Deltoid

Bir uçurtma yapmak için iki çıta alıp birini ötekinin üzerine dik açıyla bağlarsınız; kısa çıtanın ortası uzun çıtanın üst kısmına denk gelir. Çıtaların uçlarını iple birleştirdiğinizde ortaya çıkan dörtgenin üstte iki kısa, altta iki uzun kenarı vardır ve uçurtma uzun çıta boyunca katlandığında iki yarısı birbirinin aynası olur. Bu dörtgene geometride deltoid denir. Uçurtmanın alanını bulmak için iki çıtanın uzunluğunu çarpıp ikiye bölmek yeterlidir; çıtalar birbirine dik olduğu için. Bir kenarın uzunluğunu bulmak için de çıtaların kesişim noktasında oluşan dik üçgenlere Pisagor teoremini uygulamak yeter. Bir önceki derslerde paralelkenarları ve yamuğu gördük. Deltoidin hiçbir kenar çifti paralel değildir; onu tanımlayan, komşu kenar çiftlerinin eşitliğidir. Bu derste deltoidin simetrisini, köşegenlerinin dikliğini, açılarını, alanını ve içbükey deltoidi işliyoruz.

• Deltoidin simetri ekseni olan köşegenin öteki köşegeni dik ortaladığını ve uç açılarını ikiye böldüğünü kullanırsın.
• Deltoidde eşit açıları bulur, iç açılar toplamından eksik açıyı hesaplarsın.
• Köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenlerle kenarları, alanı köşegenlerin çarpımının yarısı olarak bulursun.
• Yan açıları dik olan deltoidi ve içbükey deltoidi tanıyıp hesaplarsın.

Tanım ve simetri

İki çift komşu kenarı eşit olan dörtgene deltoid denir. ABCD deltoidinde AB = AD ve CB = CD olsun. A ve C köşeleri, eşit kenarların birleştiği köşelerdir; AC köşegenine deltoidin ana köşegeni, BD'ye öteki köşegen diyeceğiz. ABC ve ADC üçgenlerinde AB = AD, CB = CD ve AC ortaktır; KKK kuralına göre bu iki üçgen eştir. Bu eşlik deltoidin bütün özelliklerinin kaynağıdır: deltoid AC köşegenine göre simetriktir ve AC boyunca katlandığında iki yarısı üst üste gelir.

Köşegenler

Aynı eşlik, A köşesindeki iki parçanın ve C köşesindeki iki parçanın eşit olduğunu da gösterir; yani ana köşegen A ve C açılarının açıortayıdır. ABD üçgeni ikizkenar olduğu için A'nın açıortayı aynı zamanda BD'ye ait kenarortay ve yüksekliktir. Bu yüzden ana köşegen öteki köşegeni dik keser ve ortalar: köşegenler O'da buluşuyorsa BO = OD ve AC ⊥ BD olur. Öteki köşegen ise ana köşegeni genellikle ortalamaz: AO ile OC farklı uzunluktadır. Köşegenleri birbirini ortalayan deltoid, eşkenar dörtgendir; eşkenar dörtgen deltoidin özel bir durumudur.

Açılar

Deltoidde eşit kenarların arasında kalmayan iki açı, yani B ve D açıları, eşittir. A ve C açıları ise genellikle farklıdır. İç açılar toplamı 360° olduğundan A ve C biliniyorsa her biri B ile D'nin toplamı 360 − (A + C) olur ve ikiye bölünür. Ana köşegen A ve C açılarını ikiye böldüğü için, köşegenle kenarlar arasındaki açılar da yarım açılar olarak hemen yazılır. ABO ve CBO dik üçgenlerinde O'daki açılar 90° olduğundan B açısı, A'nın yarısının ve C'nin yarısının tümlerlerinin toplamıdır.

Kenarlar ve köşegenler

Köşegenler O'da dik kesiştiği için deltoid dört dik üçgene ayrılır: iki tanesi ABO ile ADO, iki tanesi CBO ile CDO'dur ve her çift eştir. BO = OD = BD/2 olduğundan AB² = AO² + (BD/2)² ve CB² = OC² + (BD/2)² yazılır. Bu iki eşitlik, köşegen parçalarından kenarları ya da kenarlardan köşegen parçalarını verir. Çevre 2(AB + CB)'dir; iki farklı kenar uzunluğu bilindiğinde çevre hemen yazılır.

Alan

Köşegenler dik olduğu için deltoidin alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır: Alan = AC · BD/2. Bu, dörtgenler dersindeki genel formülün sin 90° = 1 durumudur. Alan ana köşegene göre iki eş üçgenin, ABC ile ADC'nin, toplamı biçiminde de hesaplanabilir. Alan biliniyorsa ve köşegenlerden biri verilmişse öteki köşegen bulunur.

Yan açıları dik deltoid

B ve D açıları dik olan bir deltoidde ABC ve ADC dik üçgenlerdir ve AC bu üçgenlerin hipotenüsüdür. Alan iki dik üçgenin alanları toplamı, yani AB · CB'dir. Öteki köşegenin yarısı BO, ABC dik üçgeninde hipotenüse inen yüksekliktir; Öklid bağıntılarından BO = AB · CB/AC bulunur ve BD bunun iki katıdır. Bu tür deltoidin dört köşesi aynı bir çember üzerindedir; çember konusunda bu durum yeniden karşımıza çıkacaktır.

