Alan oranları

Üçgen biçiminde bir tepsi börek iki kardeş arasında paylaştırılacak. Biri tepsinin sivri ucundan karşı kenara doğru düz bir bıçak çizgisi çekiyor ve karşı kenarı 2'ye 3 oranında bölüyor. Öteki kardeş hangi parçanın büyük olduğunu tartışmaya hazırlanırken bir şey fark ediyor: iki parçanın yüksekliği aynıdır, çünkü ikisi de sivri uçtan karşı kenara inen aynı dikmeyi paylaşır. Bu yüzden parçaların alanları da tam 2'ye 3 oranındadır; tartmaya gerek yoktur. Alan oranları sorularının çoğu bu basit gözleme dayanır: alanı hesaplamak yerine iki alanın ortak olan şeyine bakmak. Bir önceki derste alanı tek tek hesaplamanın yollarını gördük. Bu derste alanları hesaplamadan karşılaştırıyoruz: ortak yükseklik ve ortak taban, ortak açılı üçgenler, benzer üçgenler, kenarortaylar ve yamuğun köşegenlerinin ayırdığı dört üçgen.

• Yüksekliği ortak olan üçgenlerde alan oranını taban oranından, tabanı ortak olanlarda yükseklik oranından bulursun.
• Bir açısı ortak olan üçgenlerde alan oranını, o açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranı olarak yazarsın.
• Benzer üçgenlerde alanların k² oranında olduğunu ve kenarortayların ayırdığı eşit alanları kullanırsın.
• Yamukta köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları arasındaki ilişkileri uygularsın.

Ortak yükseklik

İki üçgenin tabanları aynı doğru üzerindeyse ve karşı köşeleri ortaksa, bu köşeden tabanlara inen yükseklik ikisi için de aynıdır. Alan tabana ve yüksekliğe doğru orantılı olduğundan, yükseklik ortakken alanların oranı tabanların oranına eşittir. ABC üçgeninde D noktası BC üzerinde ise

Alan(ABD)/Alan(ADC) = BD/DC

olur. Kancadaki börek bunun örneğidir. Taban üzerinde birden çok nokta varsa her parça kendi tabanıyla orantılı pay alır: BC üç eşit parçaya bölünmüşse A'dan bu noktalara çizilen doğrular üçgeni üç eşit alana ayırır. Bir parçanın alanı biliniyorsa toplam alan, parçanın tabanının bütün tabana oranından bulunur.

Ortak taban

Tabanı ortak olan iki üçgende ise alanlar yüksekliklerin oranındadır. Bu yüzden ortak bir tabana paralel bir doğru üzerinde hareket eden bir köşe, alanı değiştirmez: köşe nereye kayarsa kaysın yükseklik aynı kalır. Bu gözlem, dörtgenlerde ve yamuklarda eşit alanlı üçgenleri bulmanın anahtarıdır.

Ortak açı

Bir üçgenin A köşesinden çıkan iki kenarı üzerinde birer nokta alınsın: D, AB üzerinde; E de AC üzerinde. Bu durumda ADE ve ABC üçgenleri A açısını paylaşır. Bir önceki dersteki sinüslü alan formülüyle iki alan yazılır ve sin A sadeleşir:

Alan(ADE)/Alan(ABC) = (AD · AE)/(AB · AC)

Bu bağıntı DE'nin BC'ye paralel olmasını gerektirmez; yalnızca A açısının ortak olması yeterlidir. Kenarlar oranla verilmişse hesap daha da kısalır: AD, AB'nin üçte biri ve AE, AC'nin dörtte üçü ise ADE'nin alanı ABC'nin 1/3 · 3/4 = 1/4'üdür. Aynı açıyı paylaşan iki üçgen arasında bu formül, bir yüksekliği hesaplamaktan her zaman daha hızlıdır.

Benzer üçgenler

Benzerlik dersinde gördüğümüz gibi benzer üçgenlerin alanları benzerlik oranının karesi oranındadır. DE ∥ BC ise ADE ∼ ABC'dir ve oran AD/AB = k olduğunda Alan(ADE) = k² · Alan(ABC) olur. Ortak açı formülü de aynı sonucu verir, çünkü paralel durumda AD/AB = AE/AC = k'dir ve çarpım k² çıkar. Paralel doğrunun ayırdığı yamuğun alanı ise iki üçgen alanının farkıdır.

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir kenarortay üçgeni iki eşit alana böler, çünkü iki parçanın tabanları eşit, yükseklikleri ortaktır. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde ortaya çıkan altı parçanın alanları birbirine eşittir; G'yi herhangi iki köşeye bağlayan üçgen bu altı parçadan ikisini kapsar ve toplamın üçte birine denk gelir. Bu kurallar ortak yükseklik ilkesinden türer ve kenarortay dersinde gösterildi. G, kenarortay üzerinde köşeye iki birim, kenara bir birim uzaklıkta durduğu için G'nin iki yanındaki parçalar da 2'ye 1 oranında alan paylaşır.

