Paralelkenar

Akordeon kapılı bir dolabın menteşeli çıtalarına ya da açılır kapanır bir ütü masasının ayaklarına bakın. Çıtalar ne kadar eğilirse eğilsin karşılıklı çıtalar birbirine paralel kalır ve ortaya hep bir paralelkenar çıkar. Şekil eğildikçe açılar değişir, köşegenlerden biri uzar, öteki kısalır, alan da küçülür; ama karşılıklı kenarlar eşit kalır, karşılıklı açılar eşit kalır ve köşegenler birbirini tam ortasından kesmeye devam eder. Paralelkenar, karşılıklı kenarlarının her iki çifti de birbirine paralel olan dörtgendir ve bu tek koşul birçok özelliği beraberinde getirir. Bir önceki derste bütün dörtgenlerde geçerli olan özellikleri gördük. Bu derste paralelkenarın kenar, açı ve köşegen özelliklerini, alanını, köşegenlerin ve içteki bir noktanın oluşturduğu alanları, açıortayların ürettiği ikizkenar üçgenleri ve köşegen uzunluklarını kenarlara bağlayan bağıntıyı işliyoruz.

• Paralelkenarda karşılıklı kenarların ve açıların eşitliğini, ardışık açıların bütünlerliğini ve köşegenlerin birbirini ortalamasını kullanırsın.
• Alanı taban-yükseklik ve iki kenar ile aradaki açıdan hesaplar, köşegenlerin ve içteki bir noktanın oluşturduğu alanları bulursun.
• Bir açıortayın kenarla oluşturduğu ikizkenar üçgeni ve komşu açıortayların dikliğini kullanırsın.
• Köşegenlerin kareleri toplamının 2(a² + b²) olduğunu kullanırsın.

Kenarlar, açılar ve köşegenler

Karşılıklı kenarlarının iki çifti de paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Bir köşegen paralelkenarı iki üçgene ayırır; paralel doğruların iç ters açıları eşit olduğundan bu iki üçgen AKA kuralıyla eştir. Bu eşlikten ilk özellikler çıkar: karşılıklı kenarlar eşittir ve karşılıklı açılar eşittir. Ardışık iki açı, iki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu aynı taraftaki iç açılar olduğu için bütünlerdir. Bu yüzden bir paralelkenarda tek bir açıyı bilmek dört açıyı da bilmek demektir.

Köşegenler birbirini ortalar: kesişim noktası O ise AO = OC ve BO = OD olur. Bunu göstermek için köşegenlerin oluşturduğu karşılıklı iki üçgen karşılaştırılır; kenarları eşit ve iç ters açıları eşit olduğu için eştir. Genel bir paralelkenarda köşegenler birbirine eşit değildir ve dik kesişmez; bu iki özellik sırasıyla dikdörtgene ve eşkenar dörtgene özgüdür.

Bu özelliklerin tersleri de doğrudur ve bir dörtgenin paralelkenar olduğunu göstermeye yarar: karşılıklı kenarları eşit olan, karşılıklı açıları eşit olan ya da köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen paralelkenardır. Bir çift karşılıklı kenarı hem eşit hem paralel olan dörtgen de paralelkenardır.

Alan

Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile bu tabana dik inen yüksekliğin çarpımıdır: Alan = a · h. Bunu görmek için bir uçtan kesilen dik üçgen öteki uca taşınır ve şekil aynı taban ve yükseklikte bir dikdörtgene dönüşür. Kenarlar a ve b, aralarındaki açı θ ise yükseklik b · sin θ olduğundan Alan = a · b · sin θ olur. Bir paralelkenarın iki yüksekliği vardır; her biri kendi tabanıyla çarpıldığında aynı alanı verir, bu yüzden uzun kenara ait yükseklik kısadır. Kancadaki eğilen çerçevede kenarlar aynı kalır ama açı küçüldükçe sinüs ve dolayısıyla alan küçülür.

Köşegenlerin ve içteki bir noktanın ayırdığı alanlar

İki köşegen paralelkenarı dört üçgene ayırır ve bu dört üçgenin alanları eşittir; her biri toplam alanın dörtte biridir. Nedeni, komşu iki üçgenin tabanlarının eşit (köşegenler birbirini ortalar) ve yüksekliklerinin ortak olmasıdır. Bir köşegen tek başına paralelkenarı eş iki üçgene ayırır.

Paralelkenarın içinde rastgele seçilen bir P noktası köşelere birleştirilirse dört üçgen oluşur. Karşılıklı iki kenara dayanan üçgenlerin, örneğin PAB ile PCD'nin, yükseklikleri toplamı iki paralel kenar arasındaki uzaklığa eşittir. Bu nedenle söz konusu iki üçgenin alanlarının toplamı, P nerede olursa olsun paralelkenarın alanının yarısıdır. Öteki iki üçgenin toplamı da kalan yarıdır.

Açıortaylar

Paralelkenarda A köşesindeki açıyı ikiye bölen doğru BC kenarına E noktasında ulaşsın. AD ∥ BC olduğundan açıortayın AD ile yaptığı açı BC ile yaptığı açıya iç ters açı olarak eşittir; böylece ABE üçgeninde B'nin karşısındaki iki açı eşit çıkar ve BE = AB olur. Açıortaylar her zaman böyle ikizkenar üçgenler üretir ve kenar uzunluklarını bulmanın en kısa yoludur. Ardışık iki açı bütünler olduğundan, yan yana iki açıyı ikiye bölen doğrular dik kesişir: yarıların toplamı 90°'dir. A ve D açılarının açıortayları BC kenarı üzerinde aynı noktada buluşuyorsa, BC kenarı AB'nin iki katıdır.

