Eşkenar dörtgen

Bir bahçe kapısının çapraz demirlerine ya da eski bir pencerenin baklava biçimli camlarına bakın. Her camın dört kenarı aynı uzunluktadır, ama köşeleri dik değildir; cam yan yatmış bir kareye benzer. Camın bir köşesinden karşı köşesine uzanan iki köşegen çizildiğinde ilginç bir şey olur: köşegenler birbirini tam ortasından ve dik açıyla keser, camı dört tane özdeş dik üçgene böler. Bu yüzden camın kenarını bilmek için iki köşegeni ölçüp Pisagor teoremini uygulamak yeterlidir; alanını bulmak için de köşegenlerin çarpımının yarısını almak. Bir önceki derste paralelkenarın özelliklerini gördük. Eşkenar dörtgen, bütün kenarları eşit olan bir paralelkenardır ve paralelkenarın her özelliğini taşır. Bu derste bunlara eklenen özellikleri işliyoruz: köşegenlerin dikliği ve açıortaylığı, kenar ile köşegenler arasındaki bağıntı, alanın üç farklı yazılışı, iç teğet çember ve açısı 60° olan özel eşkenar dörtgen.

• Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını ve köşe açılarının açıortayı olduğunu kullanırsın.
• Kenar ile köşegenler arasındaki e² + f² = 4a² bağıntısıyla eksik uzunluğu bulursun.
• Alanı köşegenlerden, taban ile yükseklikten ve kenar ile açıdan hesaplar, iç teğet çemberin yarıçapını bulursun.
• Açısı 60° olan eşkenar dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırarak köşegenlerini ve alanını hesaplarsın.

Tanım ve paralelkenardan gelenler

Dört kenarı eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. Karşılıklı kenarları eşit olan her dörtgen paralelkenar olduğundan eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve bir önceki dersin bütün özelliklerini taşır: karşılıklı kenarlar paraleldir, karşılıklı açılar eşittir, ardışık açılar bütünlerdir ve köşegenler birbirini ortalar. Paralelkenarda köşegenler dik değildi; eşkenar dörtgende kenarların eşitliği bu durumu değiştirir. Bir açısı dik olan eşkenar dörtgen karedir; kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur.

Köşegenler dik ve açıortaydır

Eşkenar dörtgende bir köşegen dörtgeni iki ikizkenar üçgene ayırır, çünkü her köşeden çıkan iki kenar eşittir. Köşegenlerin kesişim noktası O olsun. ABO ile ADO üçgenlerinde AB = AD, BO = DO ve AO ortak kenardır; KKK kuralına göre bu üçgenler eştir. Böylece O'daki iki komşu açı eşittir; toplamları 180° olduğundan her biri 90°'dir. Yani köşegenler birbirini dik ortalar. Aynı eşlikten A'daki iki açının eşit olduğu da çıkar: köşegen A açısının açıortayıdır. Her köşegen, iki uç köşesindeki açıları ikiye böler. Bu yüzden eşkenar dörtgenin bir açısı biliniyorsa köşegenlerin kenarlarla yaptığı açılar hemen bulunur.

Kenar ve köşegenler

Köşegenler dik kesiştiği ve birbirini ortaladığı için eşkenar dörtgen dört özdeş dik üçgene ayrılır. Her birinin dik kenarları e/2 ve f/2, hipotenüsü a'dır. Pisagor teoremi

a² = (e/2)² + (f/2)², yani e² + f² = 4a²

bağıntısını verir. Köşegenleri 12 ve 16 olan bir eşkenar dörtgenin kenarı √(36 + 64) = 10'dur. Kenar ve bir köşegen biliniyorsa öteki köşegen aynı dik üçgenden bulunur. Bu bağıntı, bir önceki dersteki paralelkenar bağıntısının a = b durumudur. Köşegenlerin toplamı ya da oranı verilmişse bu bilgi bağıntıyla birlikte bir denklem sistemine dönüşür; (e + f)² = e² + f² + 2ef özdeşliği, köşegenlerin çarpımını doğrudan verir.

Alan

Eşkenar dörtgenin alanı üç yoldan yazılır. Köşegenler dik olduğundan alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır: Alan = e · f/2. Paralelkenar olduğu için alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır: Alan = a · h. Kenarlar eşit olduğu için sinüslü formül Alan = a² · sin θ biçimini alır. Soru hangi bilgiyi veriyorsa ona uyan formül seçilir; iki formül eşitlenerek de eksik büyüklük bulunur. Örneğin köşegenler ve kenar biliniyorsa yükseklik h = e · f/(2a) olur.

İç teğet çember

Eşkenar dörtgenin dört kenarına içten teğet olan bir çember vardır ve merkezi köşegenlerin kesişim noktasıdır, çünkü bu nokta dört kenara eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, yani iç teğet çemberin yarıçapı, karşılıklı iki kenar arasındaki uzaklığın, yani yüksekliğin yarısıdır: r = h/2. Ayrıca köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenlerden birinde r, hipotenüse inen yüksekliktir; Öklid bağıntılarından r · a = (e/2) · (f/2) yazılabilir. Her iki hesap da aynı yarıçapı verir.

