Dörtgenlerin genel özellikleri

Bir uçurtma, bir pencere çerçevesi, bir futbol sahasının ceza alanı ve gelişigüzel kesilmiş bir karton parçası: hepsi dört kenarlıdır, ama birbirine pek benzemez. Yine de hepsinin paylaştığı birkaç özellik vardır. Dört açısı her zaman 360°'yi tamamlar. Bir köşegen onları iki üçgene ayırır. Kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde, dörtgen ne kadar düzensiz olursa olsun, ortaya her seferinde bir paralelkenar çıkar. Köşegenleri dik kesişiyorsa, karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşit olur. Bir önceki derste genel çokgenlerin açılarını ve köşegenlerini gördük. Bu modülün geri kalanında paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare, yamuk ve deltoidi tek tek inceleyeceğiz. Bu derste hepsinde geçerli olan ortak özellikleri işliyoruz: açılar, köşegenlerle alan, köşegenleri dik dörtgenler, kenar orta noktaları ve açıortaylar.

• Dörtgenin iç açılarının toplamını kullanır, içbükey dörtgende içteki açıyı bulursun.
• Köşegenleri ve aralarındaki açıyı bilinen bir dörtgenin alanını hesaplarsın.
• Köşegenleri dik kesişen dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamının eşitliğini kullanırsın.
• Kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın çevresini ve alanını, iki komşu açının açıortayları arasındaki açıyı bulursun.

Açılar

Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırdığı için dörtgenin iç açıları toplamı 2 · 180 = 360°'dir; bu, çokgenler dersindeki (n − 2) · 180 formülünün n = 4 durumudur. Dört açıdan üçü biliniyorsa dördüncüsü 360'tan çıkarılarak bulunur. Açılar oranla ya da ifadelerle verilmişse toplam 360'a eşitlenir; örneğin açılar ardışık sayılarla orantılıysa, oranların toplamı 360'ı paylaştırır ve her açı kendi payına göre bulunur. Dış açıların toplamı da 360°'dir.

İçbükey bir dörtgende bir köşe öteki üç köşenin oluşturduğu üçgenin içine düşer ve bu köşedeki iç açı 180°'den büyüktür. İçe dönük köşenin üçgen tarafındaki açısı, üçgenler dersindeki ok ucu kuralına göre öteki üç açının toplamına eşittir. Bu yüzden içbükey dörtgen sorularında iki kural birlikte işler: dört açının toplamı 360°'dir ve ok ucundaki açı kalan üç açının toplamıdır.

Köşegenler ve alan

Dörtgenin köşegenleri e ve f, aralarındaki açı θ ise alan

Alan = (1/2) · e · f · sin θ

olur. Bunu görmek için köşegenlerin kesişim noktası etrafındaki dört üçgenin alanı sinüslü formülle yazılır ve toplanır; dört üçgende θ ya da bütünleri görüldüğünden ve bütünler açıların sinüsleri eşit olduğundan, köşegen parçaları gruplanınca e · f çarpımı elde edilir. Köşegenler dik kesişiyorsa sin 90° = 1 olduğundan alan e · f/2'dir. Bu formül dışbükey her dörtgende geçerlidir; özel dörtgenlerde köşegen uzunlukları başka bilgilerden bulunur.

Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırdığı için alan bu iki üçgenin alanları toplamı olarak da yazılabilir. Köşegen ortak taban alınırsa iki üçgenin yükseklikleri öteki iki köşenin bu köşegene uzaklıklarıdır ve alan köşegen ile bu uzaklıkların toplamının çarpımının yarısıdır.

Köşegenleri dik dörtgen

Köşegenleri bir O noktasında dik kesişen bir dörtgende dört kenarın her biri, O'da dik açılı bir üçgenin hipotenüsüdür. Köşegen parçalarına p, q, r, s denirse AB² = p² + q², BC² = q² + r², CD² = r² + s² ve DA² = s² + p² olur. Karşılıklı kenarların kareleri toplanınca

AB² + CD² = BC² + DA²

bulunur, çünkü iki tarafta da p² + q² + r² + s² vardır. Bu eşitlik, üç kenarı bilinen ve köşegenleri dik olan bir dörtgenin dördüncü kenarını tek adımda verir. Kenarlardan biri ifadeyle verilmişse eşitlik bir denkleme dönüşür.

Kenar orta noktaları

Herhangi bir dörtgenin dört kenarının orta noktaları sırayla birleştirilirse bir paralelkenar oluşur. Nedeni üçgende orta taban kuralıdır: bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır ve her üçgendeki orta taban bu köşegene paralel ve onun yarısıdır. Böylece oluşan dörtgenin karşılıklı kenarları aynı köşegene paralel ve eşittir. Bu paralelkenarın kenarları köşegenlerin yarısı olduğundan çevresi köşegenlerin toplamına eşittir. Alanı da büyük dörtgenin alanının yarısıdır, çünkü köşelerde kesilip atılan dört küçük üçgen, her biri komşu büyük üçgenin dörtte biri olacak biçimde toplam alanın yarısını oluşturur.