İçbükey deltoid

C köşesi AO doğru parçasının üzerine, yani B ile D'yi birleştiren doğrunun A ile aynı tarafına düşerse deltoid içbükey olur; görünüşü bir ok ucuna benzer. Kenarlar yine iki çift halinde eşittir ve ana köşegenin doğrusu öteki köşegeni dik ortalamaya devam eder. Bu durumda OC uzunluğu AO'dan çıkarılarak bulunur: AC = AO − OC. Alan, büyük ABD üçgeninden küçük CBD üçgeninin alanı çıkarılarak hesaplanır ve yine AC · BD/2 sonucunu verir. İçe dönük köşedeki açı, ok ucu kuralı uyarınca kalan üç açının toplamıdır.

Deltoid ve öteki dörtgenler

Deltoid, dörtgenler ailesinde paralelkenarlardan ayrı bir dalda durur. Hiçbir kenar çifti paralel olmak zorunda değildir; onu tanımlayan, kenarların iki komşu çift halinde eşit olmasıdır. Dört kenarı birden eşit olan deltoid eşkenar dörtgendir; açıları da dik olan eşkenar dörtgen ise karedir. Bu yüzden eşkenar dörtgen ve kare hem paralelkenar hem deltoid sayılır ve iki ailenin bütün özelliklerini taşır. Bir dörtgen sorusunda kenar eşitlikleri iki komşu çift halinde verilmişse, köşegenlerin dikliği ve ana köşegenin simetri ekseni olması hemen kullanılabilir. Köşegenleri dik olan ama birbirini ortalamayan bir dörtgen ise ana köşegen öteki köşegeni ortalıyorsa deltoiddir.

Hesap planı

Deltoid sorularının çoğu aynı planla çözülür. Önce ana köşegen belirlenir; eşit kenarların birleştiği iki köşeyi birleştiren köşegendir. Sonra köşegenlerin kesişim noktasında dört dik üçgen işaretlenir ve öteki köşegenin yarısı ortak dik kenar olarak yazılır. Kenar, köşegen parçası ya da alan istendiğinde bu dik üçgenlerde Pisagor teoremi, köşegenler verildiğinde ise çarpımın yarısı kullanılır. Açı soruları için B ve D'nin eşitliği ve 360° toplamı yeterlidir. İçbükey deltoidde ise C noktasının hangi tarafa düştüğü çizim üzerinde mutlaka işaretlenmelidir, çünkü AC uzunluğu toplamla değil farkla bulunur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri deltoidde eksik açıyı, köşegen parçalarından bir kenarı ya da çevreyi, alanı ya da eksik bir köşegeni, yan açıları dik deltoidde alanı ya da öteki köşegeni ve içbükey deltoidde bir kenarı ister.

Örnek 1 — Açılar

Soru: ABCD deltoidinde AB = AD, CB = CD, m(A) = 80° ve m(C) = 60°'dir. m(B) ne kadardır?

• A) 110
• B) 120
• C) 95
• D) 140
• E) 90

Çözüm: B ve D eşittir; ikisinin toplamı 360 − 140 = 220, her biri 110. Cevap: A.

Örnek 2 — Alan

Soru: Köşegenleri 7 ve 12 birim olan bir deltoidin alanını bulunuz.

• A) 84
• B) 19
• C) 32
• D) 42
• E) 21

Çözüm: Köşegenler dik olduğundan alan 7 · 12/2 = 42. Cevap: D.

Örnek 3 — Kenar

Soru: ABCD deltoidinde AB = AD, köşegenler O'da kesişiyor, BD = 16 ve AO = 15'tir. AB uzunluğunu hesaplayınız.

• A) 23
• B) 15
• C) 17
• D) 8√2
• E) 31

Çözüm: BO = 8'dir; AB = √(225 + 64) = 17. Cevap: C.

Örnek 4 — Yan açıları dik deltoid

Soru: B ve D açıları dik olan ABCD deltoidinde AB = 8 ve CB = 15'tir. Deltoidin alanı ne kadardır?

• A) 60
• B) 240
• C) 17
• D) 92
• E) 120

Çözüm: İki eş dik üçgenin her biri 8 · 15/2 = 60'tır; alan 120. Cevap: E.

• Öteki köşegenin ana köşegeni ortaladığını sanmak. Yalnızca ana köşegen öteki köşegeni ortalar.
• A ile C açılarını eşit sanmak. Eşit olan açılar B ile D'dir.
• Alanı köşegenlerin çarpımı sanmak. Alan çarpımın yarısıdır.
• Kenarı bulurken BD'nin tamamını kullanmak. Dik üçgenin kenarı BD'nin yarısıdır.
• İçbükey deltoidde AC'yi AO + OC almak. C, AO üzerinde olduğundan AC = AO − OC'dir.