Dikdörtgen ve kare

Bir marangoz yeni yaptığı bir pencere kasasının köşelerinin gerçekten dik olup olmadığını anlamak için gönye kullanmaz; şerit metreyle iki köşegeni ölçer. Köşegenler eşitse kasa dikdörtgendir, biri ötekinden uzunsa kasa yamulmuştur ve bir paralelkenara dönmüştür. Bu pratik yöntem, dikdörtgeni öteki paralelkenarlardan ayıran özelliğe dayanır: köşegenlerin eşitliği. Kare ise hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; ikisinin bütün özelliklerini birden taşır. Bir önceki iki derste paralelkenarı ve eşkenar dörtgeni gördük. Bu derste dikdörtgende köşegen, alan ve çevre ilişkilerini, köşegenlerin oluşturduğu üçgenleri, dikdörtgenin içindeki bir noktanın köşelere uzaklıkları arasındaki şaşırtıcı eşitliği, karenin köşegen ve alan bağıntılarını ve karenin içinde kurulan şekilleri işliyoruz.

• Dikdörtgende köşegenin √(a² + b²) olduğunu, köşegenlerin eşit olduğunu ve birbirini ortaladığını kullanırsın.
• Alan, çevre ve köşegen arasındaki bağıntılarla eksik bir büyüklüğü bulursun.
• Dikdörtgenin içindeki bir P noktası için PA² + PC² = PB² + PD² eşitliğini kullanırsın.
• Karede köşegeni a√2, alanı a² = d²/2 olarak kullanır, kare içindeki üçgen ve karelerin alanlarını hesaplarsın.

Dikdörtgen

Bütün açıları dik olan dörtgene dikdörtgen denir. Karşılıklı açıları eşit olduğu için dikdörtgen bir paralelkenardır; karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir, köşegenleri birbirini ortalar. Kenarları a ve b ise çevre 2(a + b), alan a · b'dir. Bir köşegen dikdörtgeni iki dik üçgene ayırır ve Pisagor teoremi köşegeni verir:

d = √(a² + b²)

Dikdörtgenin iki köşegeni eşittir; ikisi de aynı dik kenarlara sahip dik üçgenlerin hipotenüsüdür. Kancadaki marangozun kullandığı özellik budur ve tersi de geçerlidir: köşegenleri eşit olan paralelkenar dikdörtgendir. Dikdörtgenin iki simetri ekseni vardır: karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren iki doğru. Köşegenler ise, kare dışında, simetri ekseni değildir; bir köşegen boyunca katlanan dikdörtgenin iki yarısı üst üste gelmez.

Köşegenlerin oluşturduğu üçgenler

Köşegenler eşit olduğu ve birbirini ortaladığı için kesişim noktası O'dan dört köşeye uzaklıklar eşittir: OA = OB = OC = OD = d/2. Bu yüzden köşegenler dikdörtgeni dört ikizkenar üçgene ayırır. Karşılıklı üçgenler eştir. Köşegenler arasındaki açı 60° ise, bu açının karşısındaki kenar d/2'ye eşit olur ve küçük üçgen eşkenar üçgendir. O noktası dikdörtgenin dört köşesinden geçen çemberin merkezidir; bu çemberin yarıçapı köşegenin yarısıdır.

Alan, çevre ve köşegen

Dikdörtgende üç büyüklük, a + b, a · b ve a² + b², birbirine bağlıdır: (a + b)² = a² + b² + 2ab. Bu özdeşlik, çevre ile köşegenden alanı ya da alan ile köşegenden çevreyi tek adımda verir. Örneğin köşegenin karesi ve alan biliniyorsa (a + b)² hesaplanır ve karekök alınarak yarı çevre bulunur. Kenarlar bir oranla verilmişse kenarlar k cinsinden yazılır ve köşegen ya da alan koşulundan k bulunur.

Çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanı karedir. Yarı çevre s ise kenarlar a ve s − a olur ve alan a(s − a), a = s/2 iken en büyüktür. Bu sonuç, sabit uzunlukta bir çitle en büyük dikdörtgen alanın kare biçiminde çevrilmesi gerektiğini söyler.

İçteki bir nokta

ABCD dikdörtgeninin içinde bir P noktası alınsın. P'nin köşelere uzaklıkları arasında şu eşitlik vardır:

PA² + PC² = PB² + PD²

Kanıt için P'den kenarlara dikmeler çizilir ve dikdörtgen dört küçük dikdörtgene ayrılır. P'nin sol ve sağ kenarlara uzaklıkları x ve y, alt ve üst kenarlara uzaklıkları z ve t olsun. Pisagor teoremiyle PA² = x² + z², PC² = y² + t², PB² = y² + z² ve PD² = x² + t² bulunur. Karşılıklı köşelere uzaklıkların kareleri toplanınca iki tarafta da x² + y² + z² + t² çıkar. Bu eşitlik P nerede seçilirse seçilsin geçerlidir; karşılıklı köşelerin eşleştirilmesine dikkat edilmesi yeterlidir.

