Çemberde temel elemanlar

Kırık bir tabağın yalnızca bir parçası elinizde kaldı ve tabağın ilk hâlinin ne büyüklükte olduğunu bulmak istiyorsunuz. Parçanın kenarı üzerinde iki nokta seçip aralarını bir cetvelle ölçün; sonra bu doğru parçasının ortasından ona dik bir çizgi çekin. Aynı işi kenar üzerinde başka iki nokta için tekrarlayın. İki dik çizginin kesiştiği nokta, tabağın merkezidir; merkezden kenara olan uzaklık da yarıçap. Bu yöntemin işe yaramasının nedeni, çemberin bir kirişine ortasından çizilen dikmenin her zaman merkezden geçmesidir. Önceki modüllerde doğrularla sınırlanan şekilleri inceledik. Bu modülde eğri bir şekle, çembere geçiyoruz. İlk derste çemberin temel elemanlarını, merkezden kirişe inen dikmenin kirişi ortalamasını ve buradan çıkan uzunluk bağıntılarını, bir noktanın ve bir doğrunun çembere göre konumunu ve iki çemberin birbirine göre konumlarını işliyoruz.

• Çemberin merkez, yarıçap, çap, kiriş, yay, kesen ve teğet gibi elemanlarını ayırt edersin.
• Merkezden kirişe inen dikmenin kirişi ortaladığını kullanarak kiriş uzunluğunu, yarıçapı ya da merkeze uzaklığı bulursun.
• Bir noktanın ve bir doğrunun çembere göre konumunu merkeze uzaklık ile yarıçapı karşılaştırarak belirlersin.
• İki çemberin birbirine göre konumunu merkezler arası uzaklıktan bulur, kesişen çemberlerin ortak kirişini hesaplarsın.

Elemanlar

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine çember denir. Sabit nokta merkez, bu uzaklık yarıçaptır (r). Çember yalnızca eğri çizgidir; çember ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş, merkezden geçen kirişe çap denir; çap yarıçapın iki katıdır ve en uzun kiriştir. Çemberin iki noktası arasında kalan parçasına yay denir. Çemberi iki noktada kesen doğru kesen, tek noktada değen doğru teğettir.

Merkezden kirişe dikme

AB bir kiriş ve O merkez olsun. OA ve OB yarıçap olduğu için OAB üçgeni ikizkenardır. İkizkenar üçgende tepeden tabana inen dikme tabanı ortaladığından, merkezden kirişe inen dikme kirişi iki eşit parçaya böler. Dikmenin ayağı H ise AH = HB'dir ve OHA bir dik üçgendir. Merkezin kirişe uzaklığı d, yarıçap r, kirişin uzunluğu k ise

(k/2)² + d² = r², yani k = 2√(r² − d²)

olur. Bu tek dik üçgen, kiriş sorularının neredeyse tamamını çözer: üç büyüklükten ikisi biliniyorsa üçüncüsü bulunur. Kancadaki kırık tabakta kullanılan özellik de budur: kirişin ortasından çizilen dikme merkezden geçer.

Kirişler ve merkeze uzaklık

Bağıntı, kiriş uzunluğu ile merkeze uzaklık arasındaki ilişkiyi gösterir: merkeze yakın kiriş uzundur, uzak kiriş kısadır. En uzun kiriş merkezden geçen kiriş, yani çaptır. Eşit uzunluktaki kirişler merkezden eşit uzaklıktadır; tersi de doğrudur. Sorularda iki kirişin eşitliği verildiğinde merkeze uzaklıklarının da eşit olduğu hemen kullanılır.

Paralel kirişler

İki paralel kiriş arasındaki uzaklık, her birinin merkeze uzaklığı ayrı ayrı bulunarak hesaplanır. Kirişler merkezin aynı tarafındaysa uzaklıkların farkı, farklı taraflarındaysa toplamı alınır. Soruda hangi durumun söz konusu olduğu belirtilmemişse iki cevap da mümkün olabilir; bu yüzden şekil ya da metin dikkatle okunur.

Nokta ve doğrunun konumu

Bir noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptan küçükse nokta çemberin içinde, eşitse üzerinde, büyükse dışındadır. Bir doğrunun konumu da merkezin doğruya uzaklığına bakılarak belirlenir: uzaklık yarıçaptan küçükse doğru çemberi iki noktada keser ve kesendir; eşitse çembere tek noktada değer ve teğettir; büyükse doğru çemberle hiç kesişmez. Teğetin değme noktasındaki yarıçapa dik olduğu bu karşılaştırmadan da görülür: merkezin doğruya en kısa uzaklığı dikme boyuncadır ve teğette bu uzaklık yarıçapın ta kendisidir. Bir dış noktadan çembere çizilebilecek iki teğet ile teğetlerin uzunlukları bir sonraki derslerde ayrıca işlenecektir.

