşit olduğu için, dört köşenin teğet parçaları dört harfle adlandırılır ve her kenar iki parçanın toplamı olur. Karşılıklı kenarlar toplandığında iki tarafta da dört parçanın hepsi bir kez yer alır; bu yüzden

AB + CD = BC + DA

olur. Bir dörtgenin içine çember çizilebilmesi için karşılıklı kenar toplamlarının eşit olması gerekir. Eşkenar dörtgen ve kare bu koşulu her zaman sağlar; dikdörtgen ise ancak kare ise sağlar. Teğetler dörtgeninin çevresi, karşılıklı kenarlardan birinin toplamının iki katıdır.

Üçgenin iç teğet çemberi

Bir üçgenin üç kenarına teğet olan çembere iç teğet çember denir; merkezi açıortayların kesişim noktasıdır. Her köşeden çizilen iki teğet parçası eşit olduğu için A köşesinden değme noktalarına uzaklık x, B'den y, C'den z ise x + y = c, y + z = a ve z + x = b olur. Üçü toplanınca x + y + z = u (yarı çevre) bulunur ve her parça, yarı çevreden karşı kenarın çıkarılmasıyla elde edilir: x = u − a. Alan, Alan = r · u bağıntısıyla yarıçapa bağlanır. Dik üçgende, dik köşedeki iki teğet parçası r'ye eşit olduğu için r = (a + b − c)/2 bulunur; burada c hipotenüstür.

İki çemberin ortak teğetleri

İki çembere aynı anda teğet olan doğruya ortak teğet denir. Çemberler birbirinin dışındaysa iki tür ortak teğet vardır. Dış ortak teğet, iki çemberi aynı tarafta bırakır; değme noktaları arasındaki uzunluğu, merkezler arası d ve yarıçaplar r₁ ile r₂ için √(d² − (r₁ − r₂)²) olur. İç ortak teğet, merkezlerin arasından geçer ve çemberleri farklı taraflarda bırakır; uzunluğu √(d² − (r₁ + r₂)²)'dir. İki formül de aynı yoldan gelir: merkezlerden teğete inilen yarıçaplar paraleldir ve bir merkezden teğete paralel bir doğru çizilince, hipotenüsü d olan bir dik üçgen oluşur; bu üçgenin bir dik kenarı yarıçapların farkı ya da toplamı, öteki dik kenarı aranan teğet uzunluğudur. Kancadaki bisiklet zincirinin düz kısmı, iki dişlinin dış ortak teğetidir.

Üçüncü teğet ve çevre

Dış bir P noktasından çembere iki teğet çizilsin ve değme noktaları A ile B olsun. Bu iki teğeti, A ile B arasındaki küçük yay üzerindeki bir noktada çembere teğet olan üçüncü bir doğru K ve L noktalarında kessin. PKL üçgeninin çevresi, K ve L'nin yerinden bağımsız olarak, PA + PB'ye, yani teğet uzunluğunun iki katına eşittir. Bunun nedeni, K'den çizilen iki teğet parçasının ve L'den çizilen iki teğet parçasının eşit olmasıdır: KL kenarı, KA ve LB parçalarının toplamına eşit çıkar ve bu parçalar PK ile PL'ye eklendiğinde PA ve PB tamamlanır. Bu sonuç, teğet uzunluklarının eşitliğinin bir uygulamasıdır ve sınav sorularında sık karşılaşılır. Üçüncü teğet P'ye ne kadar yakın çizilirse çizilsin, oluşan üçgenin çevresi değişmez.

Teğet sorularında plan

Teğet içeren sorularda ilk adım, değme noktalarına giden yarıçapları çizip dik açıları işaretlemektir. Ardından dış noktalardan çizilen eşit teğet parçaları aynı harfle adlandırılır. Uzunluk isteniyorsa merkez, değme noktası ve dış noktanın oluşturduğu dik üçgende Pisagor teoremi kullanılır; açı isteniyorsa teğetler arası açı ile merkez açının bütünler olduğu ve OP'nin açıları ikiye böldüğü kullanılır. İki çember söz konusuysa merkezleri birleştiren doğru çizilir ve ortak teğete paralel bir yardımcı doğru ile dik üçgen kurulur; oluşan dik üçgende en uzun kenar daima merkezler arası uzaklıktır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri teğet uzunluğunu ya da merkeze uzaklığı, teğetler arası açıyı ya da merkez açıyı, teğetler dörtgeninde eksik kenarı ya da çevreyi, iç teğet çemberin yarıçapını ya da teğet parçalarını ve iki çemberin ortak teğet uzunluğunu ister.

Örnek 1 — Teğet uzunluğu

Soru: Yarıçapı 7 olan bir çemberin merkezine 25 birim uzaklıktaki bir noktadan çembere çizilen teğetin uzunluğunu bulunuz.

• A) 18
• B) 32
• C) 24
• D) 26
• E) 4√34

Çözüm: Teğet yarıçapa diktir: t = √(625 − 49) = 24. Cevap: C.

Örnek 2 — Teğetler dörtgeni

Soru: ABCD teğetler dörtgeninde AB = 8, BC = 11 ve CD = 13'tür. DA ne uzunluktadır?

• A) 16
• B) 10
• C) 15
• D) 3√5
• E) 19

Çözüm: AB + CD = BC + DA eşitliğinden 21 = 11 + DA ve DA = 10. Cevap: B.

Örnek 3 — İç teğet çember

Soru: Bir dik üçgenin dik kenarları 5 ile 12 birimdir; üç kenara da değen bir çember çiziliyor. Bu çemberin yarıçapı nedir?

• A) 2,4
• B) 3
• C) 6
• D) 1,5
• E) 2

Çözüm: r = (5 + 12 − 13)/2 = 2. Alanı yarı çevreye bölmek de 2 verir. Cevap: E.

Örnek 4 — Dış ortak teğet

Soru: Yarıçapları 11 ve 3, merkezleri arası 17 birim olan iki çemberin dış ortak teğetinin uzunluğunu hesaplayınız.

• A) 15
• B) 14
• C) √217
• D) 8
• E) 17

Çözüm: √(289 − 64) = √225 = 15. Cevap: A.

• Teğet ile yarıçap arasındaki dikliği kullanmamak. Teğet sorusunun ilk adımı bu dik üçgeni kurmaktır.
• Teğet uzunluğunda d² + r² yazmak. d hipotenüstür: t = √(d² − r²).
• Teğetler dörtgeninde komşu kenarları toplamak. Eşit olanlar karşılıklı kenar toplamlarıdır.
• İç ve dış ortak teğette farkı ile toplamı karıştırmak. Dış ortak teğette fark, iç ortak teğette toplam kullanılır.
• Teğetler arası açıyı merkez açıya eşit sanmak. İkisi bütünlerdir.