Açıortaylar

Bir dörtgenin A ve B gibi iki komşu açısının açıortayları bir P noktasında kesişsin. ABP üçgeninde A ile B açıları yarıya iner; P'deki açı, 180'den bu iki yarının toplamı çıkarılarak bulunur. Dörtgende dört açı 360'ı tamamladığı için A ile B'nin yarılarının toplamı 180 − (C + D)/2 olur ve

m(APB) = (m(C) + m(D))/2

bulunur: iki komşu açının açıortayları arasındaki açı, öteki iki açının toplamının yarısıdır. Bu kalıp, üçgendeki iç açıortaylar kalıbının dörtgendeki karşılığıdır.

Özel dörtgenlere giriş

Bu modülün sonraki derslerinde ele alınacak dörtgenler, bu dersteki genel özelliklerin üzerine birer ek koşul koyarak tanımlanır. Yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk, iki çift karşılıklı kenarı paralel olana paralelkenar denir. Açılarının hepsi dik olan paralelkenar dikdörtgen, kenarlarının hepsi eşit olan paralelkenar eşkenar dörtgendir; hem açıları dik hem kenarları eşit olan dörtgen karedir. Komşu kenar çiftleri eşit olan dörtgene ise deltoid denir. Her ek koşul yeni özellikler getirir, ama bu derste gördüğümüz açılar toplamı, köşegenlerle alan ve orta noktalar paralelkenarı bu dörtgenlerin hepsinde geçerliliğini korur. Bu yüzden bir özel dörtgen sorusunda önce genel kurallar, sonra o dörtgene özgü kurallar düşünülür. Eşkenar dörtgen, kare ve deltoidin köşegenleri dik kesiştiği için bu dersteki kare toplamı eşitliği ve e · f/2 alan formülü onlar için doğrudan kullanılabilir.

Sonucu denetlemek

Dörtgen sorularında bulunan sonuç birkaç basit koşulla denetlenir. Dışbükey dörtgende her iç açı 0° ile 180° arasındadır. Alan, köşegenlerin çarpımının yarısını aşamaz; bu en büyük değere ancak köşegenler dik olduğunda ulaşılır. Kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın çevresi köşegenlerin toplamıdır; bu toplam dörtgenin çevresinden küçüktür. Bu denetimler, formülün yanlış uygulandığı durumları hızla ortaya çıkarır. Son olarak, bulunan değerin sorunun gerçekten istediği büyüklük olup olmadığına bir kez daha bakılır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri dörtgende eksik açıyı, açılar oranla ya da ifadeyle verildiğinde bir açıyı, köşegenlerden alanı, köşegenleri dik dörtgende eksik kenarı, kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın çevresini ya da alanını ve iki açıortay arasındaki açıyı ister.

Örnek 1 — Eksik açı

Soru: Bir dörtgenin üç iç açısı 100°, 80° ve 115°'dir. Dördüncü açı kaç derecedir?

• A) 75
• B) 85
• C) 65
• D) 70
• E) 95

Çözüm: Dörtgenin iç açıları toplamı 360'tır; 360 − 295 = 65. Cevap: C.

Örnek 2 — Köşegenleri dik dörtgen

Soru: Köşegenleri dik kesişen KLMN dörtgeninde KL = 3, LM = 5 ve MN = 6'dır. NK kaçtır?

• A) 2√5
• B) 4
• C) 2√13
• D) √34
• E) 8

Çözüm: KL² + MN² = LM² + NK² olduğundan 9 + 36 = 25 + NK² ve NK = √20 = 2√5. Cevap: A.

Örnek 3 — Köşegenlerle alan

Soru: Köşegenleri 8 ve 9 birim, köşegenler arasındaki açı 60° olan dörtgenin alanı kaçtır?

• A) 72
• B) 24
• C) 12√3
• D) 18√3
• E) 9√3

Çözüm: (1/2) · 8 · 9 · (√3/2) = 18√3. Cevap: D.

Örnek 4 — Orta noktalar

Soru: Bir dörtgenin köşegenleri 6 ve 10 birimdir; kenarlarının orta noktaları sırayla birleştiriliyor. Oluşan paralelkenarın çevresi kaçtır?

• A) 32
• B) 16
• C) 8
• D) 30
• E) 15

Çözüm: Paralelkenarın kenarları köşegenlerin yarısıdır; çevre köşegenlerin toplamı, 16. Cevap: B.

• İçbükey dörtgende içteki açıyı 360'tan çıkarmak. Ok ucu açısı kalan üç açının toplamıdır.
• Köşegen alan formülünde yarıyı unutmak. Alan (1/2) · e · f · sin θ'dır.
• Dik köşegenli dörtgende komşu kenarları eşleştirmek. Eşitlik karşılıklı kenarlar içindir.
• Orta noktalar paralelkenarının alanını dörtte bir sanmak. Alanı yarıdır, çevresi köşegenlerin toplamıdır.
• Açıortay kalıbında komşu açıları toplamak. Açı, öteki iki açının toplamının yarısıdır.