Kare

Dört kenarı birbirine eşit, dört açısı dik olan dörtgen kare adını alır. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir: köşegenleri eşittir, birbirini dik ortalar ve köşe açılarını ikiye böler. Bir karenin köşegeni, kenar uzunluğunun √2 katıdır. Alan a² olarak, ya da köşegenler dik olduğu için d²/2 olarak yazılabilir. Köşegen ile kenar arasındaki açı 45°'dir; köşegen kareyi iki ikizkenar dik üçgene böler. Karenin dört simetri ekseni vardır: iki köşegen ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren iki doğru.

Karenin içindeki şekiller

Karenin kenar orta noktaları birleştirilirse yeni bir kare oluşur. Bu karenin kenarı, kenarları a/2 olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür: a√2/2. Alanı a²/2, yani büyük karenin yarısıdır; köşelerde kesilen dört üçgenin her biri büyük karenin sekizde biridir. Bir köşeden karşı kenarlardan birinin ortasına uzanan doğru parçası ise dik kenarları a ve a/2 olan üçgenin en uzun kenarıdır; uzunluğu a√5/2 çıkar. Karenin içinde köşelere ve kenar orta noktalarına dayanan üçgenlerin alanı istendiğinde, büyük karenin alanından dışta kalan dik üçgenlerin alanları çıkarılır; bu yol, eğik bir üçgenin tabanını ve yüksekliğini aramaktan çok daha kısadır.

Kareler arasındaki ilişkiler

Kenar uzunlukları a ile b olan iki karenin alanları arasındaki fark, iki kare farkı özdeşliğiyle (a − b)(a + b) biçiminde çarpanlara ayrılır. Kenarların toplamı ya da farkı verildiğinde bu çarpanlara ayırma ötekini hemen verir. Aynı özdeşlik, iç içe yerleşmiş iki kare arasındaki şerit biçimli bölgenin alanını hesaplamakta da kullanılır.

Dikdörtgen mi, paralelkenar mı?

Bir dörtgenin dikdörtgen olduğunu göstermek için açıların hepsini ölçmeye gerek yoktur. Paralelkenar olduğu bilinen bir dörtgende tek bir açının dik olması yeterlidir, çünkü ardışık açılar bütünler ve karşılıklı açılar eşittir. Köşegenlerin eşitliği de yeterlidir; kancadaki marangozun yöntemi bu ölçüte dayanır. Kareyi tanımak için ise ek olarak ya iki komşu kenarın eşitliği ya da köşegenlerin dikliği gösterilir. Bu ölçütler, sorularda dolaylı verilen bilgilerin hangi özel dörtgeni işaret ettiğini anlamayı kolaylaştırır ve doğru formülün seçilmesini sağlar.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri dikdörtgende köşegeni, alanı, çevreyi ya da bir kenarı, köşegenlerin oluşturduğu üçgenleri, içteki bir noktanın köşelere uzaklığını, karede köşegen ile alan arasındaki geçişi ve kare içindeki üçgen ya da karelerin alanını ister.

Örnek 1 — Köşegen

Soru: Bir dikdörtgenin kenarları 5 cm ile 12 cm'dir. Köşegen ne uzunluktadır?

• A) 17
• B) 13
• C) √119
• D) 8,5
• E) 15

Çözüm: d = √(25 + 144) = 13. Cevap: B.

Örnek 2 — Karenin köşegeni

Soru: Alanı 72 birimkare olan karenin köşegeni kaç birimdir?

• A) 6√2
• B) 36
• C) 12
• D) 8,5
• E) 12√2

Çözüm: Alan d²/2 = 72 olduğundan d² = 144 ve d = 12. Cevap: C.

Örnek 3 — İçteki nokta

Soru: ABCD dikdörtgeninin içindeki bir P noktası için PA = 4, PB = 6 ve PC = 8'dir. PD kaçtır?

• A) 2√11
• B) 2√13
• C) 10
• D) 6
• E) 4√2

Çözüm: PA² + PC² = PB² + PD² eşitliğinden 16 + 64 = 36 + PD² ve PD² = 44. Cevap: A.

Örnek 4 — İç kare

Soru: Kenarı 6 cm olan bir karenin kenar orta noktaları birleştiriliyor. İçte kalan karenin alanını bulunuz.

• A) 13,5
• B) 24
• C) 15
• D) 18
• E) 27

Çözüm: İç kare, büyük karenin yarısıdır: 36/2 = 18. Cevap: D.

• Dikdörtgenin köşegenlerini dik sanmak. Köşegenler eşittir ama genellikle dik değildir.
• Karenin köşegenini 2a sanmak. Köşegen a√2'dir.
• İçteki nokta eşitliğinde komşu köşeleri eşleştirmek. Eşitlik karşılıklı köşeler içindir.
• Karenin alanını d² sanmak. Köşegenden alan d²/2'dir.
• Çevreden alana geçerken (a + b)²'yi a² + b² sanmak. Arada 2ab vardır.