Yamuk

Bir barajın kesitine ya da bir çatının yan duvarına bakın: tabanda geniş, tepede dar, üst ve alt kenarı birbirine paralel bir şekil. Bir oluğun, bir abajurun yan yüzünün ya da bir masa ayağının yan görünüşü de aynı biçimdedir. Bu şekillerin alanını bulmak için iki paralel kenarın ortalaması alınır ve aralarındaki yükseklikle çarpılır; sanki şekil, kenarları bu ortalama kadar olan bir dikdörtgene dönüştürülmüş gibi. Bu ortalama uzunluk, şeklin tam ortasından paralel kenarlara paralel geçen doğru parçasının uzunluğudur. Önceki derslerde iki çift kenarı paralel olan dörtgenleri gördük. Bu derste yalnızca bir çift kenarı paralel olan dörtgeni, yamuğu işliyoruz: açı özellikleri, orta taban, alan, ikizkenar ve dik yamuk, köşegenlerin orta noktaları ve köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamuk.

• Yamukta aynı yan kenara bitişik açıların bütünler olduğunu kullanırsın.
• Orta tabanın tabanların ortalaması olduğunu ve alanın orta taban ile yüksekliğin çarpımı olduğunu kullanırsın.
• İkizkenar ve dik yamukta yüksekliği, yan kenarı ya da köşegeni Pisagor teoremiyle bulursun.
• Köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklığı ve köşegenleri dik ikizkenar yamuğun özel alan bağıntısını kullanırsın.

Tanım ve açılar

Karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti paralel olan dörtgen yamuk adını alır. Paralel kenarlara tabanlar, öteki iki kenara yan kenarlar adı verilir; tabanlar arasındaki dik uzaklık yamuğun yüksekliğidir. Tabanlar paralel olduğu için bir yan kenar iki paralel doğruyu kesen bir doğru gibidir ve bu kenara bitişik iki açı, aynı taraftaki iç açılar olarak bütünlerdir. Bu yüzden yamukta alt tabandaki bir açı biliniyorsa, aynı yan kenarın üst ucundaki açı 180°'den çıkarılarak bulunur. Yamuğun iç açıları toplamı da her dörtgende olduğu gibi 360°'dir.

Orta taban

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına yamuğun orta tabanı denir. Orta taban tabanlara paraleldir ve uzunluğu tabanların ortalamasıdır:

orta taban = (a + c)/2

Kanıt için bir köşegen çizilir; köşegen yamuğu iki üçgene ayırır. Orta taban bu iki üçgenin her birinde bir orta taban parçası oluşturur: biri büyük tabanın yarısı, öteki küçük tabanın yarısı uzunluğundadır. İki parçanın toplamı (a + c)/2'dir. Orta taban, kancadaki ortalama uzunluğun ta kendisidir.

Alan

Yamuğun alanı, bir köşegenle ayrılan iki üçgenin alanları toplanarak bulunur. İki üçgenin yükseklikleri yamuğun yüksekliğine eşittir ve tabanları a ve c'dir:

Alan = (a + c)/2 · h

Yani alan, orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır. Tabanlar ve yükseklik biliniyorsa alan doğrudan, alan ve yükseklik biliniyorsa orta taban ve dolayısıyla tabanların toplamı bulunur.

İkizkenar yamuk

Yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta aynı tabana bitişik açılar eşittir ve köşegenler eşittir. Küçük tabanın uçlarından büyük tabana yükseklikler inilirse ortada bir dikdörtgen, iki yanda iki eş dik üçgen oluşur. Her dik üçgenin tabanı (a − c)/2'dir. Bu yüzden yan kenar b ise yükseklik

h = √(b² − ((a − c)/2)²)

olur. Taban açısı 45° ise yükseklik bu yatay parçaya eşittir; 60° ise yan kenar yatay parçanın iki katıdır. Köşegen, yüksekliğin ayağından karşı köşeye uzanan bir dik üçgenin hipotenüsüdür; bu dik üçgenin yatay kenarı (a + c)/2 olduğundan köşegen √(h² + ((a + c)/2)²) bulunur.

Dik yamuk

Bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Dik kenar yamuğun yüksekliğidir. Eğik yan kenar, yüksekliği ve tabanlar farkını dik kenar olarak alan bir dik üçgenin hipotenüsüdür: eğik kenar = √(h² + (a − c)²). Dik yamuk sorularında bu tek dik üçgen çoğu zaman eksik uzunluğu verir.

Köşegenlerin orta noktaları

Bir yamukta iki köşegenin orta noktaları orta taban üzerindedir. Orta taban köşegenlerle üç parçaya bölünür: iki uçtaki parçalar küçük tabanın yarısıdır, ortadaki parça ise tabanlar farkının yarısıdır. Yani köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklık (a − c)/2'dir. Bu sonuç orta taban formülünün bir başka okumasıdır: c/2 + (a − c)/2 + c/2 = (a + c)/2.

