Üçgende alan

Üçgen biçimli bir tarlanın sahibi tapu için tarlanın alanını öğrenmek istiyor. Elindeki şerit metreyle üç sınırı rahatça ölçebiliyor: 13, 14 ve 15 metre. Ama alanın okulda öğrendiği formülü, taban çarpı yüksekliğin yarısı, bir yüksekliği ister; tarlanın ortasında bir hendek olduğu için köşeden karşı sınıra dik bir ip germek mümkün değil. Yine de alan yalnızca üç kenardan bulunabilir: bu tarlanın alanı 84 metrekaredir. Bir üçgenin alanını hesaplamanın tek yolu yükseklik değildir. İki kenar ile aralarındaki açı, üç kenarın kendisi ya da iç teğet çemberin yarıçapı ile çevre de alanı belirler. Bu modülde benzerliği ve oranları gördük. Bu derste üçgenin alanını farklı verilerden hesaplamayı, hangi verinin hangi formülü çağırdığını ve yüksekliklerin kenarlarla nasıl ters orantılı olduğunu işliyoruz.

• Alanı taban ve yükseklikten, iki kenar ve aralarındaki özel açıdan hesaplarsın.
• Üç kenarı bilinen bir üçgenin alanını yarı çevre formülüyle (Heron) bulursun.
• İç teğet çemberin yarıçapı ile yarı çevre arasındaki Alan = r · u bağıntısını kullanırsın.
• Kenarlar ile karşılık gelen yükseklikler arasındaki a · ha = b · hb eşitliğini uygularsın.

Taban ve yükseklik

Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenarı taban olarak alınıp o kenara ait yükseklikle çarpılır ve ikiye bölünür: Alan = a · ha/2. Burada ha, a kenarına karşı köşeden inen dikmenin uzunluğudur. Üçgenin üç kenarı ve üç yüksekliği vardır; hangisi seçilirse seçilsin aynı alan bulunur. Geniş açılı üçgende dar açıların karşısındaki kenarlara ait yükseklikler üçgenin dışına düşer; bu durumda kenar uzatılır ve dikme uzantıya inilir. Dik üçgende iki dik kenar birbirinin yüksekliğidir ve alan dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Yükseklikler ve kenarlar

Aynı alan üç farklı biçimde yazılabildiği için a · ha = b · hb = c · hc olur. Kenar uzadıkça ona ait yükseklik kısalır: kenarlar ile yükseklikler ters orantılıdır. En uzun kenara ait yükseklik en kısa, en kısa kenara ait yükseklik en uzundur. Bir kenar ile yüksekliği verilip başka bir kenara ait yükseklik sorulduğunda önce alan bulunur, sonra istenen yükseklik alanın iki katının o kenara bölümü olarak hesaplanır.

İki kenar ve aradaki açı

Bir üçgende iki kenar ile aralarındaki açı biliniyorsa yükseklik hesaplanabilir. Dik üçgende bir dar açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranına o açının sinüsü denir. 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinden sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2 ve sin 60° = √3/2 bulunur. b ve c kenarları arasındaki açı A ise, c kenarının ucundan b'ye inen yükseklik c · sin A olur ve alan

Alan = (1/2) · b · c · sin A

biçimini alır. Açı geniş olduğunda yükseklik üçgenin dışına düşer; bu durumda yüksekliği veren açı, A'nın bütünleridir. Bu yüzden sin 120° = sin 60° ve sin 150° = sin 30° alınır: bütünler açıların sinüsleri eşittir. Aradaki açı 90° ise sinüs 1'dir ve formül dik üçgenin alanına döner. Kenarları 4 ve 6, arasındaki açı 30° olan üçgenin alanı (1/2) · 4 · 6 · (1/2) = 6'dır.

Üç kenardan alan

Üç kenarı a, b, c olan bir üçgenin yarı çevresi u = (a + b + c)/2 ise alanı

Alan = √(u(u − a)(u − b)(u − c))

ile bulunur. Bu formüle Heron formülü denir; kanıtı Pisagor teoremini iki kez uygulayıp cebirsel bir düzenleme yapmayı gerektirdiği için burada yalnızca kullanımı veriyoruz. Kancadaki tarlada u = 21 ve alan √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 metrekaredir. Hesap sırasında kök içindeki çarpımı asal çarpanlarına ayırmak, büyük sayıların karesini almaktan daha kolaydır. Dik üçgende ya da ikizkenar üçgende yüksekliği doğrudan bulmak genellikle daha kısadır; Heron formülü, yükseklik kolayca bulunamadığında devreye girer.