Açısı 60° olan eşkenar dörtgen

Bir açısı 60° olan eşkenar dörtgende kısa köşegen, dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırır. Bu yüzden kısa köşegen kenara eşittir: f = a. Uzun köşegen, iki eşkenar üçgenin yüksekliklerinin toplamıdır; her yüksekliğin uzunluğu a√3/2 olduğu için e = a√3 bulunur. Alan iki eşkenar üçgenin alanıdır: 2 · a²√3/4 = a²√3/2. Bu özel durum, açısı 120° olan eşkenar dörtgen için de geçerlidir, çünkü o dörtgenin öteki açıları 60°'dir. Böyle bir dörtgende kenar, kısa köşegen ya da uzun köşegenden biri verildiğinde öteki ikisi oranla bulunur.

Kare ile karşılaştırma

Kare, açıları dik olan eşkenar dörtgendir; bu yüzden eşkenar dörtgenin bütün özellikleri karede de geçerlidir. Fark köşegenlerdedir: eşkenar dörtgenin köşegenleri dik ama genellikle farklı uzunluktadır, karenin köşegenleri ise hem dik hem eşittir. Kenarı a olan bir eşkenar dörtgenin alanı a² · sin θ olduğundan, aynı kenarlı dörtgenler arasında alanı en büyük olan, açısı 90° olan karedir. Açı küçüldükçe dörtgen yassılaşır, köşegenlerden biri kısalır, öteki uzar ve alan küçülür; ama e² + f² = 4a² toplamı hep aynı kalır. Bu gözlem, kenarı sabit bir eşkenar dörtgende köşegenlerden biri verildiğinde ötekinin tek bir değer alacağını da gösterir.

Simetri

Eşkenar dörtgenin iki köşegeni aynı zamanda simetri eksenleridir: dörtgen her köşegen boyunca katlandığında iki yarısı tam olarak üst üste gelir. Bu simetri, bir köşegenin bir yanında bulunan her uzunluk ve açının öteki yanda bir eşi olduğunu söyler. Soru yalnızca bir yarı hakkında bilgi veriyorsa, öteki yarının ölçüleri bu simetriden yazılır.

Eşkenar dörtgeni tanımak

Bir dörtgenin eşkenar dörtgen olduğunu göstermek için birkaç yol vardır: dört kenarı eşitse, köşegenleri birbirini dik ortalıyorsa ya da bir paralelkenarın köşegeni köşe açılarından birinin açıortayı ise dörtgen eşkenar dörtgendir. Sınav sorularında bu ölçütler çoğu zaman dolaylı verilir; örneğin bir paralelkenarın köşegenlerinin dik olduğu söylenir. Böyle bir bilgi görüldüğünde dörtgenin bütün kenarlarının eşit olduğu hemen kullanılabilir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri eşkenar dörtgende kenarı ya da bir köşegeni, alanı, yüksekliği, çevreyi, köşegenin kenarla yaptığı açıyı, kenarlara teğet çemberin yarıçapını ve açısı 60° olan özel durumda köşegenleri ya da alanı ister.

Örnek 1 — Köşegenlerden kenar

Soru: Köşegenleri 12 ve 16 birim olan eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç birimdir?

• A) 14
• B) 18
• C) 10
• D) 4√7
• E) 8

Çözüm: Köşegen yarıları 6 ve 8'dir; kenar √(36 + 64) = 10. Cevap: C.

Örnek 2 — Alan

Soru: Bir kenarı 5, bir köşegeni 8 birim olan eşkenar dörtgenin alanı kaçtır?

• A) 40
• B) 24
• C) 48
• D) 20
• E) 30

Çözüm: Öteki köşegenin yarısı √(25 − 16) = 3, köşegen 6'dır; alan 8 · 6/2 = 24. Cevap: B.

Örnek 3 — 60°'lik eşkenar dörtgen

Soru: Kenarı 6 birim ve bir açısı 60° olan eşkenar dörtgenin uzun köşegeni kaçtır?

• A) 6
• B) 8√2
• C) 3√3
• D) 6√2
• E) 6√3

Çözüm: Kısa köşegen dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırır; uzun köşegen a√3 = 6√3. Cevap: E.

Örnek 4 — İç teğet çember

Soru: Kısa köşegeni 6, uzun köşegeni 8 birim olan bir eşkenar dörtgenin dört kenarına teğet olan çemberin yarıçapı nedir?

• A) 2,4
• B) 4,8
• C) 2,5
• D) 3
• E) 1,2

Çözüm: Kenar 5, alan 24, yükseklik 24/5 = 4,8; yarıçap yüksekliğin yarısı, 2,4. Cevap: A.

• Köşegenleri eşit sanmak. Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir ama eşit değildir; eşitse kare olur.
• Kenarı bulurken köşegenlerin tamamını kullanmak. Dik üçgenin kenarları köşegenlerin yarısıdır.
• Alanı e · f sanmak. Alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır.
• İç teğet yarıçapı yükseklik sanmak. Yarıçap yüksekliğin yarısıdır.
• 60°'lik eşkenar dörtgende uzun köşegeni a sanmak. Kısa köşegen a, uzun köşegen a√3'tür.