Çemberde açılar

Yarım daire biçiminde bir amfide oturan öğrenciler, sahnenin iki kenarındaki direklere bakıyor. Sahne kenarları çemberin iki noktası, öğrenciler de çemberin geri kalan yayı üzerinde oturuyor olsun. En sağdaki öğrenci ile en soldaki öğrenci, iki direk arasını farklı yerlerden görür; ama ikisinin gözünden direklere çizilen çizgiler arasındaki açı aynıdır. Çemberin aynı yayını gören bütün çevre açılar eşittir ve hepsi, o yayı merkezden gören açının tam yarısıdır. Sahne çemberin bir çapı boyunca uzanıyorsa bu açı her öğrenci için 90°'dir. Bir önceki derste çemberin kiriş ve uzunluk özelliklerini gördük. Bu derste açılara geçiyoruz: merkez açı ve çevre açı arasındaki ilişki, çapı gören açı, teğet ile kiriş arasındaki açı, kirişlerin içeride ve kesenlerin dışarıda kesişmesiyle oluşan açılar ve köşeleri çember üzerinde olan dörtgenler.

• Merkez açının gördüğü yaya eşit, çevre açının gördüğü yayın yarısı olduğunu kullanırsın.
• Aynı yayı gören çevre açıların eşitliğini ve çapı gören açının dik olduğunu uygularsın.
• Teğet-kiriş açısını, çemberin içinde ve dışında kesişen doğruların oluşturduğu açıları yaylardan hesaplarsın.
• Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler olduğunu kullanırsın.

Yayın ölçüsü ve merkez açı

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir yayın ölçüsü, o yayı gören merkez açının ölçüsüne eşit kabul edilir: merkez açı 80° ise gördüğü yay da 80°'dir. Bütün çemberin yayı 360°'dir; bir çap çemberi 180°'lik iki yaya ayırır. Bu dersteki bütün kurallar, açıları yaylar cinsinden yazmaya dayanır; bu yüzden ilk iş, istenen açının hangi yayı ya da yayları gördüğünü belirlemektir.

Çevre açı

Köşesi çember üzerinde, kolları çemberin kirişi olan açıya çevre açı denir. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır. Kanıt için çevre açının bir kolunun merkezden geçtiği durum düşünülür: merkezi çevre açının köşesine birleştiren yarıçap bir ikizkenar üçgen oluşturur ve merkez açı bu üçgenin dış açısı olarak çevre açının iki katına eşit çıkar. Genel durum, merkezden geçen yardımcı bir çap çizilerek bu duruma indirgenir.

Bu kuraldan iki önemli sonuç çıkar. Birincisi, aynı yayı gören bütün çevre açılar eşittir; kancadaki öğrencilerin hepsi direkleri aynı açıyla görür. İkincisi, çapı gören çevre açı 90°'dir, çünkü çap 180°'lik bir yayı görür. Bu yüzden bir çemberde çapın uçları ile çember üzerindeki herhangi bir noktadan oluşan üçgen bir dik üçgendir ve çap bu üçgenin hipotenüsüdür.

Teğet-kiriş açısı

Çembere bir noktada teğet olan doğru ile o noktadan çizilen bir kiriş arasındaki açıya teğet-kiriş açısı denir. Bu açı da gördüğü yayın, yani teğet ile kiriş arasında kalan yayın yarısıdır. Teğet-kiriş açısı, köşesi teğet noktasına kayan bir çevre açının sınır durumu olarak düşünülebilir. Bu yüzden bir teğet-kiriş açısı, aynı yayı gören bütün çevre açılara eşittir.

Çemberin içinde kesişen kirişler

İki kiriş çemberin içinde bir noktada kesişirse oluşan açı, kendisinin ve ters açısının gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır:

iç açı = (birinci yay + ikinci yay)/2

Kanıt için kirişlerin uçlarından biri öteki kirişin bir ucuna birleştirilir; oluşan üçgende iç açı, iki çevre açının toplamı olan bir dış açıdır. Kesişim noktası merkez olursa iki yay eşit olur ve kural merkez açıya döner.

Çemberin dışında kesişen doğrular

İki kesen, bir kesen ile bir teğet ya da iki teğet çemberin dışında bir noktada kesişirse oluşan açı, kolların arasında kalan büyük yay ile küçük yayın farkının yarısıdır:

dış açı = (büyük yay − küçük yay)/2

Kanıt yine bir yardımcı kiriş ve bir dış açı ilişkisiyle yapılır: büyük yayı gören çevre açı, küçük yayı gören çevre açı ile dış açının toplamıdır. İki teğet durumunda büyük ve küçük yaylar birlikte bütün çemberi oluşturur; toplamları 360° olduğu için tek bir yay bilindiğinde ötekisi hemen bulunur.