İç teğet çember ve alan

Üçgenin üç kenarına içten teğet olan çemberin merkezi, açıortayların kesişim noktasıdır ve bu merkezin üç kenara uzaklığı r yarıçapına eşittir. Merkez köşelere birleştirildiğinde üçgen, tabanları a, b, c ve yükseklikleri r olan üç küçük üçgene ayrılır. Alanları toplanınca

Alan = r · (a + b + c)/2 = r · u

bulunur. Bu bağıntı alan ile yarı çevre biliniyorsa iç teğet çemberin yarıçapını, yarıçap ile yarı çevre biliniyorsa alanı verir. Dik üçgende ayrıca r = (dik kenarların toplamı − hipotenüs)/2 eşitliği de kullanılabilir; bu eşitlik teğet parçalarının eşitliğinden gelir ve çember konusunda ayrıntılı işlenecektir.

Hangi formül, hangi veri?

Alan sorularında ilk iş verilen bilgiyi sınıflandırmaktır. Bir kenar ve ona ait yükseklik verilmişse taban-yükseklik formülü; iki kenarla bu kenarların arasındaki açı biliniyorsa sinüslü formül; üç kenar verilmişse önce özel bir üçgen olup olmadığına bakılır, değilse Heron formülü; iç teğet çember söz konusuysa Alan = r · u kullanılır. Eşkenar üçgende a²√3/4 formülü ve dik üçgende dik kenarların çarpımının yarısı her zaman en kısa yoldur. Soruda bir yükseklik isteniyorsa, alan bir yoldan bulunup öteki yoldan yükseklik çözülür.

Alandan geriye gitmek

Alan formülleri yalnızca alanı bulmak için değil, alan bilindiğinde eksik bir büyüklüğü bulmak için de kullanılır. Alan ve bir kenar biliniyorsa o kenara ait yükseklik, alan ve iki kenar biliniyorsa aradaki açının sinüsü bulunur. Sinüs 1/2 çıkarsa açı 30° ya da 150° olabilir; sinüs √3/2 çıkarsa 60° ya da 120° olabilir. Hangisinin geçerli olduğuna, sorudaki başka bir bilgi, örneğin üçgenin dar açılı ya da geniş açılı olduğu karar verir. Bu, sinüslü formülün tek bir alana iki farklı üçgen karşılık getirebildiğini gösterir.

Sonucu denetlemek

Bulunan alanın akla yatkın olup olmadığı kısa bir karşılaştırmayla denetlenir. Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısını aşamaz; çünkü sinüs en fazla 1'dir ve bu en büyük değer ancak dik açıda elde edilir. Bir yükseklik de, o yüksekliğin ucundaki iki kenardan kısa olmak zorundadır. Heron formülünde kök içindeki çarpanlardan biri sıfır ya da negatif çıkıyorsa verilen uzunluklar bir üçgen oluşturmuyordur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri taban ve yükseklikten ya da iki kenar ve aradaki açıdan alanı, üç kenardan alanı, alan bilinirken bir kenarı, yüksekliği ya da açıyı, iç teğet çemberin yarıçapını ve kenarlar ile yükseklikler arasındaki ilişkiden eksik değeri ister.

Örnek 1 — Sinüslü alan

Soru: İki kenarı 4 ve 9 birim, bu kenarlar arasındaki açısı 60° olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 18
• B) 9√3
• C) 12√3
• D) 9
• E) 6√3

Çözüm: (1/2) · 4 · 9 · (√3/2) = 9√3. Cevap: B.

Örnek 2 — Üç kenardan alan

Soru: Kenarları 10, 13 ve 13 birim olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 65
• B) 120
• C) 60
• D) 78
• E) 30

Çözüm: u = 18 ve alan √(18 · 8 · 5 · 5) = √3600 = 60. İkizkenar olduğu için yükseklik 12 bulunarak da aynı sonuca varılır. Cevap: C.

Örnek 3 — İç teğet yarıçap

Soru: Kenarları 8, 15 ve 17 birim olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?

• A) 2
• B) 4
• C) 5
• D) 3
• E) 2,5

Çözüm: Alan 8 · 15/2 = 60, yarı çevre 20'dir; r = 60/20 = 3. Cevap: D.

Örnek 4 — Yükseklikler

Soru: Bir üçgende a = 8 kenarına ait yükseklik 9, b kenarı 12 birimdir. b kenarına ait yükseklik kaçtır?

• A) 6
• B) 13,5
• C) 7,5
• D) 8
• E) 10

Çözüm: a · ha = b · hb olduğundan 72 = 12 · hb ve hb = 6. Cevap: A.

• Yüksekliği yanlış kenarla eşleştirmek. Her yükseklik, karşısındaki kenara aittir.
• Sinüslü formülde açıyı kenarlar arasından almamak. Açı, verilen iki kenarın arasındaki açı olmalıdır.
• Geniş açının sinüsünü bilmemek. sin 120° = sin 60°, sin 150° = sin 30°.
• Heron formülünde çevreyi yarıya bölmeyi unutmak. u yarı çevredir.
• Alan = r · u yerine r · çevre yazmak. Çarpan yarı çevredir.