Çokgenler

Bir döşeme ustası bir salonun zeminini aynı biçimdeki düzgün karolarla, arada boşluk bırakmadan kaplamak istiyor. Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen karolarla iş kolayca biter. Düzgün beşgen karolarla ise ne yaparsa yapsın bir köşede boşluk kalır. Bunun nedeni karoların biçimi değil, bir köşesindeki açının büyüklüğüdür: bir noktanın çevresi 360°'dir ve karolar ancak açıları 360'ı tam bölüyorsa bir noktada eksiksiz buluşabilir. Eşkenar üçgenin açısı 60°, karenin 90°, düzgün altıgeninki 120°'dir; üçü de 360'ı böler. Düzgün beşgenin iç açısı ise 108°'dir ve 360 bu sayıya tam bölünmez. Önceki modüllerde üçgenleri ayrıntılı inceledik. Bu modülde üçten fazla kenarı olan şekillere geçiyoruz ve ilk derste çokgenlerin iç ve dış açılarını, düzgün çokgenlerin açılarını, köşegen sayısını ve düzgün altıgenin ölçülerini işliyoruz.

• n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamının (n − 2) · 180° olduğunu üçgenlere ayırarak gösterir ve kullanırsın.
• Dış açılar toplamının her dışbükey çokgende 360° olduğunu kullanır, düzgün çokgenin her köşesindeki açıları hesaplarsın.
• Köşegen sayısını n(n − 3)/2 formülüyle hesaplar, bir köşeden çizilen köşegenleri ve oluşan üçgenleri sayarsın.
• Düzgün altıgeni altı eşkenar üçgene ayırarak alanını ve köşegenlerini bulursun.

Çokgen ve türleri

Düzlemde, uç uca eklenen ve kendi kendini kesmeyen doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekle çokgen denir. Doğru parçaları çokgenin kenarları, birleştikleri noktalar köşeleridir. n kenarlı bir çokgenin n köşesi ve n iç açısı vardır; kenar sayısına göre dörtgen, beşgen, altıgen, yedigen, sekizgen diye adlandırılır. Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgene dışbükey, en az bir iç açısı 180°'den büyük olana içbükey çokgen denir. Bu derste aksi belirtilmedikçe dışbükey çokgenler ele alınır. Bütün kenarları eşit ve bütün açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir; eşkenar üçgen ve kare en tanıdık örneklerdir.

İç açılar toplamı

Dışbükey bir çokgenin bir köşesinden komşu olmayan bütün köşelere doğru parçaları çizilirse çokgen üçgenlere ayrılır. Bu köşe, kendisine ve iki komşusuna köşegen çizemez; n − 3 köşegen çizer ve bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene böler. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan

İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°

bulunur. Dörtgende 360°, beşgende 540°, altıgende 720°'dir. Bir açı dışında bütün açılar verilmişse eksik açı toplamdan çıkarılarak bulunur. İç açılar toplamı verilip kenar sayısı istendiğinde toplam 180'e bölünür ve 2 eklenir.

Dış açılar toplamı

Her köşede iç açı ile onun yanındaki dış açı bir doğru açı oluşturur. n köşede bu çiftler n · 180° eder; içteki açıların payı (n − 2) · 180° olduğundan dıştakilere n · 180 − (n − 2) · 180 = 360° kalır. Dışbükey her çokgende, kenar sayısı ne olursa olsun, dış açıların toplamı 360°'dir. Üçgende gördüğümüz gibi bunun bir başka açıklaması da çokgenin çevresinde yürüyen birinin bir tam tur dönmesidir.

Düzgün çokgenin açıları

Düzgün çokgende bütün dış açılar eşit olduğundan her biri 360/n'dir; iç açı ise 180 − 360/n, yani (n − 2) · 180/n olur. Düzgün beşgende dış açı 72°, iç açı 108°'dir. Bir düzgün çokgenin bir iç açısı verildiğinde kenar sayısını bulmanın en kısa yolu dış açıya geçmektir: dış açı 180'den iç açı çıkarılarak bulunur ve 360 bu sayıya bölünür. Dış açı 360'ı tam bölmüyorsa böyle bir düzgün çokgen yoktur. Bir köşedeki iki açı arasında bir oran verilmişse, bu iki açının 180'i tamamladığı kullanılarak dıştaki açı bulunur.

Köşegen sayısı

Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Her köşeden n − 3 köşegen çıkar. n köşenin her birinden n − 3 köşegen sayıldığında her köşegen iki ucundan iki kez sayılmış olur; bu yüzden

Köşegen sayısı = n(n − 3)/2

olur. Dörtgenin 2, beşgenin 5, altıgenin 9 köşegeni vardır. Köşegen sayısı verilip kenar sayısı istendiğinde n(n − 3) = 2 · (köşegen sayısı) denklemi kurulur ve pozitif tam sayı çözüm aranır. Kenar sayısının değişmesiyle köşegen sayısındaki değişim de bu formülün farkı alınarak hesaplanır.