İki çemberin konumu

Yarıçapları r₁ ≥ r₂ ve merkezleri arasındaki uzaklık d olan iki çember için beş durum vardır. d > r₁ + r₂ ise çemberler birbirinin dışındadır ve kesişmez. d = r₁ + r₂ ise dıştan teğettir ve tek noktada değer. r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ ise iki noktada kesişir. d = r₁ − r₂ ise içten teğettir. d < r₁ − r₂ ise küçük çember büyüğün içinde kalır ve kesişmez; d = 0 ise çemberler aynı merkezlidir. Kesişme koşulu, merkezler ve bir kesişim noktasının oluşturduğu üçgen için yazılan üçgen eşitsizliğinden başka bir şey değildir.

Ortak kiriş

İki çember iki noktada kesişiyorsa bu iki noktayı birleştiren doğru parçasına ortak kiriş denir. Merkezleri birleştiren doğru ortak kirişi dik keser ve ortalar, çünkü her iki çemberin merkezinden kirişe inen dikme kirişin ortasına düşer. Ortak kirişin yarısı h, merkezlerden birinin kirişe uzaklığı x olsun. İki dik üçgende h² = r₁² − x² ve h² = r₂² − (d − x)² yazılır; iki eşitlikten x, sonra h bulunur.

Çemberin simetrisi

Çember, merkezinden geçen her doğruya göre simetriktir; bu yüzden sonsuz sayıda simetri ekseni vardır. Bir kirişin orta dikmesi merkezden geçtiği için o kirişe göre de bir simetri ekseni oluşur. Bu simetri, çember sorularında şekli iki eş yarıya ayırmayı ve yalnızca bir yarıda hesap yapmayı mümkün kılar. Örneğin bir kirişin iki ucundaki açılar, merkezden kirişe inen dikmeye göre birbirinin aynasıdır; bir kiriş üzerindeki bir noktanın kirişin ortasına uzaklığı biliniyorsa, merkeze uzaklığı da bu dikme boyunca kurulan bir dik üçgenle bulunur.

Kiriş sorularında plan

Kiriş içeren hemen her soru aynı adımlarla çözülür. Önce merkezden ilgili kirişe bir dikme çizilir ve kirişin yarısı işaretlenir. Sonra merkeze, kirişin bir ucuna ve dikme ayağına dayanan dik üçgen kurulur; bu üçgenin hipotenüsü her zaman yarıçaptır. Verilen iki büyüklük bu üçgene yerleştirilir ve Pisagor teoremiyle üçüncüsü bulunur. Birden fazla kiriş varsa her biri için ayrı bir dik üçgen kurulur ve sonuçlar konumlarına göre toplanır ya da çıkarılır. Bu düzen, çember konusunun sonraki derslerinde de temel araç olarak kullanılacaktır; açılar ve teğetler eklendiğinde bile ilk adım çoğu zaman bu dik üçgeni kurmaktır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kiriş uzunluğunu, yarıçapı ya da merkezin kirişe uzaklığını; paralel kirişler arasındaki uzaklığı; bir noktanın, doğrunun ya da iki çemberin konumunu; kesişen iki çemberin ortak kirişini ve merkezler arası uzaklığın aralığını ister.

Örnek 1 — Kiriş uzunluğu

Soru: Yarıçapı 26 birim olan bir çemberde, merkeze 10 birim uzaklıktaki kirişin uzunluğunu bulunuz.

• A) 24
• B) 44
• C) 48
• D) 52
• E) 2√194

Çözüm: Kirişin yarısı √(676 − 100) = 24'tür; kiriş 48. Cevap: C.

Örnek 2 — Yarıçap

Soru: Uzunluğu 16 olan bir kiriş, çemberin merkezine 15 birim uzaklıktadır. Çemberin yarıçapı ne kadardır?

• A) 17
• B) 23
• C) 31
• D) 15
• E) √161

Çözüm: Kirişin yarısı 8'dir; r = √(64 + 225) = 17. Cevap: A.

Örnek 3 — İki çemberin konumu

Soru: Yarıçapları 6 ve 2 birim olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 10 birimdir. Bu çemberlerin konumu hangisidir?

• A) Dıştan teğet
• B) İki noktada kesişir
• C) İçten teğet
• D) Birbirinin dışında, kesişmez
• E) Biri ötekinin içinde

Çözüm: r₁ + r₂ = 8 < 10 olduğundan çemberler birbirinin dışındadır. Cevap: D.

Örnek 4 — Paralel kirişler

Soru: Yarıçapı 5 birim olan bir çemberde merkezin aynı tarafında, uzunlukları 8 ve 6 olan iki paralel kiriş var. Kirişler arasındaki uzaklığı hesaplayınız.

• A) 7
• B) 1
• C) 2
• D) 2,5
• E) 5

Çözüm: Merkeze uzaklıklar 3 ve 4'tür; aynı tarafta oldukları için fark alınır: 1. Cevap: B.

• Kirişin tamamını dik üçgene koymak. Dik üçgende kirişin yarısı kullanılır.
• Çember ile daireyi karıştırmak. Çember eğri çizgi, daire iç bölgeyle birlikte alandır.
• Paralel kirişlerde konumu düşünmeden toplamak. Aynı taraftaysa fark, farklı taraftaysa toplam alınır.
• İki çemberde yalnızca toplamla karşılaştırmak. İçten teğet ve iç içe durumlar için fark da denetlenir.
• Merkeze uzak kirişi uzun sanmak. Merkeze uzaklık arttıkça kiriş kısalır.