Yamukta köşegenler

AB ∥ CD olan bir yamukta köşegenler O noktasında kesişsin. Köşegenler yamuğu dört üçgene ayırır. ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı ortaktır ve yükseklikleri, paralel doğrular arası uzaklık olduğu için eşittir; alanları eşittir. İkisinden ortak AOB üçgeni çıkarılınca AOD ile BOC üçgenlerinin alanları eşit çıkar. Ayrıca AOB ve COD üçgenleri kelebek biçiminde benzerdir ve alanları AB/CD oranının karesi oranındadır. Bu iki gözlem birleşince yan üçgenlerin alanı, üst ve alt üçgen alanlarının çarpımının kareköküdür: Alan(AOD)² = Alan(AOB) · Alan(COD). Üst ve alt üçgenlerin alanları bilinen bir yamuğun bütün alanı bu yolla tek satırda bulunur.

Hangi ilke, hangi şekil?

Alan oranı sorularında ilk iş, karşılaştırılan iki üçgenin neyi paylaştığını görmektir. Aynı köşeden aynı doğruya inen bir yükseklik varsa taban oranı, aynı taban varsa yükseklik oranı, aynı açı varsa kenar çarpımları oranı, benzerlik varsa k² kullanılır. Karışık şekillerde bu ilkeler art arda uygulanır: önce büyük bir üçgenden bir parça ortak yükseklikle ayrılır, sonra bu parçadan bir başkası ortak açıyla ayrılır.

Adım adım ilerlemek

Zor alan sorularında tek bir oran yetmez; büyük üçgenden küçük parçaya doğru birkaç adım atılır. Örneğin alanı 120 olan bir üçgende bir kenar 1'e 3 oranında bölünmüş, ardından küçük parçanın bir kenarının orta noktası alınmış olsun. İlk adımda ortak yükseklik ilkesiyle küçük parçanın alanı 120'nin dörtte biri, yani 30 bulunur. İkinci adımda orta nokta bu parçayı yine ortak yükseklikle ikiye böler ve 15 elde edilir. Her adımda yalnızca bir ilke kullanılır ve ara sonuç yazılır. Bu düzen, oranları birbirine karıştırmayı önler ve bir sonraki adımın neyi paylaştığını görmeyi kolaylaştırır.

Oranı alana çevirmek

Soruda alan değil yalnızca oran istenebilir. Bu durumda toplam alana bir harf, örneğin S, verilir ve her parça S cinsinden yazılır; sonunda S sadeleşir. Toplam alanı 60 ya da 120 gibi çok bölenli bir sayı seçerek hesap yapmak da işe yarar: bulunan oran seçilen sayıya bağlı değildir. Bu yöntem, kesirlerle uğraşmadan parçaların büyüklüklerini karşılaştırmayı sağlar ve oran sorularında hata payını azaltır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir parçanın alanını ya da iki parçanın alan oranını, toplam alanı, yamukta köşegenlerin ayırdığı üçgenlerin alanını, paralel doğrunun ayırdığı yamuğun alanını ve kenarortaylarla oluşan parçaların alanını ister.

Örnek 1 — Ortak yükseklik

Soru: Alanı 50 birimkare olan ABC üçgeninde D noktası BC üzerindedir; BD = 3 ve DC = 7'dir. ABD üçgeninin alanı kaçtır?

• A) 21
• B) 25
• C) 35
• D) 15
• E) 18

Çözüm: Yükseklik ortaktır; ABD'nin payı 50 · 3/10 = 15. Cevap: D.

Örnek 2 — Ortak açı

Soru: Alanı 45 olan bir üçgenin K köşesinden çıkan KL = 10 ve KM = 9 kenarları üzerinde KP = 4 ve KR = 6 olacak biçimde P ve R noktaları alınıyor. KPR üçgeninin alanı kaçtır?

• A) 22,5
• B) 12
• C) 20
• D) 27
• E) 15

Çözüm: Oran (4 · 6)/(10 · 9) = 24/90'dır; alan 45 · 24/90 = 12. Cevap: B.

Örnek 3 — Yamuk

Soru: AB ∥ CD olan ABCD yamuğunda köşegenler O'da kesişiyor. AOB üçgeninin alanı 3, COD üçgeninin alanı 27'dir. BOC üçgeninin alanı kaçtır?

• A) 15
• B) 27
• C) 12
• D) 18
• E) 9

Çözüm: Yan üçgenin alanının karesi üst ve alt alanların çarpımıdır: √(3 · 27) = 9. Cevap: E.

Örnek 4 — Benzerlik ve yamuk

Soru: Bir PQR üçgeninde ST ∥ QR, S PQ üzerinde, T PR üzerindedir ve PS/PQ = 2/3'tür. PST üçgeninin alanı 16 ise SQRT dörtgeninin alanı kaçtır?

• A) 20
• B) 36
• C) 8
• D) 24
• E) 12

Çözüm: Alanlar 4/9 oranındadır; PQR'nin alanı 36 ve dörtgen 36 − 16 = 20. Cevap: A.

• Ortak yükseklikte kenar oranı yerine yükseklik aramak. Aynı köşeden inen yükseklik ortaktır; oran tabanlardan gelir.
• Ortak açı formülünü yalnızca paralel durumda geçerli sanmak. Açının ortak olması yeterlidir.
• Benzer üçgenlerde alan oranını k almak. Alanlar k² oranındadır.
• Yamukta yan üçgenleri farklı sanmak. AOD ile BOC'nin alanları eşittir.
• Yamuğun alanını üst ve alt üçgenlerin toplamı sanmak. İki yan üçgen de eklenir.