Kirişler dörtgeni

Dört köşesi de aynı çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşılıklı iki açı, çemberi oluşturan iki yayı görür; bu iki yayın toplamı 360° olduğundan açıların toplamı 180°'dir. Yani kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir. Tersi de doğrudur: karşılıklı açıları bütünler olan dörtgenin köşeleri bir çember üzerindedir. Dikdörtgen, kare ve ikizkenar yamuk bu yüzden her zaman bir çembere çizilebilir; genel paralelkenar ise dikdörtgen değilse çizilemez.

Çembere içten çizilmiş üçgen

Köşeleri çember üzerinde olan bir üçgenin her açısı, karşısındaki yayın yarısıdır. Bu yüzden üç yayın ölçüleri bir oranla verilmişse, yaylar 360° oranlanarak bulunur ve her açı karşısındaki yayın yarısı alınarak hesaplanır. Açıların toplamının 180° olduğu da buradan kendiliğinden çıkar, çünkü üç yayın toplamı 360°'dir. Üçgenin en büyük açısı en büyük yayın karşısındadır ve bir yay 180°'yi aşıyorsa karşısındaki açı geniştir.

Açıyı yaya, yayı açıya çevirmek

Çember sorularında en güvenilir yöntem, bütün açıları yaylar cinsinden yazmaktır. Şekildeki her çevre açı, gördüğü yayın yarısı olarak; her merkez açı, gördüğü yayın kendisi olarak işaretlenir. Yaylar çemberin tamamını oluşturduğu için toplamları 360°'dir ve bu tek eşitlik çoğu zaman eksik yayı verir. Bir yay bulunduktan sonra o yayı gören bütün açılar aynı anda bilinir. Bu yaklaşım, karmaşık görünen bir şekilde bile her adımın tek bir kurala dayanmasını sağlar ve aynı açıyı iki farklı yoldan hesaplayarak sonucu denetleme imkânı verir.

Hangi kural?

Bir açının hangi kuralla hesaplanacağı, köşesinin yerine bakılarak belirlenir. Köşe merkezdeyse merkez açı kuralı, çember üzerindeyse çevre açı ya da teğet-kiriş açısı kuralı, çemberin içinde ama merkezde değilse iç açı kuralı, çemberin dışındaysa dış açı kuralı kullanılır. Köşenin yeri belirlendikten sonra açının kollarının çemberi hangi noktalarda kestiği işaretlenir ve kolların arasında kalan yaylar okunur. Dört köşesi çember üzerinde olan bir dörtgen görüldüğünde ise karşılıklı açıların bütünler olduğu hemen kullanılır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri merkez açıyı, çevre açıyı ya da gördükleri yayı; aynı yayı gören açıları; teğet-kiriş açısını; içeride ve dışarıda kesişen doğruların oluşturduğu açıyı ya da eksik yayı; kirişler dörtgeninde ve çembere çizilmiş üçgende açıları ister.

Örnek 1 — Çevre açı

Soru: Bir çemberde 110°'lik yayı gören çevre açının ölçüsü ne kadardır?

• A) 110
• B) 55
• C) 220
• D) 70
• E) 35

Çözüm: Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır: 110/2 = 55. Cevap: B.

Örnek 2 — İç açı

Soru: Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açı ile ters açısı, ölçüleri 50° ve 90° olan iki yayı görüyor. Bu açı ne kadardır?

• A) 140
• B) 20
• C) 40
• D) 70
• E) 45

Çözüm: İç açı yayların toplamının yarısıdır: (50 + 90)/2 = 70. Cevap: D.

Örnek 3 — Dış açı

Soru: Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesen arasında kalan yaylar 160° ve 40°'dir. Kesenler arasındaki açıyı bulunuz.

• A) 100
• B) 80
• C) 60
• D) 30
• E) 40

Çözüm: Dış açı yayların farkının yarısıdır: (160 − 40)/2 = 60. Cevap: C.

Örnek 4 — Kirişler dörtgeni

Soru: ABCD kirişler dörtgeninde m(B) = 2 · m(D)'dir. m(D) ne kadardır?

• A) 60
• B) 108
• C) 90
• D) 45
• E) 30

Çözüm: Karşılıklı açılar bütünlerdir: 3 · m(D) = 180 ve m(D) = 60. Cevap: A.

• Çevre açıyı yaya eşit almak. Yaya eşit olan merkez açıdır; çevre açı yarısıdır.
• İç açıda yayların farkını almak. İçeride kesişen kirişlerde toplamın yarısı alınır.
• Dış açıda yayların toplamını almak. Dışarıda kesişen doğrularda farkın yarısı alınır.
• Kirişler dörtgeninde komşu açıları bütünler sanmak. Bütünler olanlar karşılıklı açılardır.
• Teğet-kiriş açısını yayın tamamı sanmak. Bu açı da yayın yarısıdır.