Köşegen uzunlukları

Paralelkenarın kenarları a, b ve köşegenleri e, f ise

e² + f² = 2(a² + b²)

olur. Bu bağıntı kenarortay dersindeki bağıntıdan gelir: ABD üçgeninde AO, BD'ye ait kenarortaydır ve AO = e/2, BO = f/2 alınarak kenarortay bağıntısı yazılınca sonuç elde edilir. Dikdörtgende e = f olduğu için bağıntı Pisagor teoremine döner. İki kenar ve bir köşegen bilindiğinde öteki köşegen bu bağıntıdan bulunur.

Paralelkenarı üçgenlere bağlamak

Paralelkenar sorularının büyük bölümü, şekli uygun üçgenlere ayırıp önceki modüllerin araçlarını kullanarak çözülür. Bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene ayırır; bu yüzden bir köşegenin ve iki kenarın bilindiği durumda üçgende kullanılan her yöntem, örneğin Heron formülü ya da sinüslü alan, paralelkenarın alanını verir: üçgenin alanının iki katı alınır. Bir köşeden karşı kenara dikme inildiğinde ise bir dik üçgen ve bir yamuk elde edilir; açı 30°, 45° veya 60° ise özel üçgen oranları yüksekliği hemen verir. Açıortaylar ikizkenar üçgenler, köşegenler ise kesişim noktasında kenarortaylar oluşturur. Bu bağlantılar görüldüğünde paralelkenar, yeni kurallar ezberlemeyi gerektiren bir şekil olmaktan çıkar ve bilinen üçgen sonuçlarının bir birleşimine dönüşür.

Eğilen paralelkenar

Kancadaki menteşeli çerçeveye geri dönelim. Kenarlar sabit kalıp açı değiştiğinde paralelkenarın alanı a · b · sin θ ile değişir ve en büyük değerine açı dik olduğunda, yani şekil dikdörtgene dönüştüğünde ulaşır. Köşegenlerin kareleri toplamı ise açıdan bağımsız olarak 2(a² + b²)'de sabit kalır; bir köşegen uzadıkça öteki kısalır.

Denklem kurma

Paralelkenar sorularında eşitlikler genellikle ifadelerle verilir: karşılıklı kenarlar ya da açılar eşitlenir, ardışık açılar 180'e tamamlanır, köşegen parçaları birbirine eşitlenir. Çözümden sonra bulunan açıların pozitif ve 180°'den küçük, kenarların pozitif olduğu denetlenir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri paralelkenarda bir açıyı, kenarı, köşegen parçasını ya da çevreyi; alanı ya da bir yüksekliği; köşegenlerin ya da içteki bir noktanın ayırdığı üçgenlerin alanını; açıortayların oluşturduğu parçaları ve köşegen uzunluğunu ister.

Örnek 1 — Ardışık açılar

Soru: Bir paralelkenarın ardışık iki açısı 2'ye 7 oranındadır. Küçük olan açıyı bulunuz.

• A) 40
• B) 80
• C) 20
• D) 140
• E) 36

Çözüm: Ardışık açılar bütünlerdir; 9 parçanın toplamı 180 olduğundan bir parça 20'dir ve küçük açı 40. Cevap: A.

Örnek 2 — Sinüslü alan

Soru: Kenarları 8 ve 9 birim, aralarındaki açı 60° olan paralelkenarın alanı kaçtır?

• A) 72
• B) 24√3
• C) 36
• D) 72√3
• E) 36√3

Çözüm: Alan = 8 · 9 · (√3/2) = 36√3. Cevap: E.

Örnek 3 — Açıortay

Soru: KLMN paralelkenarında KL = 8 ve KN = 11'dir. K köşesinden çizilen açıortay LM kenarına T noktasında değiyor. TM kaçtır?

• A) 8
• B) 4,5
• C) 3
• D) 5,5
• E) 2,5

Çözüm: Açıortay ikizkenar üçgen oluşturur: LT = KL = 8. LM = 11 olduğundan TM = 3. Cevap: C.

Örnek 4 — İçteki nokta

Soru: Alanı 50 olan PRST paralelkenarının içindeki bir Q noktası köşelere birleştiriliyor. QPR ve QST üçgenlerinin alanları toplamı kaçtır?

• A) 20
• B) 25
• C) 12,5
• D) 30
• E) 50

Çözüm: Karşılıklı kenarlara dayanan iki üçgen her zaman alanın yarısını oluşturur: 25. Cevap: B.

• Ardışık açıları eşit sanmak. Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir.
• Köşegenleri eşit ya da dik sanmak. Genel paralelkenarda ikisi de yoktur; köşegenler yalnızca birbirini ortalar.
• Alanı kenarların çarpımı sanmak. Kenarlar arasındaki açının sinüsü de çarpılır.
• Açıortayın oluşturduğu parçayı yanlış kenara eşitlemek. BE, açının komşu kenarı AB'ye eşittir.
• Köşegen bağıntısında 2 katsayısını unutmak. e² + f² = 2(a² + b²).