Köşegenleri dik ikizkenar yamuk

İkizkenar bir yamuğun köşegenleri dik kesişiyorsa, köşegenlerin kesişim noktası iki ikizkenar dik üçgenin tepesidir: biri üst tabana, öteki alt tabana dayanır. Bu üçgenlerin yükseklikleri tabanlarının yarısıdır; bu yüzden yamuğun yüksekliği (a + c)/2 olur, yani orta tabana eşittir. Alan da orta tabanın karesine eşit çıkar. Köşegenleri dik olduğu için alan köşegenlerin çarpımının yarısı olarak da yazılabilir ve iki hesap da aynı değere ulaşır.

Yan kenarları uzatmak

Bir yamuğun yan kenarları uzatılırsa, eşit olmadıkları sürece, büyük tabanın karşı tarafında bir noktada kesişir. Bu durumda küçük taban, büyük tabanla birlikte oluşan üçgenin içinde ona paralel bir doğru parçasıdır ve benzerlik dersindeki bütün araçlar kullanılabilir: küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir ve benzerlik oranı küçük tabanın büyük tabana oranıdır. Yamuğun alanı, büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak da bulunabilir. Bu yol özellikle yan kenarlar ya da kesişim noktasına uzaklıklar verildiğinde işe yarar; eksik uzunluklar oranla bulunur.

Köşegenlerin ayırdığı alanlar

Alan oranları dersinde gördüğümüz gibi yamuğun köşegenleri onu dört üçgene ayırır. Yan kenarlar üzerine kurulu iki üçgen eşit alanlıdır; tabanlara dayanan iki üçgen ise benzerdir ve alanları tabanlar oranının karesi oranındadır. Yan üçgenlerden birinin alanı, taban üçgenlerinin alanları çarpımının kareköküdür. Bu ilişkiler, yamuğun yalnızca bazı parçalarının alanı verildiğinde toplam alanı bulmayı sağlar; dört parçanın toplamı her zaman yamuğun alanına eşittir.

Doğru yolu seçmek

Yamuk sorularında ilk iş yamuğun türünü belirlemektir. İkizkenar yamukta iki yandan yükseklik inilir ve iki eş dik üçgen oluşur; dik yamukta tek bir yükseklik yeterlidir; genel yamukta ise iki farklı dik üçgen oluşur ve yan kenarlar ayrı ayrı ele alınır. Ardından sorunun istediği büyüklüğe göre orta taban, Pisagor teoremi ya da benzerlik seçilir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri yamukta bir açıyı, orta tabanı ya da bir tabanı, alanı ya da yüksekliği, ikizkenar ve dik yamukta yan kenarı ya da köşegeni, köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklığı ve köşegenleri dik ikizkenar yamuğun alanını ister.

Örnek 1 — Alan

Soru: Tabanları 9 ve 15 cm, yüksekliği 7 cm olan bir yamuğun alanını bulunuz.

• A) 168
• B) 84
• C) 72
• D) 63
• E) 105

Çözüm: Orta taban (9 + 15)/2 = 12'dir; alan 12 · 7 = 84. Cevap: B.

Örnek 2 — İkizkenar yamukta yükseklik

Soru: Tabanları 7 ve 19, yan kenarları 10 birim olan ikizkenar yamuğun yüksekliği ne kadardır?

• A) 6
• B) 4√6
• C) 8
• D) 2√19
• E) 12

Çözüm: Yan dik üçgenlerin tabanı (19 − 7)/2 = 6'dır; h = √(100 − 36) = 8. Cevap: C.

Örnek 3 — Köşegenlerin orta noktaları

Soru: Tabanları 9 ve 23 birim olan bir yamukta köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.

• A) 16
• B) 14
• C) 4,5
• D) 11,5
• E) 7

Çözüm: Uzaklık tabanlar farkının yarısıdır: (23 − 9)/2 = 7. Cevap: E.

Örnek 4 — Dik yamuk

Soru: Tabanları 5 ve 17, yüksekliği 9 birim olan dik yamuğun eğik yan kenarını bulunuz.

• A) 15
• B) 13
• C) 3√13
• D) 9
• E) 18

Çözüm: Eğik kenar, dik kenarları 9 ve 17 − 5 = 12 olan üçgenin hipotenüsüdür: 15. Cevap: A.

• Orta tabanı tabanlar toplamı sanmak. Orta taban tabanların ortalamasıdır.
• İkizkenar yamukta yan dik üçgenin tabanını tabanlar farkı almak. Fark iki yana paylaşılır: (a − c)/2.
• Dik yamukta tabanlar farkını ikiye bölmek. Dik yamukta eğik kenarın altındaki parça farkın tamamıdır.
• Köşegenlerin orta noktaları arasını orta taban sanmak. Bu uzaklık (a − c)/2'dir.
• Aynı tabandaki açıları bütünler sanmak. Bütünler olanlar aynı yan kenara bitişik açılardır.