Düzgün altıgen

Kenarı a olan düzgün altıgenin merkezi köşelere birleştirilirse altıgen altı eş eşkenar üçgene ayrılır; her birinin kenarı a'dır. Bu yüzden düzgün altıgenin alanı 6 · a²√3/4, yani 3a²√3/2'dir. Merkezden geçen uzun köşegen iki üçgen kenarından oluşur ve 2a'dır. Bir köşeyi ikinci komşusuna birleştiren kısa köşegen, kenarları a ve aralarındaki açı 120° olan ikizkenar bir üçgenin tabanını oluşturur; 30-30-120 üçgeninin oranından a√3 bulunur. Kancadaki döşeme ustasının altıgen karolarla zemini kaplayabilmesi de bu yapıdan gelir: her köşede üç altıgen buluşur ve 3 · 120 = 360'tır.

Döşeme ve düzgün çokgenler

Kancadaki döşeme sorusu genel olarak da yanıtlanabilir. Aynı düzgün çokgenden karolar bir noktada boşluksuz buluşacaksa, iç açı 360'ı tam bölmelidir. İç açı 180 − 360/n olduğuna göre bu açı 60° (n = 3), 90° (n = 4) ya da 120° (n = 6) olduğunda 360'ı böler. n = 5 için iç açı 108°'dir ve 360/108 tam sayı değildir; n yedi ya da daha büyük olduğunda ise iç açı 120°'yi aşar ama 180°'ye ulaşmaz, bu yüzden bir noktada ikiden fazla karo sığmaz ve iki karo da 360'ı dolduramaz. Sonuç olarak tek tip düzgün karoyla zemin yalnızca eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgenle döşenebilir. Bu akıl yürütme, iç açı formülünün bir denklem ve bir eşitsizlik içinde nasıl kullanılacağını gösterir.

Denklem kurma

Çokgen sorularının çoğu, n'yi bulmaya yönelik bir denklemle çözülür. İç açılar toplamı, düzgün çokgenin bir açısı, köşegen sayısı ya da bunlar arasındaki bir ilişki verilir; ilgili formül yazılır ve n çözülür. Bulunan n'nin 3'ten büyük ya da eşit bir tam sayı olduğu her zaman denetlenmelidir. Bir dışbükey çokgende bir açı dışarıda bırakılarak verilen bir toplam varsa, eksik açının 0° ile 180° arasında olması koşulu n'yi tek bir değere indirir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri çokgenin iç ya da dış açıları toplamını, eksik bir açıyı, düzgün çokgende bir açıyı ya da kenar sayısını, köşegen sayısını ya da köşegen sayısından kenar sayısını, düzgün altıgenin alanını, çevresini ya da köşegenlerini ister.

Örnek 1 — İç açılar toplamı

Soru: Bir ongenin iç açılarının toplamı kaç derecedir?

• A) 1800
• B) 1260
• C) 1440
• D) 1620
• E) 1080

Çözüm: (10 − 2) · 180 = 1440. Cevap: C.

Örnek 2 — Düzgün beşgen

Soru: Düzgün bir beşgenin bir iç açısı kaç derecedir?

• A) 108
• B) 72
• C) 120
• D) 112
• E) 96

Çözüm: Dış açı 360/5 = 72°'dir; iç açı 180 − 72 = 108. Cevap: A.

Örnek 3 — Köşegen sayısı

Soru: Bir dokuzgenin kaç köşegeni vardır?

• A) 36
• B) 18
• C) 21
• D) 54
• E) 27

Çözüm: 9 · (9 − 3)/2 = 27. Cevap: E.

Örnek 4 — Düzgün altıgenin alanı

Soru: Kenarı 2 birim olan düzgün altıgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 9
• B) 6√3
• C) 3√3
• D) 12√3
• E) 4√3

Çözüm: Altı eşkenar üçgenin her biri √3'tür; toplam 6√3. Cevap: B.

• İç açılar toplamını n · 180 sanmak. Doğrusu (n − 2) · 180'dir.
• Dış açılar toplamının kenar sayısına bağlı olduğunu düşünmek. Dışbükey her çokgende 360°'dir.
• Köşegen sayısında ikiye bölmeyi unutmak. Her köşegen iki kez sayılır.
• Düzgün çokgende iç açıdan doğrudan n'ye gitmeye çalışmak. Önce dış açıya geçmek daha kısadır.
• Düzgün altıgenin kısa köşegenini a√2 sanmak. Kısa köşegen a√3, uzun köşegen 2a'dır.